Объектом исследования: геометрическая и арифметическая прогрессии. Предмет исследования
жүктеу/скачать 83,06 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Методы исследования
- Глава 1. Теоретические основы арифметической и геометрической прогрессий История возникновения арифметической и геометрической прогрессий
| Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
Задачи исследования: Выяснить: когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни. Методы исследования: анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета; обобщение найденных фактов в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках. В данной работе, мы отразим применение прогрессий в повседневной жизни, и покажем, что алгебра является частью общечеловеческой культуры. Глава 1. Теоретические основы арифметической и геометрической прогрессий История возникновения арифметической и геометрической прогрессий Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Так еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ получения n-го члена последовательности простых чисел. Этот способ был назван «решетом Эратосфена». Идея предела последовательности восходит к V-IV вв. до н. э. Прогрессии - частные виды числовых последовательностей – встречаются в памятниках II тысячелетия до н.э. [1]. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Например, вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия: « 10 братьев, мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько он выше?» При решении вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики, ни готовых формул, вынужден придержаться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля мины на 10 и получая мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т.е. разность прогрессии, равная от мины, или мины. [1]. А вот, например, задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры» [1]. Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеются и в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования. По содержанию некоторые китайские задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих. Примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются и в индийских «сиддхантах». В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определенного участка земли, и т.д. Таким образом, первые задачи дошедшие да нас на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как например, распределение продуктов, деление наследства, приплод скота, наблюдениями над явлениями природы и т.д. Однако, слово «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») в первые встречается у римского автора Боэция (V-VI в.). Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В конце средних веков и в начале нового времени это термин перестает быть общеупотребительным. В XVII в., например, ДЖ. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии». Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Так, Ариабхатта (V в.) знал формулы общего члена, суммы арифметической прогрессии и др. Магавира (IX в.) пользуется формулой суммы квадратов натуральных чисел и другими более сложными конечными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202 г.) Леонардо Пизанского (Фибоначчи). В «Науке о числах» (1484 г.) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII в.[1] В настоящее время прогрессии рассматриваются, как частные случаи числовых последовательностей. жүктеу/скачать 83,06 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|