Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015

р~
 
_  _ 
г  Ах + В
 
.
~  
q < 0
  оолганда  I —-----------
ах
  интегралын  табу  керек.  Ең  алдымен
4 
X  + p x + q
бөлшектің  алымынан,  бөлімінің  туындысын  бөліп  көрсетеміз.  Ол  үшін
түрде
Ax + B = - ( l x  + р ) - - ?  + В.
2
 
2
Сонда
I j  
dx
—
х  + px + q 
2  х  + p x  + q
 
V 
2
 
)   х  + p x + q
түріндегі  екі  интегралдың  косындысын  аламыз.  Бірінші  косылгыштагы 
итегралдың алымы бөлімінің туындысы болады.  Сондыктан
А  г  2х + р  
, 
1 ( 2
 
\
— j~T~
---------
dx =
 lnU  + 
px
 + 
q
)+ 
С
,
*  x  + px + q
себебі 
x
  кез  келген  мэні  үшін 
х 2
 + 
px + q >
 0.  Ал  екінші  косылгыштагы 
интеграл жогарыда көрсетілгендей формула бойынша табылады, ягни
г 
dx 
2 
2х+  р
 
_
J 
~~2
--------- - _  --- 
arctg
  -■ 
г   + С
х 
+ px + q
 
4
 
q - p 2 
Щ г р 2
болады.
түрде интегралы
г 
Ах л- В 
А  ( 
2
 
\
 
2 
В
 — 
Ар 
2х
 + 
р
\~2
 
” 
d x - ~
 Ц х  
+ p x  + q ) + - j
...  
. arctg
 —  - 
ғ
 
4
-С
х 
+ px + q
 
2
 
М - Р  
4 q ~ P
формуласымен аныкталады.
Енді  IV түрдегі  карапайым бөлшектің дербес жагдайын карастырамыз:
— q <
 
0
  жэне 
п
—бүтін  сан  болганда 
j-z
--------------—  интегралын  табу
[x2 + p x  + 
q f
4
үшмүшелікті
сонда
dx 
г 
dx
р  
л 
x + — = t
2
dt
/
  _ 
чг  = 
----------------------
- = d x  = dt
 
=  Г/------- =т-
(х 
+ p x  + q \  
( f
 
Н
 
І 
2
 
(г
2
 + а
2
 Y
2
У
4
V '  
7
болады.
Тендеудін 
он 
жагындағы 
интегралды 
мына  түрде 
белгілейміз
Щ
 = SM---' ИР 
интеграл үшін келесі рекурренттік формула орын алады
\t  + а   )
/ " = ^ V T ) ' a + '2 ) r - i + ? - i H - / "-'- 
( 7 ' 3 4 )
188

Бұл  формуланы 
(п
 
1
) —  рет  колдану  аркылы 
Іп
  интегралын  кестелік 
*  f 
dt
түрдеп  J—------  интегралына келтіреміз.
г + а *
Ал  внді  IV  түрдегі  карапайым  бөлшектің  жалпы  түрде  интегралдануын 
көрсетеміз.
p  
- 
'\
 Ifsjfc A 
A
 ү  j  P
- q
< 0  болганда 
y r r
-----------
^dx
  интегралын  табу  керек.  Интеграл
\х2 + p x + q )
астындагы 
бөлшектің 
алымынан 
бөліміндегі 
туындысын бел in аламыз:
4
квадрат 
үшмүшеліктің
л
  « 
п 
~ ( 2 х  + р ) + (  В - ~
[p2 + px + q
]Г 
{x2 + p x  + q f
~dx
 =
= - f -  
Ф
2 x +  p  
+ px + q
dx +  i
Ap
2
dx
+ px + q
Тевдеудің 
оң 
жағындағы 
бірінші 
косылғыштағы 
интегралды
х  + px + q
 = /  алмастыру аркылы интегралдаймыз:
2х + р
+ px + q
_  
х~ + px + q = t  _  tdt _ t
L
L
  -li 
j  дЛ
l-w
. j
1
 — 
n
+ c _ yX1+ p x  + q Y n
1
 — w
Ал, 
екінші 
кос ылғыш тағы 
интеграл 
үшін 
мына 
түрлендіруді
колданамыз:
dx
br 
+ px + q
dx
К )
+
я -
Р
4
п
=  dx = dt
і і  1..1
3?  j  Я р  
- в
форму
Сонымен  IV  түрдегі  карапайым  бөлшекті  интегралдау  рекурренттік
болады.
р 
Ах + В 
* 
А  (х2
ІТ~2
-----------
\х  + рх + q
2
+ px + q 
1
 -  
п
#Г
+
)
I  -   IV түрдегі  карапайым  бөлшектер  түрінде  берілген  төмендегі
интегралдарды есептеиміз: 
і  Г6*  
^
I.  I---- ~  интегралын есептеңіз.
х - 1
Шешуі:  Берілген  I түрдегі интеграл болғандыктан
= 6 In
х
 -  7 + 
С
Jx - 7
тендігімен аныкталады.
189

Г
  5  
dx
2
.   
—г  интегралын есептеңіз
( х - 4 ) 3
Шешуі:  Бұл  II  түрдегі  интеграл  болгандыктан,  оның  шешімін  мына 
түрде жазамыз:
f 
5dx 
5
 
1 
r =  
5 
(jc — 4
) 3
 
2  ( x - 4
) 2
 
2 ( * - 4
) 2
~  r 
dx
3.  I—-------------   интегралын есептеңіз.
x  + 6 x  + 25
Шешуі:  Бұл  III  түрдегі  интегралдың  дербес  түрі,  сондыктан  оның 
бөліміндегі 
квадрат 
үшмүшеліктің 
толык 
квадратын 
бөліп 
алып, 
интегралдаймыз:
dx
 
_   r 
dx
 
_   г 
dx 
_
Я  + 
6
х + 25 р  Ч х
2
 + 
6
jc + 9) + 16 “  Ч х  + З
) 2
 +16 ”
г 
d(x +
 З) 
1 
дг + З 
_
=  \, —
,   = - a r c t g ------+ С .
} (х + 3 )2 + 4 2
 
4
 
5
 
4
 
Г
4.  Г—-——
----
—dx
  интегралын есептеңіз.
jc
  — 4
jc
 +  8
Шешуі:  Берілген  III түрдегі  интеграл  болгандыктан,  интеграл астындагы 
өрнектін алымын бөлімінің туындысына  келтіре отырып интегралдаймыз:
■>
 
I 
7
 
v 
^ ( 2 х - 4 ) - 1  + 
6
|  - j  
dx =
  (х
2
 -  4 х +
8
)  = 2дс—4  = 
№
 
-------
- d x  =
х  - 4 х  + 
8
 
' 
J 
х  - 4 х  + 8
3 f 2 x - 4 ,  
f 
dx
 
3 
rdix2 —
 4х + 
8
І 
= -- Ң г ----------
dx +
 5 
-----------= -   | - Ц -------------'  +
2  г - 4 і  +  
8
 
дг -  4х + 
8
 
2 
дг  -  4х + 
8
+ 5 fp-j---- —— v—  = -ln (x
2
 -4 jc + 8 )+ 5 f----- ——  =
JP ^ 4
x
 + 4 ) + 4  
2 
V 
7 
(
jc
 — 2)  +  2
= — ln(x
2
 -  
4x
 + в)+ — 
arctg
 
— + С .
2  '  
'  2 
2
«  Г 
r 
dx
 
_
3  
=  J?------ үг  интегралын есептеңіз.
i*2 +1 д
Шешуі:  Берілген  IV  түрдегі  интегралдың  w = 3  болгандагы  дербес  түрі 
болгандыктан, (7.34) рекурренттік формуласын колданамыз:
r
 
t  
JC 
2 - 3 - 3  
1 
JC 
3 .  
/ - 7 -ЗСЧ
3  I p  - 1  
+ i f 1 
2 - 3 - 2   3-1  = 4 ^j.2 + 
4 
<7ЭД
Мұндагы 
/ 2
  =  /у-------^   интегралына  тагы  да, 
n = 2
  болгандагы 
(7.34)
P  
+ 1
рекурренттік формуласын  колданамыз:
190

мұндагы  /,  = J——  = 
arctgx
 + 
С2
  болады.
х
 
+ 1
(7 J 6 )
Сонда
7 2
= г г у  
A + i;a rc tg x + C V
 
(7.37)
2[x
 
+ 1 1
 
2
(7.37> өрнегін (7.35) -  ші өрнекке коямыз:
/  _ 
1
 
х
 
3
3  
= 4 ^ Г ^  + 4
Сонымен берілген интеграл
jc
 
1 
2
---- \ + -  
arctgx
+ с .
болады.
г 
dx 
х 
Ъх
 
3 
_
*71 
Г
" / \ " " Ү
2
+ ^Г Т 7 Т і+ в a rc rg r+ с
( г + 1 [  
4 \ д : + 1/ 
%   + V  ®
,   г 
Здг+2
о.  Н---------------г^аг  интегралын есептеңіз.
ус2
 +2jc + 1 0 |
Шешуі:  Қарастырып  отырганымыз  IV  түрдегі  интеграл  жэне 
п = 2 
Сондыктан оны
, 
, 
3*+ 2 
?  
|{ 2 *  + 2 ) + 2 - 3
7 = J t - ------------
dx =  \ 2 -
--------------
- d x  =
(лг  +2дг + 10
) 
[х  + 2 х  + 10)
-
3   Г 
2 х  +   2  
Л г  
[  
Т  
I
2
 J 
-------
^
~
‘Г2
------------
\ 2
  =  I 
2
(х  +
2
jr + 
1 0
f  
(.г• +
2
.r +
1 0
J 
түрінде жазамыз.  Он жактағы екі  косылгышты  мына түрде есептейміз:
j
  _  3 
г
___2jt + 2 
_ 3 
х 2
 + 2дг + 10 = /  _   3 
edt  _
2 
(
jc
2 
+ 
2л:
+
1 
o)r 
2 ( 2 x  + 2)dx = dt 
2  r
3
1 
n
 
3 
_
—   — —  
+ C j   =
--------f - i — -------- ;----------\ + C
i .
2 /  
2 lx   + 2
jc
+
j
  _   г 
дЬс 
г 
Л  
r 
flfr 
_   дг + 
1
= / _   , 
dx
2 
[x2 + 2x
 + lojf 
(r
2
 + 
2
* 
+ 1
 + 9 f  
[(лг+
1 ) 2
 +
9
p 
л  = 
( / 2
 + 
9
 J*
(сонғы  интегралға (7.34) рекурренттік формуласын  колданамыз)
1 
____
t
 
1  2 - 2 - 3  , 
dt
2  9  ( 2 - 1 )   (/2 +
9
Jj- i + 9 ’ 2 - 2 - 2 ' J /
2
+ 9 ~
1  
/
1
1
 
/ 
_ 
x + \
 
I 
jc
 
+ 
1
 
_
= r r  *  я 
+ 
• 
arctg  -
+ C j =  r  
\ + ?ж arc/j?  —  + C*.
18 
/ 2
 
+
9
  18  3 
* 3 
2
 
1
8 p  + 
2x
 +1 
o) 
54 
*   3 
2
Сонымен берілген интеграл
191

3 
х + \
 
1
 
x + \
/  =  
— +-.-
------------ ч-----
f-z
-------------\ -----
a r c tg
------ + С
2[x
 
4
-
2x
 +10j   18(jc  + 2jc + 10J  54 
3
болады.
7.30  Р ац и он алд ы қ бөл ш ектерді  к ар ап ай ы м  
бөлш ектерге ж іктеу а р қ ы л ы   интегралдау
. 
Р(х)
 
. 
^
Төмендегі 
түріндегі рационалдық бөлшектерді интегралдау кезінде
>іна алгебралык түрлендіруді колдана отырып есептейміз:
1
)  егер  бұрыс  рационалдык  бөлшек  берілсе,  онда  ол  бөлшектің  бүтін 
бөлігін бөліп алып,  келесі түрде қарастырамыз:
= М (х )+ З М
Q(x)  Щ х ) +  Q { x )
; 
щдағы 
М(х)~
  көпмүшелік,  ал 
-   дұрыс рационалдык бөлшек;
2
)  бөлшектің 
бөлімін 
сызыктык  және 
квадраттык  көбейткіштерге
жіктеиміз:
У”   . . . ( j c 2  +  
р х  +  д У
Р 1
 
п 
2
 
,
мұндағы  ——  
q <
 
0
,  яғни 
х  + px + q
4
түбірлері бар;
түиіндес
3)  дұрыс рационалдык бөлшектерді карапайым бөлшектерге жіктейміз:
Q(x) 
{ x - a f
 
( x - f l f
" 1
 
I   x - a
ВлХ + Су 
B?x
 + 
C7 
Bn x + Cn
+ 
-
-------1-----------
Ц -  + 7
--------
1
-----------
\ - r  + 
. . .  +  - ^ 1
----------
rL-  
+
+ p x  + q)
 
(
jc
2  
+ p x  + q) 
x  + p x  + q
4)  Аныкталмаған 
B^9C^9B29C29,*,9  Mn
, C
^ 9 . . . 9
теңдеудщ
тендіктщ
x
  аинымалысының  сэйкес
дәрежелерінің 
коэффициенттерін 
теңестіріп 
жэне 
ізделінді
теңдеулер
теңдеудегі
кездейсок мәндер беріп отырамыз.
Сонымен 
рационалдык 
бөлшектерді 
интегралдау 
нэтижесінде 
көпмүшеліктердің  жэне  карапайым  рационалдык  бөлшектердің  интегралын 
табуды аламыз.
кезінде
алуы мүмкін.
192

1  — жағдай.  Рационалдык  бөлшектің  бөлімінің  түбірлері  әртүрлі  накты
сандар,  яғни  бөлшек  кайталанбайтын  бірінші  дәрежедегі  көбейткіштерге 
жіктеледі.
Г 
х
  + 
2
х
+ 6
 
- 
мысалы,  іу---- ------- — ----
—dx
  интегралын есептеңіз.
( х - і д х —
2
дх —4)
Шешуі:  Бөлшектің  бөліміндегі 
х
 — 1, 
jc
 
— 2, 
х —
 4  эрбір  екімүшелігі 
бірінші  дәрежеде  болгандыктан,  берілген  интеграл  астындагы  дұрыс
түрдегі
түрінде
х
2
+ 2 х  + 
6
 
_  
_ А _  
В 
С
■іХх-2Хдс-4) 
j c
—
1 
jc—2  x - 4
:2 Х х -4 )+ 5 (х -1 Х д с -4 )+ С ( х - 1 Х х - 2 )
X x -
2
X
теңдіктін
алым дар ын теңестіреміз:
х2 + 2x + 6 = A { x - 2 \ x - 4 , ) +  В ( х ~ \ Х х - 4 ) + С ( х - \ \ х - 2 ) =
Щ Л(х2 -  6х + 8)+ в { х 2 - 5 х  + 4)+ с ( х 2 - З х  + 
2
)=
=  Ах2 -  6 Л х + %А + Вх2 -  5Bx + AB + Сх2 -  ЗСх + 2 С .
Теңдеудің он жагын 
х
 
дэрежесіне байланысты топтастырамыз
х 2 + 2х + 6 = (А + В + С)х2 -  (6А + 5В + ЗС)х + 8A + AB + 2 C .
Теңцікгщ  екі  жагындағы 
х
 
айнымалысынын  сәйкес  дәрежелерінің 
коэффициенттерін теңестіріп,  мына тендеулер жүиесін аламыз:
А + В + С -
1,
- Ь А ~ 5 В - З С  - 2 ,
SA + 4B + 2С —
 
6
.
тендеулер  жүйес
көреміз.  Сонымен  рационалдык бөлшек  карапайым  бөлшектерге  жіктелгенде
түрде
х
2
 + 2х + 
6
 
3  _   7 
5
• 
іХх 
— 
2
Үх
—4 )  
х
—1 
jc
 
— 
2
 
х —
4
Енді 
А,  В,  С
  белгісіз  коэффицңенттерін  баска  жолмен  аныктаймыз.
Болшектін  бөлімін  ортак  бөлімге  келтірген  сон,  теңдеудін  екі  жағынын
болімінен  кұтылып  алымдарын  теңестіреміз.  Өрнекте  канша  белгісіз  болса,
сонша 
х
  айнымалысына  дербес  мән  береміз,  бұл  жағдайда  үиі  дербес  мән 
беріледі.
Негізінен 
х
  айнымалысына  белімінін  накты  түбірлері болатын  мәндерді 
беру  тиімді.  Енді  осы  әдісті  б^рілген  мысалға  колданамыз.  Жоғарыдагы 
(7.38)  тендеуінін  бөліміндегі  накты  түбірлері  1,  2  жэне  4  сандары  болады. 
Сондай-ак теңдеудің бөлімдері бірдей болгандыктан  мына теңдеуді аламыз:
193

теңдеуге 
х
 = 1  мэнін  қойсак, онда
1Х* —4 ) + С ( * - і Х
12 + 2   1 + 6 = 4
і
- 2 Х
і
- 4 ) + 5 (
і
-
і
Х
і
- 4 ) + С (
і
-
і
Х
і
- 2 )
теңдеуін  аламыз,  бүдан  9 = 
З А
,  демек 
А = 3,
  ал 
х = 2
  деп  алсак,  онда 
14 = - 2 5 ,   демек 
В
 = - 7 ,   ал  егер 
х  = 4
  болса,  онда  30 = 
6
С ,  ягни  С = 5 
болады. 
Сонымен 
нәтижесінде, 
алғашқы 
әдістегідей 
аныкталмаған
щенттер  мэндері  алынды.  Осы  алынган  мәндерді  (7.38)  теңдеуіне
қоямыз
х 2
 + 
2х
 + 
6
 
3 
7
 
5
Я
( x - l X - f - 2 X ^ - 4 )   х - 1  
х — 2 
х - 4  
Сондыктан берілген интеграл мына түрде жазылады
х * + 2 х + 6
 
A =
3
j J * L _
7
J _ * _ + 5 r
( x - l X x - 2 Х * - 4 )  
Jx - 1  
] х - 2  
* х - 4
=  3 1 п х - 1 - 7 1 ш с - 2   + 5 1 п х - 4  + С  =  1др~ 
9  ■ В  [+ г
• 
' 
| 
( х - 2 ) 7 
1  ™
2  -   ж агдай.  Рационалдык  бөлшектің  бөлімінің  түбірлері  накты  сандар,
сонымен  бірге  кейбіреулері  еселі  болып  келеді,  ягни  бөлшектің  бөлімі
бірінші  дэрежедегі  көпбейткіштерге  жіктеледі  және  де  олардын  кейбіреуі 
кайталанып  келеді.
Мысалы,  J-—
-----
-dx
  интегральш есептеңіз.
( х - І Д х  + 3)
Шешуі: 
Берілген 
интегралдағы 
бөлшектің 
бөліміндегі 
( х - і
) 3
көбейткішіне  келесі  үш  карапайым  бөлшектің  қосындысы  сэйкес  келеді
В 
С
^ _ l
^ 3
  + /  _  
^ \ 2
  + 
» 
Щ
  * + 3  
көбейткішіне 
—   карапайым  бөлшегі
сэйкес  келеді.  Сонымен интеграл астындағы бөлшекті мына түрде жазамыз:
х 2 + \ 
А 
В  
С  
D
+ 
( x - l
) 3
 
( x - l
) 2
 
x 
— 1
 
x + 3 
Теңдеудің  оң  жагын  ортак  бөлімге  келтіріп,  екі  жағының  алымын
теңестіреміз:
х 2
 J 11  
А(х
 + 3)+  
В (х -
 IX* 1 3)+  
С(х - l ) 2(x + 3)+ D(x -
1)3.
Бөлшектщ бөлімдерінің  накты  түбірлері 
1
  жэне - 3   сандары  болады.  Егер
х = 1  деп  алсак,  жоғарыдағы  тендеуден  2 = 4
А ,
  ягни 
А
 = - .   Ал  егер  х  =  - 3
болса,  онда 
1 0
 = -6 4 D ,  ягни 
D
 = 
Совды  теңдеудегі  х   айнымалысынын
ен үлкен дэрежелерінщ коэффициенттерін тенестіреміз,  ягни  ең улкендэреже 
х   ,  бірак  теңдеудің  сол  жагында  х
3
  жок,  демек  коэф ф ициент 
0
-ге  тен,  ал
194

I
он  жағындағы  х
3
  коэффициенті  С + 
D
  болады.  Сонымен 
С + D  =
 0 ,  бұдан
С  ~  ~   болады. 
%
Калган 
В
  коэффициентін аныктау  керек.  Ол үшін тағы бір теңдеу кажет. 
Бұл  теңдеуді  х 
айнымалысынын  бірдей  дәрежедегі  коэффициенттерін
сзлыстыра отырып  (мысалы 
х 2)
  немесе 
х
  айнымалысына  кандайда  бір  мән 
беру аркылы  алуга  болады.  Мұндай  мэн ретінде  есептеуді  жеңілдетілетін  сан 
алынады.  Мысалы 
х
 = 0  деп алсак,  келесі теңдеуді аламыз:
1 = 
ЗА
 -  
ЗВ
 + ЗС -  
D
, немесе  1 = —-З і? + —  + —   ягни 
В
 = -   болады.
2 
32  32 
8
Интеграл  астындағы  бөлшекті  карапайым  бөлшектерге  жіктеу  мына
түрде жазылады:
jc
2 
+1 
l L  
3 
5 
5
+ —— - -  +

жүктеу/скачать 12,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: