Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015

Бұл  теңдеуде 
х 4, х 3, х 2
айнымалыларының  коэффициенттерін  салыстыра
отырып,  мына теңдеулер жүиесін аламыз: 
В
 + 
С
 + 
D
 — О,
A + C  + E — D  =
 0,
C - E  =
 0,
Бұдан 
1
5 
2
---------
2  +
JC  -  JC 
X
0, 
D
1
1
1
3(
1
)
+  X +
болады.  Онда  берілген  интеграл  келесі
түрде айқындалады:
С 
dx
 
f 
dx
 
1
  f 
dx
1
  j  
x
 — 
1
,  
1
 
1
, 
ax = -  + ~
  In 
jc
 —  1
jc 
3
1
6 j jc2 + jc  +  
1
 
2 > (
 
i
X +r- 
2
1  f 2jc + l - 3   ,
/■
  J  2--------
о 
JC  +JC 
+ 1
dx
3
-l-
3
4
1 
1 . 
( j c - 1  
f
6 
JC  +  JC +  1
1 
2jc + 1  
+ —=  
a r c tg
— s=— + 
С .
4
3
3
- ж ағдай.  Бөлшектің бөлімінің түбірлерінің арасында еселі комплекстік
түбірлер  болуы  мүмкін,  яғни  бөлімнің  жіктелуінде  кайталанатын  квадраттык 
көбеиткіштер болады.
f 
jc
3 
— 
2
jc
Мысал, 
j-j—— %~dx
 
интегралын есептеңіз.
Vc 
+ 1
)
Ш ешуі:  Берілген  интегралдың  астындағы  бөлшектің  бөліміндегі 
х 2 
+ 1 
екі еселі көбейткіш,  сондыктан оны
jc
3
  — 
2
jc
,
jc
2  +
Ax + B 
Cx + D
' + ~ 2
  I
JC  + 1
JC2 +
түрінде жазамыз.
Болшектің алымдарын теңестіреміз:
х
3 - 2
х
 =  А
х
 + В + (С
х
 + 0 І
х
2 +
і
).
Осы теңдіктің екі жағындағы 
х
 -тың коэффициенттерін теңестіреміз:
X
0
1  =  С ,
о = д
- 2  =  А + С;  А = -  
0 = B + D; 
В  =
 0.
3,
Сонымен берілген интегралымыз мына түрде есептелінеді
196

7.31  Қарапайым  иррационалды функцияларды  интегралдау
* 
т) 
т2
1.  Интегралдар J/? 
х ,(а х  + Ь )П],{ах + Ь)п2 
dx
  түрінде  берілсе,  мұндагы
v
R
 
— 
рационалдык  функция,  ал 
wzj
, 
Wj
, 
m
2
, и2,... — бүтін 
сандар.  Келесі
a x  + b  = 
t
 
,  мұндағы 
s - n {, n 2 ,...
  сандарының  ең  кіші  еселігі,  алмастыруын
колдану  аркылы  берілген  интеграл  рационалдык  функциянын  интегралына 
түрленеді.
Мысал,  /  =  J— — --2------------- j  интегралын есептеніз.
(2
jt
 
+  1 ) 5 - ( 2 jc  +  1 £
Шешуі:  Бұл  есепте 
п х  —
 3, 
п 2  = 2 .
  Сондыктан  5 = 6 .  Берілген  есепке
6 
t 6
  1 
2jc +1  =  /  алмастыруын  колданамыз, сонда  jc =  
, 
dx = 3t  dt
 
тең 
болады.
Сонымен
'  -
1—
. r  -
 
И
 
-  
3
i - r - r - < * -
H  I
+
1
 +
Г - Г  
I
-
1
 
'  
/ - 1
 
V 
/ - 1
\
dt =
/
= - / 2 + 3 / + 3 / И / - 1 + C
2
MPIM 
4  -■  * 
• 
1
болады. 
Бвстапкы 
айнымалыға 
кайта 
ораламыз, 
t
 = 
[2х
 
4
 і)б 
тең 
болатындыктан
/  = —(2г + і)і  + 3(2х + і)І  + 3 /и|л/2х + 1 -  і[ + С.
2.  Интегралдар  j 
■
  ^  
түрінде берілсе, онда мұндай  интегралдар
- 
ах
  4* 
fox 
+ с 
"?  ^ Я И Ш і Я Й а
түбір астындағы квадрат үшмүшелік^н толык квадратты бөлу аркылы
г 
dx
 
. 
х
 
_ 
л 
г 
t 
2
 
n
I- 
==-  = arcsin  -
4
 С ,  мұндағы 
a
 * О  жэне  I  ■—
= In 
jc
 
4
  дг  +Я  + С,
а2 - х 2
 
а 
х  + A
мұндағы  Я  накты  сан  жэне  А * 0  түріндегі  косы мша  кестелік  интегралдарға
КеЛТІрІЛеДІ. 
•--?*  -
,  r 
dc 
_____  
. 
т 
^
1
.  j 
■
  I.  ■—  интегралын есептеніз.
>. 
n x
1
 4-2jc+5
197

Шешуі: 
Түбір  астындағы  квадраттык  үшмүшелікті  мына  түрге
келтіреміз: 
х~
  + 
2х
 + 5 = (д: + і)~  + 4.  Сонда берілген интеграл
dx
УІХ2 + 2 х  + 5 
J(x + l)2
  + 4
xr+l + x x
  + 2*+ 5
+ С
Э  •
болады.
|Л
dx
2
.  j —------ 
интегралын есептеңіз.
'І—Зх  + 4х — 1
Шешуі:  Түбір  астындағы  квадраттык  үшмүшелікке  мына  түрлендіруді 
колданамыз: 
*  ЩИ 
Щ
Зх2
 + 
4х
 — 1 = ЗІІЙ 
х2
 + — 
х
 —
3 
3
Сонда берілген интеграл
1
= 3
'   ш 
\2
 
4
Ш ш ш
■   Н  і  I
= з
і
9
х 
—
V
2
3
У
dx
dx
1
с/
х
 
—
Зх
  н- 4jc — 1
/
3
1
9
f
 
2  
х
---------
V
3
2
3
3
I
9
-
 
х
 
—
2
3
У
2
1
 
* —  
1
 
з
— arcsin 
—~  
3
 
1
3
1
+ С = —=  arcsin (Зх -  2 )-f С
3
болады.
3,  Интегралдар
Лх + ±
ах2  +Ьх + с
dx
 
түрінде  берілсе,  онда  мұндай
интегралдарды  табу  үшін  бөлшектің  алымынан  түбір  астындагы  квадрат
үшмүшеліктің  туындысын  бол in  алу  аркылы  берілген  интегралды  екі 
интегралдың косындысы түрінде жазамыз:
Ах
ах~  +Ьх + с
dx
^ - ( 2
ax 
+  b ) + В - - ~  
л 
J  
2 
,
 
|
-   Г
 
Ж  
2а dx
 1
Щ
 №
 
+bx + cL
ах  +Ьх + с
2 а
+
ах" + Ьх + с
+
В
dx
\
2
ах  +Ьх + с
Алынган  интегралдардагы  бірінші  косылгыш 
\~г==?  ^dx
 = 2
y[f{,
карастырылган интегралга сэйкес келеді.
Мысалы,  f---- f e  
1 
dx
  интегралын есептеңіз.
/
2
х
2
+
8
х + 
1
түрде
1
198

Шешуі:  Бөлшектін  алымынан  түбір  астындағы  өрнектің  туындысын
бөліп аламыз:
(2дс
2
 + 
8
х + і)  = 4х + 
8
.
Сондыктан берілген интеграл
,  
,  
(4х + 8)-13 
. 
. 
_
І - Т - Г  
dx=
  Й   = 
&  = - Ь   4* + 
8
  ■
  rfc
V
2
х
  + 
8
х 
+ 1
4 і х
+ 
8
дг 
+ 1
- 1 3 [
dx
УІ2х
= - 4 і х 2
  +
8
л: + 
1
 
f
л
/ 2
+
8
дг
+ 1
dx
2
х
  + 4x4-
1
2
-1 3 J
dx
\ 2 х
+ 
8
х + 
1
 
2
= — V 
2
jc
2
  + 
8
х + 
1
 -
13
V
2
J
2
 
„ 
1 
х
  + 4х + -
2
= -УІ2х2  +*х + \ - ^
2 
л/2
1
аЬс
=  = 
—^2х2
 
8
дс 
+
1
7 
2
р + 2 У -
2
13
V2
In
х + 2 + Л х 2
  4-4x4- —
2
+  С
түрінде аныкталады. 
4.  Интегралдар
dr
(jc — 
a
 ) 
ax1 +bx + с
түрінде  берілсе,  онда  мұндай
интегралдарды 
х
 — 
а
 = 
интегралга келтіреміз.
1
t
алмастьфу 
аркылы 
2
-түрде 
карастырылган
Мысалы,  J
dx
( х - \ )   - X 2 + 2х + Ъ
интегралын есептешз.
Шешуі: 
jc
 — 1  =  -
1
деп  алсак,  онда  jc = -  
+ 1
  және 
dx
t
ш
болады
Сондыктан берілген интеграл
I
dx
- X d t
(x —1)\ — 
x 2
 
+ 2x + 3
7
- .
1
-
1 1
+
1
t
\ 2
У
+ г ( і + -   і+з
v 
t
— J-
2
 
1
 
2 
~   +
2
+  + 3
/ 
r  
/
— f
t. 
4
1
dt
УІ412
  - 1
t
199

1 
f  
d t
 
_  
1  i - t   , 
. 2 
1  .  ^  
1 .  
1 
/
i
f
 
!
k
 "  o il  — 
-
T
 
= - - t a j / +   f - - ! + C = - - l n
2
r  -
4
+ 
■
 
-  
+ C =
1
 
2  
4 
2 
x
- 1
 
Л x  
- 1
J  
4
1,  2 +   - x 2 -f 2x + 3 
^  
= -   in 
7
 
--------+ C
2
 
2
( x - l )
түрінде аныкталады
Л
5.  Интегралдар  J 
" 
гүрінде  оершсе,  мұндағы
ах  +bx + c
п
  ші  дәрежелі  көпмүшелік.  Мұндай  түрдегі  интегралдар  мына  тепе-теңдік 
көмепмен шығарылады.
J 
f"(^  
dx = Qn_l(x )  а х і+ Ь х + с + Л І - т - ;   *
 
8
o r  + 
6
х + с  ,  j 
\ a x 2 + bx + с
мұндағы  й;_і (x)- аныкталмаған  коэффициенттерімен  берілген  (/?- і ) - ш і  
дәрежелі көпмүшелік, ал  Я — кандайда бір сан болады.
Берілген  тепе-теңдікті  дифференциалдап  жэне  оларды  ортак  бөлімге 
келтіру  аркылы 
Qn_x
 (х) -  көпмүшелігінің  коэффициенттерін  жэне  Я -  санын 
аныктайтын екі көпмүшеліктің теңдігін аламыз.
Мысалы,  J
— + *
 
интегралын есептеңіз.
" / х   + 
2
х + 
2
Шешуі: Жогарыда көсетілген тепе-теңдікті колданамыз: 
гх
3
 + 2х
2
 + Зх + 4  , 
{■'-* 
\
  -=-----------  
^
J
----- —■
 
■
 
—
r f r  
=  
\Ах
 
+   о -   . 
л і ,  J  
. 
w  
ах
х  + 
2
х + 
2
.  . 
*   +
2
х + 
2
ьұл теңдистщ екі жағын дифференциалдау аркылы
х
3
 + 2х2 + Зх + 4 
,
  _ 
х  Г Т ~
------ ~  /  ,  
\ 
, . і
—   _ 
= (2Лх + 
В) 
х 2 
+ 
2х 
+ 2 + 
\Ах 
+Вх +
 & ) - =
х
  + 
2
х
+ 2
+
+ А
x z + 
2
x
+ 2
1
x
2
 +  
2
х  + 
2
теңдігін аламыз.
шімге келтіріп, алымдарын 
X
* 2
  + 2х + 2І+ 
(
а х
2
 + 
В
у
немесе
+ С1х + 
1
)+ Л ,
•*'
3
+ 2 х
2
+ Зх + 4 = 2у4х
3
 + 5 х
2
 + 4Лх
2
 
+ 2Вх + 4 А х + 2 В  +
\+ Л х
3
 
+ В х2 + С х + Лх2 + £ х  + С + А
болады. 
Осы  теңдіктің  он 
жағындағы 
л: 
айнымалысының  сәйкес 
дәрежелерінің коэффиценттерін біріктіреміз, сонда
X3 
+ 2 х 2 + З х  
+ 4 = 
ЗАх3 +(5Л 
+ 2В)х2 + (4 Л + З В  + 
С)х 
+ (2В + С + Л )
теңдігін  аламыз.  Бұл  теңдіктін  екі  жағын 
Л Я Ғ К І  
1* 
^ U U L T U Q  m  і л г  I I »  . 1 .  
_____
жүиесш
200

4А + ЗВ + С
 = 3,
2В + С + А - 4 .
Алынған теңдеулер жүйесін шеше отырып,
1
1
7
 
5
А =
  , 
В =  — ,  С — — ,
  А = 
теңболатындығынтабамыз.
3 
6
 
6
 
2
Сондыктан бершген интеграл
5А + 2В = 2,
с jr  + 2х‘ + Зх+ 4  
f  1  , 
1 
7
I----   ==■=  ■—<±c=  -JC  +  x + -
1 
x2 + 2 x  + 2
 
V3 
6
 
6
5
dx
2
 
x
2
 + 
2
x
+ 2
1 
2
 
1 
7  , 
,
- X   +   -  
x
 +   — 
X
5
3
6
6
+  
H 1 X  
+ 1 + 
X  
2
түрінде аныкталады.
7.32 №11 
өздік 
жұмыс тапсырмалары
№ 1
1 . 1
  І - т - 1—
 
4х 
-5х + 4
1.4  f  
*
2
х 
+ х - 6
1.7 
J
A
2
х
2
 — 
1 1
х
+ 2
I
.10  J
J7
d x
1.13
1.16
1.19
2xz +' Зх 
f
3x  -  
8
x -  3
f ——— 
V + 4 x + 2 5
f 
*
2x  - 2
x
 + 5
1.22
a 2
d x
2
x  - 3 x  + 
2
dx
1.25 
Г—Л
5x  -1 0 x  + 25
1.28 
J 
A  
j
l - 2 x - 3 x
1 2
  f___ * ___
V  + 4x + 10
1.5 
J 
—ү—
-----
5x  + 2x + 7
1 . 8
  f
A
2
x
dx
1 . 1 1
  [ - у
x  - 5 x + 6
1.14 
J 
*
8
-  
2
x - x
• 
dx
1.17  f 
^
2x  -
8
x + 30
1.20 J  
A
2хй— Зх -  2
1.23 
J 
-  
x  + 7x + 11
dx
2x2
 + 
6
x + 3
dx
2x2
 + 3x + 6
1.26 
J
1.29 
J
1.3 
J 
....
2x  - 7 x + l
dx
1 - 6
  J
-
2
2
x  -
2
x + l
A
1.12  f
2
x -
1.9  f—
3x  -1 2 x  + 3
dx
3 - 4 x
2  
1.15 
J 
- r
5x -  x  -  
6
3x  - 9 x  + 
6
1.21  J  —  *
2
x  -  
6
x 
+ 1
1.27  f
2 x ^ -3 x  + l 
dx
x
2
 -  
6
x
+ 8
1.30  f 
, л  
Зх  + 5.x -f 1
201

№ 2
2х  + 3 x - 4
х
2.13
2 .1 6
2.4  f —
------
dx
J 2x2 + x  + 5
2.7  § ...
*
 +-1 
J
J
2
x - -  
6
x -  
8
2 . 1 0
  J  - y
*
~
1
 
flic
4x  - 4 x  + 5
J - 2-4* ±  
8
 
<£
J 4 x
2
 + 6 x - 1 3
1 А Й |§
jc
 
- 5 x  + 4
2.19 
f — 2 x
1
1
Зле  - 6 x - 9
2.22
 
^
x  —4 x
— 2
2.25  f
~
/
~
3
----
J 4x
2
+ 2 x - 3
2.28  f 
dx
J 4x
2
+ 3 x - l
2.2  J 
у  + 
6 
dx
J 3x2 + x  + l 
2.5  I   /
+- -  
dx
x  + x
-
2
2 . 8
  j - /  + 
4  
3l x 2 - l x  + \
2 . 1 1
  J
~
+ 1
 
dx 
J
2
x 2 + x  + l
f  5 x + l 
p
в
 
^
2.14
2.20
2x
  + 
8
x
- 6
 
2x — l
3 + x - 2 x 2
dx
2.23 
\ — *ТЖ 
dx 
J2
x
2 +
x
- 4
2.26  J
3x  - x  + 5
dx
2.29  S- 22 x + 1
  ; 
dx
5x  + 2 x  + 
1 0
2 . 3 /
2лг —1
3x2 -  2x + 6
dx
2.6  J 
2 
flJc
5x  —Здг+ 2
2.9  J
2x
  - 5 x + 2
2.12  J-  / —1----
3x  - 2 x - 3
2.15  J
2x~ + 2x + 5
dx
2.18  f— i ?   *------Щ
4x  +16x 
— 1 2
2 . 2 1
  f -  *  ~  
4
 
dx
Зх  + X  — 1
2.24
  J-..
^
+
3
 
atr
3x2j* Z x
 -  7
2.27  f - f r  ~  
2
x~ +  5 x - l
2.30 
Л
5x  —
№3
3 .1   f
dx
4 + 
8
x - x
2
3.4  / _ =
dx
3.7  J —
3.10 
J
*  + 
6
x + 
8
dx
2 —2 x -  3x2
dx
2x + 3 - x
2
dx
3.13  j - = J
4 x 2 - x  + 4
3.16  I  
f =
3 x + 2 - 2 x
2
3.2  f—   ІЁ
3x
2
- 4 x  + l
3.5  J
dx
2  
+ 
8
x —
2
x
2
3.8  J—   =
1  
+ x - x
2
3.1
1 
f -  
*
4 x
2
- 8 x  + 3
3.14  J
dx
2
h
- 4
x
—3 x 2
3
1
7
 is
dx
2
x ‘ -
8
x  + l
3.3  J
dx
2 - 3 x - 2 x 2
3.6  J
dx
3 + 2 x - 2 x 2
3.9  J
dx
5x
2
 - 1 0 x + 4
3.12 f -  
*
l +
2
x - x
2
3.15 J - 
±
4 x
2
 + 2x + 4
3.18 f 
Л  
.
I 
2
  y-
x   - 5 x  + 
6
202

3.19 
J
3.22  J
-
5
dx
Зле -  
2x
dx
x
  + 3x — 1
3.25  J
dx
1
x - x
dx
3.28  J - - -
jc
2 +  5 x + 1
3.20  I
3.23  f
3.26 
j
3.29  J
2x2 - x + 3  
dx
5 > -lx -3 x
dx
1
 -  
2
x -  x
2  
dx
dx
3 —x  —x
3.21 
J
2 - X - 2 X 2 
dx
3jc2 — 
x
 +  5
3.27 
J-  .  
*
4 — 3x — x
2
dx
3.24  f
330  Һ - ,
dx
x  +
 4 x  +1
№4
4.1  J
2 x - 1 3
Зх
2
 - 3 x - 1 6
dx
4.4  J
2
x + l
dx
1 + 
x -  
3x
л  n
  Г  2 x
— 8
 
.
4.7  I 
■
 
dx
1
 
1
- x - x
2
4.10  f 
5X + 2 
dx
x 2 +  3 x - 4
4.13  f  - 
+ . 1
  -  
dx
1
  /
2
+ x -  x
2
4.16  f 
-----
dx
3x2 —2x
 +1 
4.19  f-  Т_
7
-?.Г Л _ 
dx
J 
2  e 
1
x
 
— 5x + l
4.22  J 
І Г
= 6
 
dx
3-2Х-Х2
4.25
 
f 
dx
x 2 + 5 x —4
4.28  f 
Лх
 + 
3
 
aEc
2x
2
 - x + 5
4.2  J
4.5  J
x — 3
2x2 - 4 x - \  
2 x + 5
dx
dx
Ax
  + 
8 x  +  9
A  Q  r
 
3 x  
+ 4 
, 
4.8  J--  — 
dx
X
  + 6 x 4 - 1 3
4.11 
J
x - 4 ___
2 x 2 
-
x
 
+  7
dx
4.14  j  
f a
~
3
 
*
2x
2
 + 4 x - 5  
4.17  j  
*
+
5
... 
dx
4.20  f
3 —
6
x —x 
- 8
4 x 2 
+ 
x  
-  5
4.23  f  , 
2 x + 3
 
cfr
2
x
2
 - x  + 
6
4.26  J
4.29  J
3 x - 4
2
x
2
 — 
6
x 
+ 1  
2 x + 5
,  
w
3
x
2 + 9
x
- 4
dx
dx
4.3
  1
x — 
1
3x
2
 - x + 5
dx
4.6  J
2
x 
— 1 0  
1
 + x - x
dx
Л
  n   f  
3 X - 1  
,
4.9  j  —  
■
 
dx
2
x
2 - 5
x
+1
4.12  f 
, 
2 x ~
l  
dx
x
2
 - 3 x + 4
4.15  f 
3x + 
2
 
dx
- 4  + 
2 X - X 2
4.18  if- 
—
+
4
 
tfe
3x
2
 + x - 5
4.21  f 
7
 
3
j:t
4
  Е Й
2 
+ З х - х
2
,  ^ , 
t
 
x —9 
, 
4.24  I  ■
 
dx
4 + 2 x - x
2
4.27  f
:&
. x
2
 - 5 x  + 
l
4.30  f
2 - З х - х
2
№5
5
Зх
2
 + 2 0 x + 9
Л  (x
2
 + 4 х + З І(х + 5 )
dx
1 2
 
dx
(x—
2
)fx
2
 -
2
х + 
з)
203

43л:+ 67
dx
8х dx
5   5   г 
о л   и л
(х
2
 + 
6
х + 5)(х + 3)
5.7  I
2дг4  н- 8дг3 — 4 5
jc
 — 61
H ip
dx
6х
  + 
6х
 — 
6
5.9 
- 
7 о л ~
(x + lj(x 
+ х
dx
Ъх"
 + 
Зх
 -  24
5.11
V*  - х - І І х - З )
Зх“ -1 5
5-13  J-— - ү — ---------- \<я!г
(х -1 )(х
2
 + 5х + б)
1 1
блгаЕг
х - 2
5.19
г 
2
х
2
 +41jc~91
f 2 x 4 +  17 х 3  +  4 0 4 1   +  37л:+  3 6   ,
(x + l ) k
2
 +
8
JC + 15)
5.21
6хА
І І х + 2 )
dx
5.23
5.25
dx
5.27
5.29
f2x4
 - 5 х
3
 - 1 5х2 + 4 І І  -  70  _
я  - и I is 1
1
 з
(х
2
 - 5 х  + б)(х + 
1
)
2
х
4
 - З х
3
 -
2 1
х
2
 - 2 6
(х
2
 -  5х 
+  
4 
J(
jc
 
гбх
4
 -ЗОлг
2
 + 30 
1
5.4
5.6
5.8
f 2x4 + 
8
х 3 + 9х2 - 7   ,
(х
2
 + х -  
2
]fc + 
3
)
г2х4 - 7 х 3 + 7х2 ~ 8 х   ,
'  (х
2
-5jc + б)(х + і7 
f 2 x 4 +  17х* 
+ 32х2
 — 
7х
+ 4 х + з)(х  + 5)
5.10 f a
5.12
37л: - 8 5  
(г
2
+ 2 х - 3 ? х - 4 )
2х  - 7 х   + 3х + 30  , 
(х -  
2
)(х2 -  
2
х -  з )
5.14
х  — 19х + 
6
л fife
5.16
dx
5.18
( x - l ) ( x
2
 + 5х + б) 
4 x 4 -  32х + 52 
+ 
6
х + 5Д х+3) 
г2х
4
 +
8
х
3
 —17х—5
1
И
О
Т
Й
) л
5 .2 0   Г
6
х
2
I
с
2
 + Зх + 2)
dx
5
 
2
?  f 
2х   - 2 6
J i n -----------V------
dx
х
  + 4х + ЗДх +
5.24  Г— ^ 2, + 
1 2 д г ~
6
 
дь-
(x + l)(x
2
 +
8
х + 15)
1
гбх
4
- 2 1 х
2
 + 3x + 24  , 
5.26  J 
-гз  —
bj;-----
г- 
dx
(х  + х -
2
Д х +
1
)
5.28  Г----- - * / 1 1
1х
___
.dx
5.30 
\ ~
X  r Xlx + 2  ,d x
( x - l ) ( x
2
 + 5 х + б )
№
6
6.1  Г
х 3 +1
х 3 - х 2
dx
6.2
  j
х 3 - 2 х 2 - 2 х + 1
dx
204

6.3
Зх  +1
х 2 - 1
dx
6.5
ШИ
г4дг
4
 + 
8
х
3
 — Зх—3 
J-----
і------
:
--------
ах
6.7
6.9
6.11
х
3
 + 
2
х
2
 + х
4х
2  
-
2
x + l)(x  + l j
г 2х
2
 -  5х +1  ,
2
 
А  
х  -
2
х  + х
2
х4 - 
' • - 3
  ■ 
^ - 2
d r
4х  н-2х  - 4 х  + 1
х С х -
1 ) 2
6.13
6.15
6.17
6.19
6.21
6.23
х  (х +
1
) 
г  х
2
 - З х + 2   ,  .
I 
--- ----- dx
х  + 2 х
  + х 
г 4х
4
 + 
8
х
3
 - 1   .
dx
х
3
 + х
2  
г 
6
х -  
2
х
2
 — 
1
  _
J - 3~  Г   2 
*
х  -
2
х  + х  
<■ х
3
 - 4 х  + 5  ,
6.25  J
Л   •
х
3
- х 2 - х  + 
1
dx
6.27
г *  
•+• X  4-  2   .
3 ,  
2  
X  + х
6.29
2х  +1
2
х  + х
d r
dx
*r
№7
6.4  Г 4 ± І
а
Е
г
x
3
- x
2
6.6
6.8
f  * + 2 
.
J I T
 
2
  Л
X   +  x
r
2
x
2
 -
2
x + l  .
J---- ~-----—  dr
6.10  J
x
2
- x
3
4x  + 
8
x
3
 — x — 2
(x + l
) 2
dr
6.12
х(хШ )
6.14 
J
x
3
 - 3
(x —1)6
dr
6.16 
----
dx
x  -  2&  + x
6.18  {
4xdr
6.20  j
P ^ l j x  + l) 
x
3
 - 4 x  + 2 x - l
x
3
- x
2
dx
, 
r2x
3
 + 2 x
2
  + 4x + 3  ,
6.  22  J------ -  •  -   ■— ■
— dx
x
  + x
2
a i/i 
С
 
3x~ + 2  ,
6.24  j —----- — afc
x(x4i:j)2
6.26  fr  y
2
 
I  
У - —  Abe
J (x
2
 -  xVx -T )
6.28
dx
x i - x 1
6.30
2
x
3
 + 5 x
2
 
- 1
“ 7
+ x r
dx
3x + 13
7-1  J7— , / Y  
------1A
( x - l ) ( x   + 2x + 5l
1 2
-
6
x
7.3  L 
v r r
(x + l)(x   - 4 х  + 13)
7.2  f '   - 6 t * 8 *
J 
x 
+ 8
-   , 
r  2x2 +2x4-20 
,
7 4
  J7---- vT
' 3
------------\ d t
(x -l)(x   +2x + 5]
205

х   + 3 х  — 6
7.5  f 
Ж
(
jc
 ч - 1 ) (
jc
  4 - 6 x 4 - 1 3 )
\<д
6с
7.7  j
36dfr
(х +
г
2
jc
 +
7 . 9   ( 7 £ Г І°  Д
J  х   + 8
7.11  І  
А
. Х
 
+-\   dx
1X4
 + 
4х
_ 
г 4 х —х 2 —12  , 
7.13  Г----- ғ --------
dx
3
 
х  + 8  
7.15 
f c ^ d x
х3 - 1
4 х - 1 0
7 1 7
  J t—
Щ т
------------
1
(х + 
2
)(х  -
2
x + 
1 0
j
• 7
 
1 0
  Г 
2 * 2
 + 7 х  + 7 - 
^ 
7.19  I------
-*-=
----------- Sflbc
( х - і д х   + 2х + 5)
dx
4х  + 38
Лбйс
2л:+10]
_ 
г 
2дг2 4-4x4-20 
И
7 - 2 3  
J7
-----------------------------------------
Я іР
(х4-і)(х  — 4x4-13)
7.25  И
1
1
J 
X  + 8
7.27  Ь
2
1 2* +і'  J  
I  
х
3 - 1
П
 
on 
г  5х
2
 
+17X +  36 
I  
7.29 
I------ -----------------
леіх
(х + l)(x  + 
6
х +13 j
7.6 
Ш
 |&§
r 
dx
х
3 - 1
7.8  J
9 х - 9
(х +1 )(•
4x4-13j
\*/х
si 
ш
 n
4x  + 3 x  + 17
( x - l ) l x   +
2
x +
dx
5x + 40
7
1
2
 J?—
(x + 
2
)(x  -
2
x + 
1 0
)
_  '  .  I 
x ‘ - 1 3 x + 4 0
7 1 4
  J / t w  
2
 
r , i
(x + l)(x  - 4 x  + 13l
dx
7.16  f
~
9X dx
x 
+ 8
x
2
  + 23
7.18  J -   -
/ -------------.
l)(x  +
6
х  + 13)
(x +
dx
7.20  J
1 9 x - x   — 34
(x +1J J S  4x +1 з)
л Л
7.22  J
8
 
dx
(x4-l)lx 
4-6x4-
5x4-13
n  пл
 
f
(x 
+ 1
 )(x
2
 + 
6
x
+ 1
 з )
dx
4x  + 7 x  + 5
7.26  J-----
\ r   '
 
%
(x —l)^r  + 2 x  + 5j
dEr
7.28  J
6xdx
x 3 - l
2
x + 
2 2
7.30  Г - 
Г   ~ ------- \flfc
( x +
2
)(x  —
2
x  + 
1 0
j
7.33 
Т р и го н о м етр и ял ы қ  ф у н к ц и ял ар д ы   интегралдау
1.  Интегралдар 
j/?(sinx,  cosx 
түрінде  берілсе,  мұндағы 
R
х
рационалдык  функция.  Көрсетілген  түрдегі  интегралдар 
t g —^ t
  әмбебаб
- 
• 
lIpBtL ^ ^ 
■
 Г
тригонометриялык  орын  ауыстыруы  аркылы  рационалдык  функциянын 
интегралына  келтіріледі.  Мұндай  орын  ауыстыру  нәтижесінде  мына 
теңдіктер орындалады:
2 0 6

х = 
2
 
arctgf,  dx
 = -
4
, .
1 + / 2
2  
°  
2
dx
Мысалы, 
j - — ~
---- — ------—  интегралын есептеңіз.
'4 s in x + 3 c o s x  + 5
Шешуі. 
Интеграл  астындагы  функция 
sin jc-тан  жэне 
c o sx -тан 
рационалды тәуелді, сондыктан 
tg\  Х
-
  | = /  орын ауыстыруын колдану аркылы
мына өрнектерді аламыз:
2
/ 
1
 
- t 2 
2 dt 
sm x = -— -  
c o s j c  
= —  -  
d x =  
\
I + r  
1
 
+ t2
 
1
 + f
Сонда берілген интеграл
ц §
I — 
-  -  
^
____________ a -  
f 
1 + / 2
Л. 
c  i n   V   X   1
V
 
1
 
< 
J
4 sinx + 3cosx + 5 
J 
2
r 
I
-
/ 2
4 . - i ^ + 3 - i - L  + 5 
1
 + 
/ 2
 
l + t 2
dt 
,  dt
 
1
 
_
2 
— J/ 
— 
+ C .
Q #   i  О 
' Л
  .
2
/  +
8
/ + 
8
 
Щ
| |  
/ + 
2
Ескі айнымалыга кайта оралып, интеграл  шешімін келесі түрде жазамыз:
г  -
  '  ' 
* 
- 
f* 
dx
 
1
х  Яду* fen 
f e w  
J и 
» -  
7   с -------- f  С .
4 s h i j c + 3 c o s j c  
+ 5 
i  x i
sa
2
+ 
2
/
Көптеген  жағдайларда
v
2
 у
= / эмбебап  орын  ауыстыруын  колдану
киын  есептеуге  әкеліп  соктырады.  Сондыктан  J/?(sin
х ,
cos
х)іх
  түріндегі
интегралдың жеңіл есептелуінің дербес жағдайларын карастырамыз.
1
).  Егер  /?(sin x ,c o s x )-  функциясы  sinx  катысты  так  функция  болса,
ягни 
R ( -
 sin дг, cos 
х )=
 -i?(sin x, cos jc ), 
онда 
интеграл 
cosx = / 
орын 
ауыстыруын колдану аркылы рационалды болады.
2).  Егер  fl(sin x ,c o sx )-  функціоЙы 
c o s j c  
катысты  так  функция  болса, 
ягни 
2
?(sinx,—cos х )= —V?(sin 
х,
 cos 
х
 ), 
онда 
интеграл 
sin х = / 
орын 
ауыстыруын колдану аркылы рационалды болады.
3).  Егер 
i? (sin x ,co s
х )—  функциясы 
s in x  
жэне 
c o s x  
катысты  жұп 
функция  болса,  ягни  /?(— 
s i n x ,—c o s x )  = /? ( s in x ,c o s x ) , 
онда  интеграл 
tgx
 = / 
орын ауыстыруын колдану аркылы рационалды болады
207

f sin x  + sin3x L  
Мысалы,  | v----------------
ktx
  интегралын есептеңіз.
cos
2
x
Шешуі:  Берілген  интеграл  sin x   катысты  так  функция  болғандыктан 
cosx = 
t
  орын  ауыстыруын колданамыз.  Сонда
2
 
2
 
^ 
^ 
2
 
2
 
I 
#
sin 
x  — \ - t   ,
  cos
2
х = 
2
cos 
x — \ = 2t
  — 
1
, 
dt
 = —sin
xdx
  теңдіктерін аламыз. 
Сонымен берілген интеграл
/•(sin 
x
 + sin
3
 
rsin x (l + sin
2
 
x\bc _
 
<-( 2
 -
1
2 )(- 
dt) _
cos
2
x 
'
 
2
cos
2
x - l  
jj 
2 t2
 
- 1
1  r2
/ 2
 —4  I 
1  r2
/ 2
 —1 — 3  . 
l r .  
3  r 
dt
2 J 2 t2 - \  
2  J  2 t2 - \  
2  3 
2  12 t2
 
- 1
2  
2
 
2
 
2
? 
- 1
 
2
 
2
 
2
 
2t + \
•  •
теңдігімен аныкталады.
Ескі айнымалыға көшу аркылы,
(sinх
4
-sin3*) 
1
 
3  , 
2
cosx — if  „
4
 
-------
!dx
 = — c o s x ----- — In  — --- -------
С
co s
2
x  
2
 
2
 
2
 
k
2
c
6
sx  + 
1
тендігін
I
sin
m
 xcos” 
xdx
  түріндегі  и н теграл.  Бұл  түрдегі  интегралдарды
есептеу үшін томендегі екі маңызды жағдайды  карастырамыз.
1-жағдай.  Ең  кемінде 
т
  және 
п
  көрсеткіштерінің  біреуі  оң  так  сан
бО Л С Ы Н . 
|  
, 
і 
£-ЛЫІ
 тК_  :
Егер 
п
 
оң  так  сан  болса,  онда  sin х = 
t
  орын  ауыстыруын  колданамыз, 
ал егер 
т -
  оң так сан болса, онда  cosx = 
t
  орын ауыстыруын  колданамыз.
Мысалы,  jsin
4
x co s5xafr  интегралын есептеңіз.
Шешуі:  Берілген  интегралда  cosx  функциясының  көрсеткіші  так
болғандықтан  sin x  = /  орын  ауыстыруын  колданамыз,  сонда  cos 
xdx — dt 
болады, онда берілген интеграл
J*sin
4
 
х
cos
5
 
xdx
 =  jsin
4
 
x(l 
-  sin
2
 
x )2 COS JCtfe
sin x  = 
t
xdx = dt
v 4 (i 

жүктеу/скачать 12,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: