№1 дәріс. Кіріспе. Математиканың бұлақ-бастаулары (IX ғ. дейін). Курстың объектісі, пәні және оны оқытудың мақсат-міндеттері. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы

жеткілікті. Олар мыналар: 
Математикалық логика және математиканы негіздеу 
мәселелері; Алгебра; Сандар теориясы; Геометрия; Топология; Алгебралық геометрия; 
Комплекстік анализ; Ли группалары; Нақты және функционалдық анализ; 
Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика; Қарапайым және дербес 
туындылы дифференциалдық теңдеулер;Математикалық физика; Сандық әдістер және 
есептеулер теориясы; Дискретті математика және комбинаторика; Информатиканың 
математикалық мәселелері; Математиканың физикалық емес ғылымдарда қолданылуы; 
Математика тарихы; Математиканы оқыту мәселелері. 
Сонымен қатар бұл тізімге математиканың XX ғасырда пайда болып, қалыптаса 
бастаған 
кибернетика, ақпараттар теориясы, алгоритмдер теориясы, компьютерлік 
модельдеу теориясы, оптимизация теориясы және кездейсоқ процесстер теориясын
енгізуге болады.
Математиканың осы сияқты салаларын дамытуға айтарлықтай үлес қосқан XX 
ғасырдың аса көрнекті математиктері мыналар:
Жак Адамар (сандар теориясы);
П.С.Александров(топология);
С.Банах (функционалдық анализ, жиындар теориясы);
Ян Брауэр (анализ, топология, жиындар теориясы, математика философиясы);
Г.Вейль (алгебра, анализ, сандар теориясы, математикалық логика, математикалық 
физика, т.б.);
Н.Винер (кибернетика);
И.М.Гельфанд (функционалдық анализ, топология, алгебра, Ли группалары, 
математикалық физика, т.б.);
А.Гротендик (алгебралық геометрия);
Ж.Дьёдонне (функционалдық анализ, Ли группалары, топология, алгебралық 
геометрия);
А.Картан (анализ, топология);
Дж. фон Нейман (математикалық логика және компьютерлер теориясы, 
математикалық физика, жиындар теориясы, информатика, ойындар теориясы, т.б.);
А.Тарский (математикалық логика);
А.Уайтхед (математикалық логика);
Ф.Хаусдорф (топология, жиындар теориясы, функционалдық анализ, сандар 
теориясы);
А.Я.Хинчин (ықтималдықтар теориясы); 
А.Чёрч (информатика, математикалық логика);
К.Шеннон (информатика, кибернетика);
Э.Цермело (математикалық логика, жиындар теориясы), т.б. 
3. 
XIX ғасырдың cоңында Кантордың жиындар теориясында қарама-
қайшылықтардың (антиномиялардың) орын алатындығының анықталуына байланысты 
математиканы аксиоматикалық негізде құру бағытында жаңа ғылыми ізденістер жасалды. 
 
1915-20 жж. Лёвенгейм мен Скулемнің зерттеулерінде ешқандай аксиоматикалық 
жүйенің категориялы болуының мүмкін еместігі анықталды. Басқаша айтқанда, аксиомалар 
жүйесі қалай тиянақты тұжырымдалғанымен, барлық уақытта осы жүйені құру 
мақсатындағы интерпретацияға мүлде ұқсамайтын интерпретация табылады. Бұл жағдай 
әрине, аксиоматикалық жүйенің әмбебаптығына деген сенімділіктің төмендеуіне себеп 
болды. Оның үстіне формальдық аксиоматика математиканың салалары сүйенетін іргелі 
принциптерді айқындау үшін қажетті болып танылды. Сонымен бірге аксиоматикаландыру 
математиканың әртүрлі бөлімдерінің арасындағы байқала бермейтін байланыстарды 
айқындауға көмектеседі.
1931 ж. К.Гёдель математикалық логиканың шектеулілігі тағайындалған 
толымсыздық туралы екі теореманы ұсынды. Бұл Д.Гильберттің математика негіздемесінің 
толық және қайшылықсыз жүйесін жасау туралы өз ойларын аяқтауына мүмкіндік туғызды.
 

Алгоритмдер теориясында елеулі нәтижелер алынды. Теореманың дұрыс, бірақ 
алгоритмдік тұрғыда қол жетімсіз болатындығы дәлелденді (Чёрч,1936). 1933 ж. 
А.Колмогоров ықтималдықтар теориясының қазіргі күнгі жалпылама қабылданған 
аксиоматикасын жасады. Сонымен қатар басқа да аксиоматикалық теориялар дами 
бастады. 1963 жылы Пол Коэн Кантордың континуум-гипотезасын жиындар теориясының 
кәдімгі аксиоматикасында дәлелдеудің мүмкін еместігін дәлелдеді.
XX ғ. 30-жылдарының соңына қарай басылымдарда «Никола Бурбаки» деген 
бүркеншік есіммен көрінген француз математиктерінің тобы бүкіл математиканы 
аксиоматикалық негізде құруға әрекет жасады. Бурбаки бойынша, математиканың іргетасы 
ретінде жиындар теориясы алынды. Содан кейін оның I қабаты тұрғызылды: реттелген 
структуралар, алгебра, жалпы топология және өлшемдер теориясы. Соңында 
математиканың II қабатын тұрғызу қолға алынуы тиіс еді, онда I қабаттың құраушылары 
болып табылатын алгебралық, геометриялық және т.б. структуралар біріктірілуі керек 
болатын. Алайда, бұл мәселе аяқсыз қалды. 
4.
Алгебраның дамуында жоғарғы нәтижелерге қол жеткізілді. Ғасыр басында 
Э.Нетер мен Ван-дер-Варден математиканы алгебраландыру мәселесін қолға алып, жалпы 
алгебраның негіздерін жасады (қазіргі күні оның структуралары (группалар, өрістер, 
сақиналар, сызықтық кеңістіктер, т.б.) бүкіл математикада кездеседі). Осыдан кейін 
группалар теориясы физика мен кристаллографияға ене бастады. Ғасыр басындағы 
маңызды жаңалықтың тағы бірі 
𝑝
-радикалық сандар теориясының пайда болуы мен дамуы 
болып табылады. 
XX ғасырдың 10-ыншы жылдары Рамануджан 3 000-нан астам теореманы 
тұжырымдады, олардың арасында санның бөлшектену функциясының қасиеттері мен 
асимптотикалық бағаларына қатысты теоремалар да бар. Ол сондай-ақ гамма-
функцияларды, модулярлық формаларды, жинақсыз қатарларды, гипергеометриялық 
қатарларды және жай сандар теориясын зерттеуде маңызды нәтижелерге қол жеткізді.
1995 жылы Э.Уайлс Ферма теоремасын дәлелдеп, көпғасырлық проблеманы шешуді 
жүзеге асырды.
5.
XX ғ. басында функциялар теориясы дами бастады. Ол шын мәнісінде, өлшемдер 
теориясы саласындағы табыстардан бастау алады (Борель, Лебег, т.б). Осының негізінде 
функциялар теориясында функциялардың метрикалық теориясы деп аталатын жаңа бағыт 
пайда болды. Борель мен Лебег өлшемдердің жордандық теориясын жалпылауды жүзеге 
асырды, осының негізінде Лебег интегралдары жасалды. XX ғ. функциялар теориясында 
орыс математика мектебі үлкен табыстарға қол жеткізді.(Лузин, П.С. Александров, Бари, 
Колмогоров, Меньшов, Суслин, Хинчин, т.б). 
Гильберттің математикалық мектебінде функционалдық анализ пайда болды және ол 
кванттық физикада қолданыла бастады. Жалпы алғанда, функционалдық анализдің 
дамуында екі бағыт орын алды:
1) Сызықтық функционалдық анализ (И.Фредгольм, т.б);
2) Квадраттық формалар теориясы (Д.Гильберт, т.б.). 
XX ғ. 60-ыншы жылдары А.Робинсон математикалық анализді өзекті шектеусіз аз 
шамалар тұрғысынан негіздеуді жүзеге асырып, стандартты емес анализді баяндаумен 
байланысты жұмыстарын жариялады.
6. 
1907 ж. Г.Минковский арнайы салыстырмалық теориясының кинематикасының 
геометриялық моделін жасады, ол кейінірек жалпы салыстырмалық теориясы үшін негіз 
болды.
 
Топология жақсы қарқынмен дамып, математиканың әралуан салаларында қолданыла 
бастады. Әсіресе, Б.Мандельброт ашқан фракталдар теориясы ғалымдардың жаппай 
қызығушылығын тудырды. Негізінен алғанда, топология мынадай бағыттарда дамыды:
1) комбинаторикалық топология (Пуанкаре, т.б);

2) жалпы немесе теориялық-жиындық топология (Г.Кантор, т.б.). Геометрия мен 
топология саласындағы бұл теориялар көпөлшемді дифференциалдық геометрияның, 
әсіресе, римандық және псевдоримандық геометриялардың дамуына әсерін тигізді.
7.
XX ғасырдың 40-ыншы жылдары математика ғылымындағы жаңа бағыт - 
ақпараттар теориясы қалыптаса бастады (К.Шеннон). Н.Винер ақпараттар теориясын 
кибернетика деп аталған неғұрлым жалпы ғылыми пәнге енгізді. XX ғ. екінші жартысында 
компьютерлердің пайда болуына және кеңінен таралуына байланысты математика 
ғылымында үлкен бетбұрыстар орын ала бастады. Сандық әдістер, оптимизация теориясы, 
мәліметтер базасы, жасанды интеллект проблемасы, аудио- және видео-мәліметтерді 
кодтау сияқты салалардың маңызы арта түсті. Кибернетикадан басқа да информатика, 
теориялық программалау, автоматтық аудармалар теориясы, компьютерлік модельдеу 
сияқты жаңа ғылым салалары пайда болды. Компьютерлердің көмегімен кейбір ескі 
проблемаларды шешу жүзеге асырылды. Мәселен, В.Хакен мен К.Аппель компьютерді 
пайдаланып, төрт бояу проблемасын шешті (1976). XX ғ. аяғына қарай кибернетиканың 
дамуына байланысты философиялық концепцияларды қайта қараумен байланысты 
жасанды интеллект проблемасы көтерілді. 
8.
XX ғасырда физикадағы ашылған жаңалықтарды математикалық тұрғыда негіздеу 
мәселелерімен байланысты мынадай нәтижелер алынды: 
 
-геометриядағы байланыстылық ұғымына қатысты теориялар (Леви-Чивита, т.б). 
-кванттық механиканың математикалық негіздері (Д.Гильберт, т.б.). 
-броундық қозғалыстың математикалық теориясы (Колмогоров, т.б.). 
XX ғасырда математиканы адамзатты бүкіләлемдік катастрофаға әкелетіндей мақсатта 
пайдалануға әрекеттер жасалды. Әр түрлі елдерде көптеген математиктер соғыс 
қаруларының жаңа құралдарын жасауға қатысты. Ұшақтарды құрастырудың 
мұқтаждықтары аэродинамиканың дамуына және ұшу теориясының пайда болуына алып 
келді (Н.Е.Жуковский, С.А.Чаплыгин, В.В.Голубев, т.б.) Бұл комплекс айнымалылар 
функциясының теориясының дамуына әсер етті.
 
Әскери-теңіз флотын қалыптастыруға 
байланысты кемелер теориясында (А.Н.Крылов, т.б.), гироскопияда (А.Ю.Ишлинский, 
т.б.), орнықтылық теориясында, есептеулер әдістерінде іргелі табыстарға қол жеткізілді. 
Артиллериялық атқылау мен бомбалауды басқаруда ықтималдықтар теориясын пайдалану 
(Винер, Колмогоров, т.б.), алыс қашықтықтағы ракеталарды құрастырумен байланысты 
тиімді басқару теориясын дамыту (Л.С.Понтрягин, Р.Беллман) қолға алынды. Құпия 
хабарламаларды шешу және оларды байланыс каналдарымен тиімді түрде жеткізудің 
қажеттілігінен математиканың жаңа саласы-ақпараттар теориясы (К.Шеннон,т.б.) пайда 
болды. Математика ғылымы атомдық бағдарламаларды жасау мен жүзеге асыруға да 
қызмет етті. Осының барысында есептеу техникаларын жетілдірудің қолға алынуы 
барысында алғашқы ЭЕМ-лар (ENIAK, МЭСМ, БЭСМ, т.б.) жасалды. Бұл информатика 
ғылымының пайда болып, қарыштап дамуына ықпал жасады. 
9.
XX ғасырға дейін көптеген атақты проблемалар шешіле қойған жоқ. Сондай 
проблемалардың ең ескісі (XVII ғ. қойылған) және аса маңыздысы Ферма теоремасы еді: 
«n>2 болғанда х
n
+у
n
=z
n
теңдеуінің рационал шешімдері болмайды». Келесі проблема 
Гольдбах проблемасы (XVIII ғ. қойылды): «6-дан артық әрбір натурал санды үш жай
санның қосындысы түрінде өрнектеуге бола ма?». Осымен тығыз байланысты Эйлер
проблемасы: « Әрбір жұп санның екі жай санның қосындысы болатындығын дәлелдеу 
керек». XIX ғ. Кантор қойған континиуум проблемасы: «Бірлік кесіндіге өзара бірмәнді 
бейнеленетіндей жиын бар ма? (бұл жағдайда бірлік кесіндіні осы жиынға бірмәнді 
бейнелеуге болмайды)». 
1936 ж. К.Гедель континиуум проблемасын математикалық логика мен жиындардың 
жалпы қабылданған аксиоматикалық теориясының әдістері көмегімен теріске шығарудың 
мүмкін еместігін дәлелдеді, ал 1963 ж. Пол Коэн оған кері теореманы дәлелдеді. 
Гильберттің 10-проблемасы: «Операциялардың шектеулі санынан кейін берілген 
теңдеудің бүтін рационал сандар жиынында шешімі болатындығын тағайындау мүмкін 

болатындай тәсілді көрсету керек». Оның басқаша түрдегі тұжырымдалуы мынадай: «n 
айнымалысы бар және бүтін коэффициентті Р көпмүшелігі бойынша Р=0 теңдеуінің бүтін 
санды түбірлері болатындығын немесе болмайтындығын дәлелдеу керек». 1970 ж. 
Ю.В.Матиясевич мұндай алгоритмнің болмайтындығын дәлелдеді. 
Гильберттің 13-проблемасы: «Қандай да бір үш айнымалының функциясын екі 
айнымалының үздіксіз функциясының суперпозициясы түрінде өрнектеу мүмкін емес». 
1957 ж. Колмогоров пен В.И.Арнольд бұл тұжырымды теріске шығарып, оны шешіп берді. 
Гольдбах проблемасы шешілді дерлік деуге болады. 1937 ж. И.М.Виноградов 
мынадай теореманы дәлелдеді: «Кез келген жеткілікті үлкен натурал санды үш жай санның 
қосындысы түрінде өрнектеуге болады». 
Ферманың ұлы теоремасын 350 жыл бойы ешкім толық дәлелдей алған жоқ. 
Ферманың өзі бұл теореманы n=4 болған жағдай үшін дәлелдеп көрсеткенін айтады. Осы 
жағдай үшін оны Л.Эйлер 1738 ж., ал n=3 жағдайы үшін 1768 ж. дәлелдеді.
Принстон университетінің профессоры Э.Уайлс 1995 ж. Ферма теоремасын толық 
дәлелдеп шығып, дәлелдемені жетекші математикалық журналдардың бірі «Математика 
анналдары» журналында жариялады. Сонымен 350 жылдан кейін ғана теорема толық 
дәлелденді. 
XXI ғ. математикасының басты жаңалығы - орыс математигі Г.Перельманның 
Пуанкаре гипотезасын дәлелдеуі. Пуанкаре гипотезасы: «Кез келген бірбайланысты 
компактілі үшөлшемді көпбейнелік үшөлшемді сферада шетсіз гомеоморфты болады». 
2002-2003 жж. ол Пуанкаре гипотезасының дәлелдеу әдісі баяндалған атақты 3 мақаласын 
жариялады. Осы үшін ол 2006 ж. «Филдс медаліне» ұсынылды. 1996 ж. АҚШ-та жұмыс 
істеп жүргенінде Еуропа математикалық қоғамы оны жас математиктерге берілетін 5 000 
еуро сыйлыққа ұсынған болатын. 2010 ж. Клей атындағы Математика институты ғасыр 
проблемасын шешкені үшін 1 млн. доллар көлеміндегі сыйлыққа ұсынды. 2011 ж. оған 
Ресей ҒА құрамына кіріп, оның құрметті мүшесі болу ұсынылды. Бірақ Г.Перельман 
осылардың бәрінен бас тартты. 

жүктеу/скачать 1,12 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: