Избранные работы

такого же рода. Когда нашей целью является знание,
простые высказывания следует ценить выше менее
простых,
 потому что они сообщают нам больше, потому
-что больше их эмпирическое содержание и потому что
'Они лучше проверяемы.
44. Геометрический образ и функциональная форма
Наша концепция простоты помогает нам разрешить
•ряд противоречий, которые до сих пор ставили под со-
мнение полезность применения понятия простоты.
Немногие, я думаю, считают
 геометрический образ,
•скажем, логарифмической кривой очень простым. Од-
нако
 закон,
который может быть представлен с помощью
логарифмической функции, обычно считается простым.
Аналогичным образом
 функция синуса,
по общему мне-
нию, является простой, хотя геометрический образ
 си-
нусоиды,
возможно, не является столь простым.
Трудности такого рода можно устранить, если мы
вспомним о связи между числом параметров и сте-
пенью фальсифицируемости и проведем различение
между формальной и материальной редукциями раз-
мерности. (Здесь могут помочь и соображения о роли
инвариантности по отношению к преобразованиям си-
стем координат.) Когда речь идет
 о геометрической
-.форме или об образе
некоторой кривой, мы требуем от
нее инвариантности по отношению ко всем преобразо-
ваниям, принадлежащим к группе переносов. Мы мо-
жем также потребовать при этом инвариантности по
отношению к преобразованиям подобия, так как обыч-
но предполагается, что геометрическая форма или гео-
метрический образ не связаны с определенным
 местом
на плоскости. Следовательно, если мы рассматриваем
форму однопараметрической логарифмической кривой
(y = logax),
не связывая ее с определенным местом на
плоскости, то такая кривая будет зависеть от
 пяти
па-
раметров (если допустить преобразования подобия).
Таким образом, она ни в коем случае не является весь-
ма простой кривой. Если же некоторая логарифмическая
кривая представляет
 теорию или закон,
то указанные
преобразования координат не имеют значения. В таких
случаях использование вращений, параллельных пере-
носов и преобразований подобия не имеет смысла, так
жак логарифмическая кривая здесь, как правило, яв-
188
ляется графическим представлением, в котором оси ко-
ординат не взаимозаменяемы (к примеру, ось
 χ
может
представлять атмосферное давление, а ось
 у
— высоту
над уровнем моря). По этой же причине преобразова-
ния подобия также не играют здесь никакой роли. Ана-
логичные соображения применимы и к колебаниям
 си-
нусоиды
вокруг некоторой конкретной оси, к примеру
вокруг оси времени, и ко многим другим случаям.
45. Простота евклидовой геометрии
Одним из вопросов, занимавших важное место в
большинстве дискуссий о теории относительности, был
вопрос о простоте евклидовой геометрии. При этом
никто даже не пытался усомниться в том, что евклидо-
ва геометрия как таковая проще, чем любая неевкли- ·
дова геометрия с данной постоянной кривизной, не го-
.воря уже о неевклидовых геометриях с переменной кри-
визной.
На первый взгляд кажется, что используемое при
таком сравнении понятие простоты не имеет почти ни-
чего общего со степенями фальсифицируемое™. Одна-
ко если высказывания о простоте различных геометрий
сформулировать в виде эмпирических гипотез, то обна-
ружится, что два интересующих нас понятия — простота
и фальсифицируемость — совпадают и в этом случае.
Рассмотрим, какие эксперименты могут оказать нам
помощь в проверке следующей гипотезы: «В нашем ми-
ре необходимо использовать некоторую метрическую
геометрию с таким-то и таким-то радиусом кривизны».
Эта гипотеза допускает проверку только в том случае,
если мы отождествим некоторые геометрические сущ-
ности с определенными физическими объектами, на-
пример прямые линии ·— со световыми лучами, точки —
с пересечением нитей и т. п. Если принять такое отож-
дествление (то есть соотносящее определение или, воз-
можно, некоторое остенсивное определение — см. разд.
17), то можно показать, что гипотеза о справедливости
евклидовой геометрии световых лучей фальсифицируе-
ма в большей степени, чем любая другая конкурирую-
щая гипотеза, утверждающая справедливость некоторой
неевклидовой геометрии. Дело в том, что если мы из-
мерим сумму углов светового треугольника, то любое
значительное отклонение от 180 градусов фальсифици-
рует евклидову гипотезу. В то же время гипотеза о
189

справедливости геометрии Больяи — Лобачевского с
данной кривизной будет совместима с любым конкрет-
ным измерением, результат которого не превосходит
180 градусов. К тому же для фальсификации второй
гипотезы необходимо измерить не только сумму углов,
но также и (абсолютный) размер треугольника, а это
означает, что в придачу к углам потребовалось бы
ввести новую единицу измерения, такую, например, как
единицу площади. Таким образом, мы видим, что для
фальсификации второй гипотезы требуется большее
число измерений, что данная гипотеза совместима с
большими отклонениями в результатах измерений и
что, следовательно, эту гипотезу труднее фальсифици-
ровать. Иначе говоря, вторая гипотеза фальсифицируе-
ма в меньшей степени. То же самое можно выразить,
сказав, что евклидова геометрия является единственной
метрической геометрией с определенной кривизной, в
которой возможны преобразования подобия. Как след-
ствие этого, фигуры евклидовой геометрии могут быть
инвариантными по отношению к большему числу пре-
образований, то есть они могут иметь меньшую размер-
ность и поэтому быть проще.

жүктеу/скачать 3,46 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: