р(х, у )  = т а х |х (/) -  y(t )|

формуласымен  анықтадық.  {х„(/)}  іргелі  тізбегі  берілсін,  мүнда,  x n( t ) e  C[a,b]; 
тізбек іргелі болғандықтан  Уп,т > N {s)  үшін  р ( х п,х т) < £ .  Олай болса,
max|x( t ) - y ( t ) \ < £ ,   \/т,п> N (s).
Бүл  өрнек  {х„(7)}  тізбегі  үшін  [a,b]  кесіндідегі  бірқалыпты  жинақтылықтың 
Коши  критерийі  орынды  екенін  көрсетеді.  1ітх„(7) = хо(0  сол  тізбектің  шегі  бол-
п—
>оо
сын,  демек,  х0(7)  бірқалыпты  жинақгы  үзіліссіз  функциялар  тізбегінің  шегі,  олай 
болса,  [а,Ь]  сегментінде  үзіліссіз,  яғни  x0(t)e C [ a ,b ]  жэне  p ( x n,x Q) —> 0, п —> оо  . 
Демек,  С[а,Ь]  кеңістігі толық.  L2[a,b]  кеңістігі  де толық екенін  көрсетуге  болады. 
Нақты сандар жиыны Q үзындық өлшемі  р ( х , у )  = |х -  у\  болғанда толық.
1-  ескерту.  М -  метрикалық кеңістік  болсын.  Кез  келген  М 0  a  М   кеңістігі  де
сол ұзындық өлшемімен метрикалық кеңістік болады.
2-  ескерту.  Егер  М   -   метрикалық  кеңістік  болса,  онда  М ()  cz М   кеңістігі
толық болмауы, мүмкін, бірақ  М 0  түйық кеңістік болса, онда ол толық болады.
М   мен  N  метрикалық кеңістіктер болсын.  Егер осы кеңістіктердің нүктелері 
арасында өзара бірмэнді  сәйкестік болып  жэне сэйкес  нүктелердің арақашықтығы 
сақталса,  яғни,  х<г^у,  х' <-> у ,  х,х' е  А/,  у , у '  еА^=>  р ( х , х ' ) -  р { у , у ')   болса,  онда
М  мен  N   кеңістіктерін  изометрикалық  кеңістіктер  деп  атайды.  Бір  кеңістіктегі 
изометрикалық екі жиын туралы да айтуға болады.  Эрине,  изометрикалық қасиет- 
тері ұқсас, соңдықтан оларды кейде бірдей қасиетті кеңістіктер деп те атайды.
Параграфтың соңында толық емес кеңістікті қалайша толық етуге болатынын 
қарастырайық.  М 0  толық  емес  метрикалық  кеңістік  болсын.  Бүл  жағдайда  М  
толық  жиыны  табылатынын  жэне  оның  тығыз  бөлігі  М,  cz М   мен  М 0  изометри- 
калық  кеңістіктер  екенін  дэлелдеуге  болады.  Бүл  М   жиыны  изометрикалық 
дэлдікпен бірмэнді түрде анықталып,  М 0 -дің толықтырушы кеңістігі деп аталады.
Егер  сызықтық  Е{  мен  Е 2  кеңістіктерінің  элементгері  арасында  бірмэнді 
сэйкестік бар болып, сәйкес элементтері  х,  <-> х2  жэне  у,  <у> у 2
(х,,у,  е Е ^ , х 2, у 2 е Е 2)  үшін  х,  + у ] 
х2  + у 2  жэне  Ах, 
Лх2  шарггары 
орындалса,  онда  £,  мен  Е2  кеңістіктерді  сызықты  изоморфты  деп  аталады.
Сызықты изоморфты кеңістіктер изоморфтық дэлдікпен өзара тең немесе олардың 
бірінен-бірі ешқандай айырмашылығы жоқ деп есептеледі.

жүктеу/скачать 10,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: