Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3 0 - аксиоманы тексерелік. V/ е [ а,Ь ] үшін о 1. р(х,у) = 0 х = у (тепе-тендік аксиомасы);
- I x(t) - y(t) I = |[x(/) - z ( t ) ] + [ z ( t ) - y ( t )\ Щ ^ m a x |4 0 - z(/)|
- Теорема.
| R ” арқылы белгілейді.
3) [a,b] кесіндіде анықгалған барлық үзіліссіз функциялар жиыны, егер арақашықтық теңдігімен анықталса, метрикалық кеңістік түзеді. t Шынында да, 1° мен 2° -аксиомалардың орындалатын оңай тексеріледі, ал 3 0 - аксиоманы тексерелік. V/ е [а,Ь] үшін о 1. р(х,у) = 0 х = у (тепе-тендік аксиомасы); о 2 . р( х, у ) = р(у,х), Ух,у g М (симметрия аксиомасы); о 3 . р(х,у) + р { у , z) < р(х,z ), Vx, y , z e M (үшбұрыштар аксиомасы) p ( x , y ) = m a M l ) - y ( t ) \ (7) < max I x(t) - y(t) I = |[x(/) - z ( t ) ] + [ z ( t ) - y ( t )\ < |дс(0 - z(0| + |z(0 - Щ ^ < m a x |4 0 - z(/)| + mgt|z(/) - y(0 1 ^ P(x>z) + Р(У’ z>- 15 Бұл теңсіздік \/t е [а,Ь] үшін болғандықтан: р(х , у ) = та х |х (/) - у (0 | < р(х , z ) + р ( у , z) n 1 1 түрінде жазылады. Демек 3° - аксиома да орындалады. Сонымен арақашықтық (7) өрнегімен анықталғанда [а,Ь] кесіндідегі барлық үзіліссіз функциялар жиыны метрикалық кеңістік түзеді; ол кеңістікті С[а,Ь] арқылы белгілейді. 4) [а,Ь\ сегментінде квадратымен интегралданатын, яғни \\f{x)\2dx < + оо теңсіздігін қанағаттандыратын функциялар жиынын қарастырайык. Ара-қашықты Р(*,У) = ( 8 ) формуласымен анықтап, жоғарыдағы аксиомалардың орындалуын тексерейік. Симметрия аксиомасының орынды екені анық. Ал тепе-тендік аксиомасы р ( х , у ) = О Ф x(t) = y(t), V/ g [a,b] үшін орындалған, яғни өлшемі нөл болатын жиында ғана х(0 мен y(t) бір-біріне тең емес. Үшбүрыштар аксиомасы Коши- Буняковский теңсіздігінен шығады: ( ь \x(t)y(t)dt < \ x 2( t ) d t \ y 2(t)dt. (9) Расында, егер (9) теңсіздігін u(t),v(t) үшін пайдалансақ, онда I(w + v ) 2dt < \u2dt + 2 \uvdt + j v2dt < J u 2dt + J v 2dt + 1 1 ( Ь \ \ i r d t 1 1 + 2 ь \ u 2d t 2 \ v 2d t 2 2 + ( Ь \ v 2 d t 2 а _ а К " у Бұл өрнектің екі жағынан да квадраттық түбір алсақ {и = х - z, v = z - у ), онда Һ 2 Һ 2 Һ {( x - y y d t _ а < ----- 1 rs j 7 7 1 и, ___ j + ----- 1 77 1 N '___ J 16 болады, яғни р { х , у ) + p ( y , z ) < p(x,z), демек, ұшбүрыштар аксиомасы орынды. Арақашықтық (8) формуласымен анықталғанда [a,b] кесінді де квадратымен ин- тегралданатын функциялар жиыны метрикалык ксңістік кұрады, оны L\a,b] арқылы белгілейді. Метрикалық кеңістіктің элементтерін кеңістіктің нүктелері деп айтады. Рм(-Х’а ) <г (сойкес р м(х,а) < г ) теңсіздігін қанағаттандыратыи метрикалык М кеңістігіндегі х нүктелері жиынын центрі а нүктесінде, радиусы г болатын шар (тұйық шар) деп айтады да S(a,r) ( S ( a , r ) ) арқылы белгілейді. М - кез келген метрикалық кецістік болсын. Егер осы кеңістіктен алынған { x J g M тізбегі үшін р ( х п,х 0) —> 0, п —> оо, х() е М болса, онда {х,} тізбегін х0 е М нүктесіне жинақталатын тізбек дейді. Егер {хп} е М тізбегі үшін V^ > 0 санына сойке N (s) саны табылып, барлык n ,m > N ( s ) үшін р ( х п,х т)< £ тең- сіздігі орындалса, онда {xj тізбегі өзіне жинакты немесе іргелі тізбек деп аталады. Теорема. Егер {хп} тізбегі jc 0 е М нүктесінде жинақты болса, онда ол іргелі тізбек болады. Дәлелдеу. х()=1ітхпонда > 0 үшін N(e) саны табылып, п> N (s) болғанда w —>QO жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|