№№7-9(73-75), шілде-қыркүйек, июль-сентябрь, July-September, 2013
Развитие идеи отрицательного количества в Европе
жүктеу/скачать 7,69 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Қазақстан Республикасы Жетекшісі: АХМОЛДАЕВА Райхангуль, Е. Сиқымов атындағы орта мектебі – мектепке дейінгі шағын орталығының
- Мəселенің өзектілігі.
- Негізгі бөлім. Сандар қалай пайда болды
- Сан есімнің жалпы сипаты жəне түрлері.
- Сан есімнің түрлері.
- Бөлшектік сан есімдер
- Бір санының киелігі.
Развитие идеи отрицательного количества в Европе. В Европе в XII веке нашей эры появились отрицательные числа, их называли «ложными» в отличие от положительных чисел – «истинных». Широко использовать отрицательные числа, выполнять действия с ними, строить координатную прямую стали благодаря работам французского математика Рене Декарта. Также в Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский, однако в явном виде отрицательные №№7-9(73-75), шілде-қыркүйек, июль-сентябрь, July-September, 2013 ISSN 2307-017X Ġylymi zertteuler a̋lemì – Mir naučnyh issledovanij – World of scientific research ___________________________________________________________________ 91 числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « - » применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI столетии много математиков (например, Виет) не признавали отрицательных чисел. Хотя многие европейские математики эпохи Возрождения, так или иначе пользовались отрицательными числами, их считали «ложными», «фиктивными», «мнимыми». Но, тем не менее, идея отрицательных чисел постепенно завоевывала умы и, главное, оказалась весьма полезной. Так, благодаря им удалось свести методы решений квадратных уравнений к одному случаю. В Индии это впервые произвел, как мы видели, еще Брахмагупта в VII в.; в Европе же это произошло в XVI в. в сочинении М. Штифеля «Полная арифметика», сведшего все квадратные уравнения к одному виду: в современных обозначениях, x2 = ax + b. При этом Штифель систематически изложил теорию операций с отрицательными числами. По поводу этих чисел он пишет: «Ты видишь, конечно, что все это с первого взгляда очень похоже на самый пустой вздор, и, однако же, выполненные в соответствии с этим алгебраические действия приводят к выражениям поистине удовлетворительным... Итак, подобно тому, как мы представляем себе различные числовые корни у чисел, не имеющих таких корней (т. е. иррациональные числа), и это представление оказывается в высшей степени полезным для математики, так же не без пользы представляем себе и число ниже 0, то есть ниже, чем ничего». Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Р. Бомбелли, переоткрывший сочинение Диофанта. Бомбелли не только установил правила обращения с отрицательными числами, но и выдвинул идею использования квадратных корней из отрицательных чисел – это были бы особые числа (сейчас мы называем их комплексными числами), не положительные и не отрицательные, но при этом, как было показано, очень полезные для математики, в том числе для решения многих конкретных задач, связанных с действительными числами. Введение комплексных чисел также позволяет «унифицировать» множество различных случаев. Например, удобно считать, что любое квадратное уравнение всегда имеет решение: уравнения, дискриминант которых отрицателен и которые поэтому не имеют действительных корней, имеют, тем не менее, два комплексных, поскольку в множестве комплексных чисел всегда можно извлечь квадратный корень, даже из отрицательного числа. Выражение «ниже, чем ничего» показывает, что Штифель и некоторые другие мысленно воображали положительные и отрицательные числа точками на вертикальной шкале (вроде шкалы термометра). Развитое затем математиком А. Жираром представление об отрицательных числах как о точках на некоторой прямой, располагающихся по другую сторону от нуля, чем положительные, оказалось решающим в обеспечении этим числам прав гражданства, особенно в результате развития метода координат у П. Ферма и Р. Декарта [1]. Некоторые математики все же пытались, подражая древним, строить науку без отрицательных количеств. Среди этих «консерваторов» был и Ф. Виет, открывший и обосновавший (на уравнениях степеней от второй до пятой) замечательный факт, ныне называемый теоремой Виета. Сам Декарт, называя отрицательные числа (например, корни уравнения) «ложными», все же именовал и положительные, и отрицательные числа «действительными» (reelles). Все же некоторые свойства отрицательных чисел долго оставались неясными, особенно отношения порядка (больше – меньше). Например, удивляло, что в пропорции: 1/(–1) = (–1) / слева первый член больше второго, а справа меньше: №№7-9(73-75), шілде-қыркүйек, июль-сентябрь, July-September, 2013 ISSN 2307-017X Ġylymi zertteuler a̋lemì – Mir naučnyh issledovanij – World of scientific research ___________________________________________________________________ 92 получалось как будто бы, что большее отношение равно меньшему (это недоумение высказывал, в частности, А. Арно, друг Б. Паскаля и автор книги «Логика, или Искусство мыслить»). Споры о том, что же все таки представляют собой отрицательные числа, как обосновать правило знаков, по какому праву можно переносить правила арифметических действий с положительными числами на числа отрицательные, продолжались и в XVII, и в XVIII вв., что, однако, не мешало использованию этих чисел. Так, математик и философ д'Аламбер писал в середине XVIII в. В «Энциклопедии»: «Правила алгебраических действий с отрицательными количествами в общем приняты всеми и считаются точными независимо от того, что подразумевается под этими количествами». Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные числа получили лишь в первой половине XVIII в. Тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел. Вот почему с большим трудом завоевывали себе место в математике отрицательные числа. Отрицательные числа в нашей жизни: Если вы посмотрите на градусник, который измеряет температура воздуха на улице, то увидите, что на его шкале есть отметка «0», а ниже этой отметки располагаются числа со знаком «-» (минус). Вот об этих числах со знаком «минус» мы и поговорим. Эти числа называются отрицательными числами. Необходимость в таких числах возникла давно. В древности индийские ученые использовали отрицательные числа в торговых расчетах. Если вы имеете 3000 рублей и покупаете товар на 1000 рублей, то у вас остается 3000 – 1000 = 2000 рублей. Но если вы имеете 3000 рублей и покупаете товар на 5000 рублей, то у вас образуется долг 2000 рублей. Поэтому, в этом случае считали, что совершается вычитание 3000 – 5000, результатом является число 2000 со знаком «минус», означающее «две тысячи долга». Таким образом, –2000 это отрицательное число и в данном случае оно указывает на то, что у вас образовался долг 2000 рублей. Более современный пример можно привести, используя действия с телефонным балансом. Если на вашем счету было 200 тенге, а вы «наговорили» на 300 тенге, то на вашем счету образуется отрицательный баланс –100 тенге (минус 100 тенге). Это значит, что теперь телефонной компании вы должны 100 тенге. Вот еще пример показывающий, что такое отрицательные числа. Возьмем многоэтажный дом, в котором есть верхние этажи, а так же имеются нижние этажи, которые расположены ниже уровня поверхности земли. В этом многоэтажном доме есть лифт, который перемещается как по верхним, так и по нижним этажам. Если лифт направляется на верхние этажи, то мы можем сказать, что мы находимся на +2, +3, +10 этаже. Если мы направляем лифт на этажи, которые располагаются ниже поверхности земли, то мы говорим, что находимся на -1, -2, -6 этажах. Тоже самое можно сказать и об уровне моря. Если мы находимся на поверхности моря или океана и двигаемся вверх от поверхности, то мы говорим, что мы находимся на высоте 100, 200, 1000 метров над уровнем моря. Но если мы погружаемся вглубь моря или океана, то здесь используются отрицательные числа, а именно -100, -300, -1000 метров, ниже поверхности. Таким образом, можно сказать, что знак «минус» или «плюс» указывает на то, где располагается число относительно принятой точки отсчета, а именно «0» (ноль). Литература 1 Большая математическая энциклопедия / Якушева Г.М. и др. – М.: Филол. О- во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005. – 639 с.: ил. №№7-9(73-75), шілде-қыркүйек, июль-сентябрь, July-September, 2013 ISSN 2307-017X Ġylymi zertteuler a̋lemì – Mir naučnyh issledovanij – World of scientific research ___________________________________________________________________ 93 2 Возникновение и развитие математической науки: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1987. – 159 с.: ил. 3 Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика / О.С. Шейнина, Г.М. Соловьева. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2007. – 208 с. 4 Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.: ил. ЖАКЕЕВА Камилла, Е. Сиқымов атындағы орта мектебі – мектепке дейінгі шағын орталығының 3 «А» сынып оқушысы, Жансүгіров кенті, Ақсу ауданы, Алматы облысы, Қазақстан Республикасы Жетекшісі: АХМОЛДАЕВА Райхангуль, Е. Сиқымов атындағы орта мектебі – мектепке дейінгі шағын орталығының бастауыш сынып мұғалімі, Жансүгіров кенті, Ақсу ауданы, Алматы облысы, Қазақстан Республикасы САН ЕСІМ Кіріспе. «21-інші ғасырда білімін дамыта алмаған елдің тығырыққа тірелері анық», - деп Елбасының халыққа арнаған жодауында көрсетілгендей, ұрпағы білімсіз елдің келешегі де бұлыңғыр екені бəріне белгілі. Өз ұлтының салт-санасы мен ата- бабасынан келе жатқан дəстүрін бойына ана сүтімен, əке қанымен сіңірген əрбір ұрпақ заман талабына сай біліммен қаруланса, ел келешегі еңселі, мəртебесі биік, арманы асқақ елдің мерейі үстем болмақ. Ұлы ғалым Пифагор: «Əр сан өзіндік ерекшелікке ие», - деген екен. Бұл тұжырымға сену-сенбеу əркімнің өз еркінде. Дегенмен əр санның адам өмірінде белгілі бір маңызы барын жоққа шығара алмаспыз. Сондықтан біз бүгін сандардың құпия да тамаша əлеміне бірге сапар шегейік. Бұл саяхатта біз көптеген сандардың сырларын ашамыз. Бізді жан-жақты сандар қоршайды, олар бізге барлық жерде қажет. Біз сандар арқылы санап қана қоймаймыз, біз оларды санаймыз. Сандарсыз біз уақытты да, күнді де белгілей алмас едік, сандарсыз біз заттарды сатып ала алмаймыз, өзімізде бар нəрсені қайта санай алмаймыз немесе бізге тағы да қанша қажет екені туралы да айта алмаймыз. Сондықтан сандарды ойлап табу қажет болды. Жан жағымызға қарасақ, сандар тек қана математика емес, тағы басқа көптеген ғылымдарда маңызы зор. Осы қарапайым он сан болмаса біз телефон да соға алмаймыз. Бұдан туындайтын проблемалық мəселе – сандардың құпиялық ерекшеліктері қандай жəне олардың адамдарға əсері бар ма? Осы проблемалық мəселеге байланысты алған ізденіс жұмысымның тақырыбы «Сан есім». Жұмысымның мақсаты: сан есімдердің қолданылуына байланысты қазақ халқының бұрыннан келе жатқан дəстүрін, ерекше қасиеттерін, наным-сенімдерінің құпиясын ашып, олардың əлемдегі сырына қанығу. Міндеттері: сандардың пайда болу тарихын, зерттелуін қарастыру; сан есімнің жеке сөз табы ретінде ерекшеліктерін, түрлерін анықтау; күнделікті өмірдегі сан есім сөздердің қолданылуын, тұрмыстағы атқаратын рөлін айқындау. Мəселенің өзектілігі. Сөз табы сан есімдерсіз өмірді елестету мүмкін емес жəне де олар күнделікті өмірде қолданыла бермек. №№7-9(73-75), шілде-қыркүйек, июль-сентябрь, July-September, 2013 ISSN 2307-017X Ġylymi zertteuler a̋lemì – Mir naučnyh issledovanij – World of scientific research ___________________________________________________________________ 94 Негізгі бөлім. Сандар қалай пайда болды? Адамзат тарихында ең ерте қалыптасқан ғылымдардың бірі – математика. Математиканың алғашқы бесіктерінің бірі – Мысыр елі болды. Адамзат даналығының ойлап тапқан жаңалығы ол – жазу. Қазіргі əлем халықтары жазуды жоғарыдан төмен, солдан оңға қарай жазып жүр. Неге? Өйткені олар бұл əдісті соқаның қозғалысынан алған екен. Осы жазулардың негізінде пайда болған таңбалардың бірі – цифр. Цифр дегеніміз – сандарды жазу үшін керекті таңбалар. Сан – есептеу мен өлшеудің нəтижесін білдіретін ең негізгі математикалық ұғым. Сан ұғымы көптеген математикалық теориялардың негізі болып саналады. Сандар химия, физика, механика, астрономия, информатика жəне көптеген ғылым салаларында кеңінен қолданылады. Күнделікті өмірде де сандарды үнемі пайдаланамыз. Сандар шамамен бұдан 1500 жыл бұрын Үндістанда пайда болған екен. Əуелі сандар сызықшамен таңбаланып белгіленген. Кейін қалыптаса келе қазіргі таңдағы біздер қолданып жүрген сандар пайда болды. Ежелгі түркі халықтары туралы айтар болсақ, түркі халқының күн көрісі, өмірі малмен өлшенгенін білеміз. Көне түркілер əуелде табиғи сандарды меңгеруді басқа халықтар сияқты ұзақ уақыт бастан кешкен. Бір санын үйрену үшін саннан бұрын заттың белгілерін, қасиеттерін салыстырғанын олардың бізге жеткен халық педагогикасынан-ақ байқаймыз. Мысалы, Ай, Күн – біреу өзі де біреу. Осы бір санның сөздік баламалары – жеке, дара, жалғыз, сынар, жалқы, саяқ деген ұғымды білдірген. Екі санында осы тəріздес меңгерген ол санның сөздік баламалары – жұп, қос, егіз болса, жұптап тұратын ұғымдар екі көз, екі құлақ, қол мен аяқ болған. Сонымен бірге сан, сансыз қыруар көп, мол деп санауға болмайтын заттарды атаса, ол заттар ең кішкентай бөлшектердің кішкентай, титімдей, бір тамшы, бір мысқал, құйтымдай десе, енді бірде жазықтарды – даладай, ат төбеліндей, түйнектей алақандай десе, судың мөлшерін – терең таяз, бөлшек ұғымдарды – жарым жарты деген. Əлемдегі бүкіл түркі халықтарының отаны – дала, ол даланың иесі – көне түркі елінің шаңырағын шайқалтпай отырған қазақ елі. Түркілер саудадағы айырбас кезінде өз дене мүшелерін жиі қолданған екен. Мысалы: бір қарыс, кере қарыс, табан бір елі, екі елі, бір шымшым, бір шумақ. Міне, осы өлшемдер бойынша матаны – шынтақ, бой, ал ұзындықты – шақырым, бие сауым, сүт пісірім, ет асым жер, көз көрім жер деп уақыттың ұзақтығын өздерінің күнделікті тұрмыстарынан алған. Қазақ тілінде сандарды əр түрлі қырынан зерттеу үрдісі байқалады. Мəселен, сандардың ішінен киелі сандарды бөліп алып қарастыру үрдісі бар. Сандардың жалпы фольклордағы немесе əдебиеттегі қызметі көркемдік ерекшелігі де қаралып келеді. Осындай зерттеулердің бастамасы ретінде І. Кеңесбаевтың еңбегін айтуға болады. Бұдан кейінгі жылдары да сандарға қатысты əр түрлі мақсаттағы лингвистикалық зерттеулер жүргізілді. Сан есімнің жалпы сипаты жəне түрлері. Сан есімдер – сандық ұғымды білдіретін, есімдер тобына жататын сөз табы. Біз үшінші сыныптың «Қазақ тілі» оқулығынан сан есімдер дегеніміз заттың санын, ретін, қатарын білдіретін сөз табы екенін оқыдық. Алайда, сан есім туралы тереңдетілген ұғым-түсініктер баршылық. Жалпы сан есім сандық белгіні білдіретіндіктен, ол дерексіз мағыналы сөз табы, оның мағынасы зат есіммен тіркескенде ғана нақтыланады. Мысалы, бес кітап, он дəптер, жүз кісі, он бес қала т.с.с. Сан есім тілде екі түрлі жазылады, олар цифрмен де, əріппен де жазылады. Сөз табы ұстанымдары тұрғысынан алғанда, сан есімнің өзіне тəн семантикалық мағынасы бар, яғни олар – сандық ұғымды білдіретін сөздер. Шындық өмірде заттар өте көп. Зат болған жерде, заттың саны да болады. Ол жанды затқа да қатысты. Сондықтан сан есімдер затты талғамай тіркеседі. Сан есім заттың нақты санын №№7-9(73-75), шілде-қыркүйек, июль-сентябрь, July-September, 2013 ISSN 2307-017X Ġylymi zertteuler a̋lemì – Mir naučnyh issledovanij – World of scientific research ___________________________________________________________________ 95 көрсетумен бірге, заттың санын шамамен, болжап та, бүтін заттың санын да, заттың рет санын да білдіреді. Оның бəрі жалпы сандық ұғымға жатады. Сөздердің топтастырудың екінші ұстанымы – сөз табының морфологиялық белгісі. Бұл көбіне сөздерді түрлендіру жүйесіне қатысты. Сан есімнің өзіне тəн белгілі бір түрлендіру жүйесі жоқ. Бірақ сан есім мүлдем түрленбейтін сөз табы, яғни сан есімде ешқандай қосымшалар жоқ деуге болмайды. Себебі, оның мағыналық топтарының жекелеген қосымшалары бар. Олар реттік санның -ншы, - ыншы, -нші, -інші жұрнағы мен жинақтау санның -ау, -еу жұрнақтары. Сөздерді топтастырудың үшінші ұстанымы – сөз табының негізгі синтаксистік қызметі болуы. Бұл ұстанымға сан есімнің анықтауыштық қызметі жауап береді. Сан есімнің ішінде анықтауыш болмайтын сөз жоқ. Міне, осы белгілер сан есімді жеке сөз есімді жеке сөз табы ретінде тануға мүмкіндік береді. Сан есімнің түрлері. Сан есім түрлі құрамда қолданылады. Құрамына қарай сан есімдер дара жəне күрделі болып екіге бөлінеді. Дара сан есімдер бір сөзден тұрады. Мысалы: бір, екі, жүз, мың т.б. дара сан есімдер бірліктердің, ондықтардың аттары жəне жүз, мың, миллион, миллиард деген сөздер жатады. Бірліктер тоғыз сөз: бір, екі, үш, төрт, бес, алты, жеті, сегіз, тоғыз. Ондықтар да тоғыз сөз: он, жиырма, отыз, қырық, елу, алпыс, жетпіс, сексен, тоқсан. Бұған «жүз», «мың», «миллион», «миллиард» сөздерін қосқанда барлығы 22 дара сан есімдер болады. Тұлғасына қарай сан есімдер негізгі жəне туынды сан есімдер болып бөлінеді. Негізгі сан есімдер түбір сөзден ғана жасалса, туынды сан есімдер түбір сөзге жұрнақ жалғану арқылы жасалады. Негізгі сан есімдерге бір, екі үш, жүз, мың сандары, күрделі сан есімге бірінші ондаған, мыңдай сияқты сөздерді мысалға келтіруге болады. Мағыналарына қарай сан есімдер есептік сан есім, реттік сан есім, жинақтау сан есімі, топтау сан есімі, болжалдық сан есім жəне бөлшек сан есімдер болып ажыратылады. Бұл мағыналық топтардың барлығы негізгі есептік сан есімнен жасалады. Енді əрқайсысына жеке тоқталып өтейік. Есептік сан есімдер заттың нақты санын білдіреді. Мысалы: Бір қолға – бір күрек. Бір айда отыз күн. Есептік сан заттың нақты санын білдіргенде, зат есімнің алдынан тіркесіп, онымен ешбір қосымшасыз байланысады. Мысалы, он кітап, жүз үй, екі ағаш. Есептік сан есімдерге «қанша? неше?» деген сұрақтар қойылады. Есептік сан есімдердің өзіне тəн ерекшелігі – олар сөзжасам əрекетіне қатысуға бейім тұрады. Мысалы, жеті – апта, тоқсан – оқу мерзімі, сегіз – көз, он – күндік, мың – жапырақ, өлім рəсіміне қатысты үші, жетісі, жүзі, қырқы – зат есімге көшкен. Есептік сандар тұрақты сөз тіркестерінде де кездеседі. Мысалы, екі жарты – бір бүтін, төрт құбыласы сай, үш қайнаса да сорпасы қосылмайды, қырықтың бірі қыдыр т.б. реттік сан есімдер заттың рет санын, орын тəртібін білдіреді. Мысалы, 7- нші сынып, оныншы қатар, бесінші қабат, екінші үй т.б. Реттік сан есімдер есептік сан есімге -ншы, -нші, -ыншы, -інші жұрнақтарының тіркесуі арқылы жасалады. Мысалы, бірінші, екінші, үшінші, төртінші деген сияқты. Реттік сан есім цифрмен жазылғанда цифрдан соң дефис қойылады. Мысалы, 6-қабат, 5-сынып, 4-көше т.с.с. Жинақтық сан есім заттың жинақталған сан мөлшерін білдіреді. Жинақтық сан есімдер бірден жетіге дейінгі есептік сан есімдерге -ау, -еу жұрнақтарының тіркесуі арқылы жасалады, мысалы, біреу, екеу, үшеу, төртеу, бесеу, атау, жетеу. Жинақтық сан есімдер осы жеті сөзден ғана құралған. Бірақ олар қолданыста бірқатар орын алады, өйткені олар сандық ұғымды да білдіреді. Мысалы, 30-40 шақырымдай жерде ғана. Бұл екеуінің елі жақын. №№7-9(73-75), шілде-қыркүйек, июль-сентябрь, July-September, 2013 ISSN 2307-017X Ġylymi zertteuler a̋lemì – Mir naučnyh issledovanij – World of scientific research ___________________________________________________________________ 96 Топтық сан есімдер жеке заттың санын емес, топтанған заттың əр тобының санын білдіреді. Мысалы, оннан, жүзден, бестен т.б. Топтық сан есімдер заттанбайды, түрленбейді, сөзжасамға қатыспайды. Бөлшектік сан есімдер заттардың сандық бөлшегін, яғни бөлшектің, санын білдіреді. Мысалы, төрттен бірі, бестен екісі, оннан бесі т.б. Бөлшектік сан қосымшасыз не тəуелділік жалғауымен айтылады. Мысалы, оннан үші, үштен бір, бестен екі, екіден бірі, үштен екісі, алтыдан төрті т.с.с. Бөлшектік сандар есептік сан есімдерге жарты, жарым, ширек сөздерінің тіркесуі арқылы да жасалады: бір жарым ай, жарты жыл, ширек ғасыр. Сандардың қасиеті. Байырғы кездерде халық əр алуан құбылысқа нəзік бақылау жасай келіп, олардың ортақ қасиеттері мен сипаттарын санмен түйіп, санамалап айтып отырған. Наным-сенімге қатысты «киелі ұғымдар» негізінде пайда болған құбылыс. Сан атауы сəбидің ана құрсағында болу уақытымен байланысты ерекше қолданысқа ие болған. Бір санының киелігі. Бір санын қазақ халқының ұғымында «Алла жалғыз», «Алладан басқа тəңір жоқ» деп түсінеді. Ол қай тілде болсын бірлік сөзінің түпкі түбірі саналады. Адам өмірін басқаратын, əр пенде ұмтылатын сан болып есептеледі. Пифагор жəне оның ойшылдары 1 санын барлық басқа сандардан жоғары қойды. Олар оны барлық санның бастамасы бар əлемнің басы деп есептеді. Бірліксіз қарапайым санаудың өзі де болмас еді. 1 санының омонимдері «намыс», «ұтыс» болып саналады. Екі саны бұл жақсы мен жаман, ер мен əйел, күн мен түн, ақ пен қара. Екі санына қазақ халқының көзқарасы, міне, осындай болып келеді. Пифагорлықтарда екі саны бірліктің жоғалуын білдіреді. Екі саны қараңғылықтың, байлық пен жұтшылдықтың арасында жүреді. жүктеу/скачать 7,69 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|