О п ред ел ен и е 3.
Открытый шар с центром в точке Хо и радиусом 6 называемся ^б—
окрестностью точки хо-
На действительной прямой К открытый (соответственно замкнутый) шар радиусЕ б Сеть,
интервал ]хо
— 6, хо + б[ (соответственно
сегмент [хо — б,
хо + б]).
..
j s
5 6 .
Пусть Rm — множество всевозможных упорядоченных
систем
т
действительных
чисел (*i, *
2
, . . . ,
х т). Пусть в множестве Rm определены: внутренняя бинарная операция
Rm
х R m —►
Rm, которая
для любых двух элементов
х
=
(xi,
х т) и
у
= (щ , » ..
, У т )
множества Rm ставит в соответствие элемент
§5. Векторные и метрические пространства
$Т
Х + У = ( * 1 + J/1, . . . ,
Х т +
У т ) ,
■
> >
называемый суммой х и у; внешняя бинарная операция R X Rm —►
Rm,
которая дляяюбого
X € Rm
и любого Л
6
R ставит в соответствие элемент
ч
• • <
Лх = (Лац, . . . , Лхт ),
.
называемый
произведением Л на х.
Показать, что R m — векторное пространство над полем R.
•
Ml
◄ Сначала покажем, что множество Rm является
аддитивной абелевой группой- Дей
ствительно, для произвольных X = (xi, . . . ,
Х т ) ,
У =
(j / 1 ,
. . . ,
У т ) И Z
=
(zi,
,
Z m )
в .силу
ассоциативности действительных чисел, имеем
"
" ’
Х +
(у
+ Z ) =
(xi +
(у! +
Z l ) , . . . ,
Х т
+
(ут +
Zm)) =
'
' ...... .
= ( ( a : i +
yi)
+
Z l , • • • !
(xm
+
У т ) +
Z m ) — (5£
йд
Обозначим
в = О = (
0
, . . . ,
0
), тогда Vx € Rm выполняется равенство х + О • ^ (ад
. ..,
Х т
+ 0) = (xi,
Х т )
= X.
Для любого X
6
Rm ПОЛОЖИМ —X = (—*
1
, .14,. Т*<м)и
тогда х + ( - х ) = (xi - z i, . . . , xm -
Х т )
= (0, . . . ,
0
) =
0
. Наконец, в силу коммутативности
сложения действительных чисел
И
X +
у
=
(xi
+
У \ ,
. . . ,
Х т +
У т ) = (j/1 + * 1 , • • • ,
У т +
Хт)
= ( j f l .
У т )
+
( * 1 , • - •
,
* т ) =
У; f X .
Следовательно, все четыре аксиомы абелевой группы выполнены.
я С
Далее, из определений внешней и внутренней бинарных операций
и
свойств
действнтелдо
ных чисел непосредственно следуют равенства:
, , -
Достарыңызбен бөлісу: 
