Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл


◄ Полагая в теореме Архимеда b —  а = 1, приходим к неравенству по • 1 > j-



Pdf көрінісі
бет17/135
Дата31.10.2022
өлшемі16,21 Mb.
#46579
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   135
Байланысты:
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s

Полагая в теореме Архимеда b — 
а = 1, приходим к неравенству по • 1 > j-, по € Z. 
А так как j > 
0
, то n по, я g N, справедливо неравенство п > »»о > - или
i < e . ►
2 9 . Пусть л и /3 произвольно заданные действительные числа, причем a < /3 . Доказать, 
что существует рациональное число г, заключенное между числами а и Д.
◄ Обозначим h = /3 — а. Согласно предыдущему примеру, 3n g N такое, что
- < h. 
' (
1
)
я 
'
Согласно теореме Архимеда, существует т g Z такое, что
m
я
< а <
m -f 

я
Отсюда и из неравенства (
1
) получаем
т
 + 1 
т
 
1
о < ------- = -----
1

я 
я 
я
< п + h = а + /3 — а = /3.
•ii.
Таким образом, a =
(3.
3 0 . Показать, что множество всех правильных рациональных дробей — , где т и п —
п
натуральные числа и 
0
< т < я, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти 
точную нижнюю и точную верхнюю грани этого множества.
◄ Пусть т и я 
(0
< т < я) — любые натуральные числа. Тогда из очевидных неравенств
гп 
2
т 
2
т — 
1
„ 

2

2

+ 1
— = > — ---- >
0

— = ---- < ---- —— < 
1
я 
2
я 
2
я 
я 
2
я 
2
п
следует, что множество правильных рациональных дробей не имеет наименьшего и наибрль-: 
шего элементов.
Покажем, что 
inf 
{ ^ } = 
0

а sup 
=
1
.
Согласно теореме Архимеда, для произвольно заданных е > 
0
и т g N найдется такой' 
я g N, я > т , что я > 
Тогда ^ < е. Отсюда и из неравенства ^ > 0 следует; 
что inf { ^ } =
0
. Аналогично для произвольно заданных е > 
0
и р g N найдется такое 
натуральное число т, что т > 
. Отсюда 
> 1 — е, т. е. при п = р + т имеем
— > l — е, а это вместе с неравенством — < I означает, что sup { — | = I. ► 
>
3 1 . 
Пусть {х + у} есть множество всех сумм х + у, где х g {х} и у € {у}. Доказать 
равенства:
а) inf{x + у} = inf{х} + inf{y}; б) sup{x + у} = sup{x} + sup{y}. 



■4 
а) 
Так 
как из х ^
т, х 
g {х}, и у 
J
т р у £ {у}, следует, что х 
4; 
У ^ rft^ -m j,,. 
(я + у) g {х + у}, то сущ ествование inf { х} =
т*
и inf {у} =
т*
влечет за собой 
существование


26
Гл. 1. Введение в анализ
inf {ас + у}. Ясно, что т + у ^ то* + ш*. Далее, для произвольного е > 0 существует такой 
элемент (ас' + у') £ {* + у}, что
то +
т 1
^ т + у < m + а»! + е,
поскольку существуют такие 
х' 
£ {а:} и у* € {у }, что то’ ^
х ’ 
< то* + ^ и 
т \
^ у' < то* +  
Следовательно,
in f{* + у ) = я' + у ' = inf {я} 4- inf {у}.
Равенство б) предлагаем доказать самостоятельно. ►
3 2 . Пусть {ту} есть множество всех произведений т у, где т 6 { т J и у € {у }, причем 
О 0, у > 0. .Доказать равенства:
a) inf {ту} = inf {т } inf {у}; б) sup{*y} = su p{x} su p {y}.
4


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   135




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет