Л(х + у ) = Л(Х 1
+ 3
/ 1
, . . . , Хт .+ Ут) = (Л(хх + J/l), - • • , Л(хт + Ут)) = , . «О = (Axi -f Ajd, . . . . Лхт + Л у т ) = (A xi, . . . , Ахт ) + (Лз/ 1
, . . . , Хут) = -> = А(* 1
, . . . . * т ) + A(jfi, . . . , Ут) -1= ЛЗГ4; % j! (А + д )х
= (А
+ д)(хь . . . .
х т ) = ((А + /<)Х 1
, . (А + р)хт) = = (Axi
+ Д Х 1
, . . . , Ахт + М Хт)
= (Axi, . . . , Ахт ) + (дХ
1
,
. . . , / 1
Х т ) ч = A(xi, ... , Х т ) +
р ( х и . . . , Х т ) = Лх +/IX;
(Ад)х -- ((Ад)х
11
. . . , (Ад)хт ) = (A(/tXi), . .. , А(/
1
хт )) = A ( p x i
, , р х т ) — А(рх^ ^ 1>
л
1
’ X =
(1
•
Xl,
• • • ,
1
1 Х т ) — ( • C l , - - - , : C m ) * ” X,
, ;
■
для произвольных х и у из Rm и любых А и
(1
из R. Таким образом, аксиомы, оп^еДеЛЙЬщи
^1
векторное пространство, выполнены, а поэтому Rm является векторным прЬстраиЙвОЙ нЕ|(,
полем R. ►
'
‘
1
‘V
1
‘"!l'
57.
Пусть £ДО — множество всевозможных прямоугольных матриц вида
!
^ q
1{ а и
Ol 2
♦ *
d i n
А = 021
0 2 2
•
•
0 2 п
\(
d m l
d m 2
• • &тп где a,j € R, * =
1
, т, j = 1
, п. Суммой матриц А'= (а,у) и В = (i,j) назовем матрицу
Oil +
Ь ц 01 2 + 6 l 2
■
•
0 l n
+
6lr>
«21
+
^21
02 2
+
622
-
•
О21»
+
b i n Oml +
Ь т 1 d m 2
Н"
Ь т 2 •
■ ■ O m n
+
b m n ■;dO '
' -
! < ■ 1 ’
л
*lki * 1
-уащ’’* .;.,ТяО
38 Гл. 1. Введение в анализ а произведением матрицы А на число А € R — матрицу
1
( Aan
Adi2
*• Aoin
АЛ =
Aa21
Xo>22 .. A02n
1
1
Aami
Aflm2
• • A0 rnn
Показать, что £Щ — векторное пространство над полем К.
◄ Множество 9Л матриц А = (а,у) размера
т х
п можно отождествить с пространством
Rmn векторов х = (оц, . . . , гцп, . . . , ami, . . . , ат п ) при помощи взаимно однозначного соот
ветствия (ajj) <-> (a n , ■.., aln, . . . , ami, • • •, ат„). При этом для любых (а,,)
6
£Щ, (bij) £ £ДО
и А € R
(n,j) “I" (^tj) (йц -(- Ь ц , ... , ain 4“ bln, ■ ■ ■ , flml Ф bml, . . . , Q m n “b bmn), A(au ) <-*■ (Aan, . . . , Aaln, . . . , Aami , • * *, Aamn)
(т. e. пространство £Щ изоморфно пространству Rmn относительно сложения элементов из
{Щ и умножения на скаляры поля R). Таким образом, {Щ — векторное пространство над
полем R. ►
58.
Доказать, что пространство R m превращается в нормированное векторное простран
ство, если для произвольного х = (xi, x-z, . . . , х т), х
6
Rm, положим
||х|| = y jx \ + х\ + . . . + х 2т. (
1
)
◄ Для доказательства достаточно проверить выполнение аксиом 1)—3) пункта 5.2.
1) Очевидно, ||х|| >
0
и (||х|| =
0
) & (х = О).
2) Для любого х
6
R m и VA £ R имеем
|| Ах|| = l/(A * l
)2
+ (А
*2)2
+ . . . + (Al
m)2
= л/ V у / х \ + х\ + . . . + х2 т = |А| • ||х||.
3) Покажем, что для любых х = (zi, х2, ■ ■ ■, Ят) и
у
= (j/i,
3
/
2
, . . . , ут) Цх+У| | < М + ||у||.
Записывая неравенство (
2
) в координатной форме
(
2
)
. Ё ( * . + у,)2 <
\ ■=!
и возводя обе части в квадрат, после упрощения получаем неравенство
т »=i
(3)
эквивалентное неравенству (
2
). Неравенство (3) называется неравенством Коши—Буня- ковского; его справедливость уже доказана (см. пример 43). Следовательно, равенство (1)
задает норму в Rm. ►
59.
Доказать, что векторное пространство 9Л, элементами которого являются матрицы
размера ш X н, является векторным нормированным пространством, если для произвольной
матрицы А = (a.j), i = 1, m, j = 1, и, положить
m
n
i h i h
E E
i
^
i
-
■=i j=i (i) ◄ Выполнение первой аксиомы нормы очевидно. Далее У А € М и У .А £ 9 Л имеем
т п т п т п II A j 4|| = К 'I = |А |‘ 1И11, t = l J = 1
1
= 1 j s s l
1
= 1 J = 1
t
.
e. вторая аксиома также
в ы п о л н я ется.
§ 5. Векторные и метрические пространства 39
Остается проверить выполнение неравенства треугольника. Пусть А, В 6
£ОТ — проиэ-
вольно заданные матрицы размера m х w, тогда
i: •
m
n
m
n
m
n
m
n
u + *
ii
= E £ ley+ *y i ^ E
+
i m
>= E E iai>i+ E £ ib»i = м и + «*н-
i=l j=l
i=l j=l
*=1
>=1
i=l j= 1
Таким образом, все аксиомы нормы выполняются, а поэтому равенство (1) задает норму
в ОЯ, превращая его в векторное нормированное пространство над полем R. ►
.i x.v
6 0 . Пусть С множество всевозможных ограниченных функций
/ : [а, 6
] —► R. Показать, что множество С становится векторным нормированным пространством над
полем R, если для произвольной функции / положить
11/11
= sup |/(« )|.
*€[а,Ч
(
1
)
М Легко убедиться, что С является векторным пространством над полем R, если
равенство
( / + д)(*) = /(* ) + я(х), х е
[а,
6
]
определяет сложение в С, а
(А /)(.) = А /(*) — умножение на скаляр поля R.
Остается проверить, что для числа ||/||, определенного формулой
(1), выполняются все
аксиомы метрики.
V-
1)
Поскольку
|/( х ) |
^
0,
то ||/|| = sup
|/( х ) |
^
0;
кроме того, ||/|| =
0
тогда
и только Тогда,
когда |/(х )| =
0
, т. е. когда / : [а,
6
] —►
0
, а такое отображение является нулевым
элементом
векторного пространства С. 2
) Для произвольной функции / € С и любого
А € R имеем
1|А/|| = sup |А /(т)| = sup
|А ||/(х)| =
|А| sup |/(х )| = |А |||/||.
' г .
*€[a,
6
]
я€[а,
6
]
:r€[a,
6
j
3) Из неравенства треугольника для абсолютного значения и свойств точной верхней гра ни следует неравенство
' ’
!/(*) + g (* ) l< l/(* ) l + |g (* )|< sup |/ ( x ) |+ s u p |g(x)| = Ц/|| + ||g|| V / , g
6
С, V г € [a,
Поскольку множество (|/(x ) + g(x)|}, x £ [a, 4], ограничено числом ||/ ||+ |g||, то точная верх
няя грань этого множества, которая, согласно равенству (
1
), равна ||/ + д | , также ограничена
этим же числом. Следовательно,
sup |/(* ) +«Кх)| = ||/ + д \ \ ^ ||/|| + У
1
,
®€[а,
6
]
что и завершает проверку аксиом метрики. ►
;
6 1 .
Показать, что для произвольного векторного нормированного Пространства
5
1? *= ,
{ж, у} z, . . . } справедливо неравенство
1
: /
П 1 * 1 Ы Ы 1 К 1 1 * -
у
11-
М Согласно неравенству треугольника,
1М1 = Н ( * - » ) + 9 К 1 |* - 9 || + 1М1,
откуда
11
*
11
-
1
Ы К I I * - у ||-
Меняя местами х и у, имеем
IMI -11*11 < II» - *11 = И(-1)(* - g)II = I - 1| • II* - у|| = II* - у||
или
- н * - » н <
11*11
-
1
Ы
1
-
Из (2) и (3) непосредственно следует (
1
). ^
0)
№ (з)
40 Гл. 1. Введение в анализ 6 2 . Доказать, что векторное пространство ЯН (см. пример 59) становится евклидовым
пространством, если для произвольных двух элементов А = (а,}) и В = (Ь,у) положить
т и (A,B) = j2H2aiibi*' i=i
i
• “4 .Для доказательства достаточно проверить, что {А, В), определяемое равенством (
1
),
удовлетворяет четырем аксиомам скалярного произведения (см. п. 5.3). Выполнение трех
первых аксиом непосредственно следует из определения числа (А, В): т п т п 1
) (A, B ) = Y l t 2 ah k j = Ё Ё
= (в > А)\ t = l J = l j = l 2) для произвольных матриц А = (а;>), В = (
6
ij) и С = (c.j) имеем
тп гг т п т п ( а +в, с) = ^2 Ё(о,'>+Мсч = Е Е oijcij + е ^2 b'3cii = и. с> + (в>с); 1 = 1 j = l
1 = 1
3 = 1
1= 1
3 = 1 3) пусть УЛ 6®1 и V А
6
R, тогда
т п т п (АЛ, В) = 'У ^ Xajjbjj = \ У ' = А(Л, 5);
t = l J = 1
t a i l j a i l
.4) для любой матрицы А еОЯ находим
т п
м, >i) = E E 4 . i=i j=i
откуда следует, что (А , Л) ^ 0 и (А, А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы ма
трицы А равны нулю, т. е. когда А — в, где в — нулевой элемент векторного пространства
Ш1. Следовательно, выполняются все аксиомы скалярного произведения, т. е. равенство (
1
)
задает скалярное произведение в векторном пространстве ЯП, поэтому ЯП— евклидово про
странство. ►
6 3 .
Показать, что нормированное векторное пространство
Е = {*, у, z, . . . }
становится
метрическим, если для любых элементов
х и
у из
Е положить
р(*> у) = ||* - у\\. •4 Покажем, что Выполняются аксиомы метрики (см. п. 5.4). Действительно, из свойств
нормы вытекает, что: ■
1) />(*> У) = II* — 3/|| ^
0, причем
р[х, у) =
0 тогда и только тогда, когда
х — у = в, т. е.
2) р( х, у) =
||* - у||
=
||(—1)(з/ - z)||
=
| - 1|
•
\\у - *|| - ||з/ - *||
=
р(у, *);
3) р( х, у) = ||* - з / || = ||* - z + z - у|| < ||* - z | | + \ \ z - y \ \ = р( х, z) + p( z , у) V *, з/, z € Е. Следовательно, все аксиомы метрики выполняются, поэтому Е — метрическое простран
ство. ^
У пражнения для самостоятельной работы
52. Доказать, что множество C{f, д, h, . . . } всевозможных отображений множества Е в
векторное пространство F над полем К само является векторным пространством над тем же
полем К. 53. Показать, что множество комплексных чисел С образует векторное пространство над
полем действительных чисел К.
54. Показать, что векторное пространство Rm становится нормированным, если для лю
бого элемента х = (*i, *
2
, . . . , *m) норму ||х|| введем одним из следующих равенств:
а) НХН = |* || + |*г| + . . . + |*ш| (октаэдрическая норма);
б) ||х|| = max |*i| (кубическая норма).
1
<
1
< т