Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

§ 2. Интегрирование рациональных функций
225
Решая полученную систему, находим
А = ~ ,
В = - ~ ,
С = ~ .
3 
3 
3
Следов ательно,
/
x d x
1 , .
,, 
i f
х — 1 
, 
1 , ,
„. 
1 
. о
j r - j . j t o i . - H - j
J
+ . + Ц +
+ c = - In -1^— ^
H— -= arctg
2
x +
1
. 
f
dx
'• у ** + r
... „ 
— I—
t
= a rc tg ---- —— |-С  
(x ф 1). ►
a
/ 3
a
/3
6
x
2
+ x + 1 
т/з 
6
,/3
\ т >
7 5 .
◄ Поскольку
x4 + 1 = (x2 + l)2 - 2x2 = (x2 + хл/2 + l)(x 2 -
x V 2 +
1), 
то разложение подынтегральной функции на простые дроби ищем в виде
1
А х + В
С х + D
х
4
+
1
х
2
+ хл
/ 2
+
1
х
2
— хл
/ 2
+
1
Из тождества
1
= (Ах + В ) ( х 2 - хл/2 + 1) + ( Сх + D) (x 2 + хл/2 + 1) 
получаем систему уравнений
О = А  + С,
О = —л/2Л •+■ В  -f- л/2 С
1)у
0 = А  — л /2 5 + С + л/
2
D,
1 = В + В.
Отсюда А  = —С = 
В = В = ^ . Следовательно,
f dx 
1 
Г
J
х4 + 1 ~ 2л/2 У з 
♦ * /
■
+
\ / 2
1
• ах —
+ хл
/ 2
+
1
2
л
/ 2
dx
(* + 
) + 
\
1
2
л
/ 2
/
-
-
Х
.
4* 
2
, /т . /'
/ .. i - f
+
у 
х
2
— хл
/ 2
+
1 4 
J
<
х + -X-
—-----
2
------dx +
х
2
+ хл
/ 2
+
1 
dx
( ~ * ) Н
: 
111
■
+ х
^ 2
+
1
1
4 ^ 2
х
2
- xV
2
+
1
+ ^
(аГС‘ё (1ЛД + 1} +
аГС‘ 8
" 1)} +
Учитывая формулы сложения арктангенсов (см. пример 268, гл. I), окончательно получа-
1(х
) = / —
= 
>
У г ‘ + 1
1
. х
2
+ хл/2 
+ 1
1
хл
/ 2
ж 
.
—
7
= In —------- т=-------
1
----- = arctg ------- ж Н----- -= е(х) + С,
4 л/2 
х
2
- х \ / 2 + 1 
2 л/2 
1 - х
2
2 л/2 
'
где
• /
{
+
1
, 
если х >
1
,
О, 
если |х| =
1
,
— 
1
, 
если х < — 
1
,
/ (
1
) = Иш I(x); 
/ ( —
1
) = lim I(x). ►
х —*1 
х —* — 1
dx
7 6 . , 
.
X 4 + X 2 + 1
◄ Поскольку x
4
+ x
2
+
1
= (x
2
+ l
) 2
— x
2
= (x
2
— x + l)(x
2
+ x +
1
), то разложение ищем в
виде
А х  + В
С х  + В
+
X
4
+ X
2
+
1
X
2
+ X +
1
X2 — х +
1

226
Гл. 3. Неопределенный интеграл
Из тождества 
1
= (Ах + В)(х2 — х + 1) + (Сх + D)(x2 + х А 1) получаем систему
х
х
х
х
3
2
О
О = А + С,
О = —А + В + С + D,
0 = А - В + С + D,
1 = B + D.
Отсюда А = В = —С = D — | . Таким образом, 
f ___ dx 
_
1
f
х +
1
J x
A x 2 A
T
- \ i
x
2
+ r + l
dx ■ 1 [  
E
- 1
d x -
2 
J
x 2 - x
+ 
1
1 . x l + X + 1
= - I n
4 
x
i f  
2
x + l
2 x -
’ - * + i + V 5 ( “ et
6
- 7 T
“ Т Г
+ c.
Заметим, что (см. пример 268, гл. I)
. 2х + 1 
2х - 1 
х Д
arctg — -=— |- arctg — -=- = arctg ----- - + ire(x),
1
— х л
Д
д
где функция е(х) определена в предыдущем примере, а значения арктангенса в правой части 
в точках х =
±1
равны предельным значениям в этих точках.
Окончательно имеем
/
dx
х
4
+ х 2 + 
1
1
, х2 + X +
1
т In - j -------—г
4 
х
2
— х + 1
+ ^ f alCtg
х Д
1 — X2
+
w f * w + a
►
77.
/
dx
x e + 1'
◄ Сначала преобразуем подынтегральную функцию
1
_ (х
4
+
1
) +
(1
- X4) _ х
4
+
1
1
- х
4
х« +
1
~
2
(х
6
+
1
) 
~
2
(х
6
+
1
) +
2
(х
6
+
1
) "
_
(х
4
- х
2
+
1
) + х
2
^ _ (
1
^ *
2
)(
1
± х 2)____
1
, 
х
2
х
2
-
1
2 
(х
2
+
1
)(х
4
— х
2
+
1
) +
2
(х
4
— х2 + 
1)(1
+ х2) 
2
(х
2
+
1
) +
2
(х« +
1
) 
2
(х
4
- х
2
+
1
) '
Первые два слагаемых легко интегрируются, поэтому найдем разложение на простые дро­
би только последнего слагаемого. Имеем
-з?_ + 1 ____
А х А В 
Сх + D
2
(х
4
— х
2
+
1
) 
х
2
а
Д
х
А 1  
+ х2 - з Д х
+
1
’
- у + \  = (Ах А В)(х2 - Д х А 1) + (Сх A D)(x2 
а
Д
х
+
1
);
О = А + С,
- j = - Д
а а
В
а
Д
с а о
,
О = А — Д В А С А Д О ,
± = B A D .
Отсюда А  = —С = д д , В — О = j ,  поэтому
+
уД
2
х
6
+ 1 
2 (х
2
+ 1) 
2 (х
6
+
1
) 
2Д
х
2
а
Д
х
А 1  
2-у/З х
2
- -уДх+ 1 ’
Интегрируя это равенство, получаем
78
/
dx
х
6
+
1
1
1
з 
1
- arctg х + - arctg х + — - In
2
6
4т/з
х
2
а
Д
х
А 1
х2 — -Д  х + 1
А С .  ►
dx
— X
4
+ X
3
— X
2
+ X — 
1
'

§ 2. Интегрирование рациональных функций
227
◄ 
Поскольку 
Xs - X*
+
1
3 — I 2 + X 
— 
1 =
х4(х 
— 1) +
х2(х 
— 1) +
(х — 1) 
=
{х
— 1)(х4 
+
х2 
+ 1 ) =
(х - 1)(х2 + X + 1)(х2 - X + 1), то разложение подынтегральной функции на простые дроби
имеет вид
____
1 
_
А
В х  + С 
D x  + Е
' ~0~ I “ . 
1
X
5
— X
4
+ X
3
— X
2
+ X — 
1
X — 
1
1
X
2
+ X +
1
' X
2
— х +
1
'
Из тождества 
1
= A ( x i +
х
2
+ 1) + ( В х  + С)(х -  1)(х2 - х +
1
)
+ ( Dx + Е ) ( х й - 1) получаем
систему
решая которую, находим
Таким образом, 
dx
О = А  + В  + D,
О = - 2 В + С + Е, 
х- 
0 = А + 2 В -  2С, 
х 
0 = - В  + 2С - D, 
1 = А - С - Е ,
А  = —В = i
С = - \ , D = О, Е = ~ .
/
5 _ * * + хз _ * 2 + - М
= 3
1
П|* -
1
| _ 6 1П|Г 
+ * +11
_
1
1
л .
6
П X
2
+ X +
1
1
. 
2
х
- 1
_
3
M c tg - v T + c =
1 
2х — 1
7 9 . При каком условии интеграл 
j
dx представляет собой рациональную
функцию?
4  
Интеграл представляет собой рациональную функцию, если в разложении
й х
2 
+ b x + c _ A
B D
 
Е
F
о “l” о “4“ 
Н“
х 3 ( х — I
)2
(X - I
)2
X — 
1
коэффициенты D и F равны нулю. Предполагая последнее, имеем 
♦
ах2 + Ьх +
с
=
у
4 (
х
2 
— 2х + 1) + В ( х 3 — 
2
х
2
+ х) + Е х 3. 
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему
О = В  + Е, 
а = А — 2 В, 
Ь = - 2 А + В, 
с = А.
Исключая из этой системы неизвестные А, В  и Е,  находим требуемое условие:
а + 2Ь + Зс = 0. ►
Применяя метод Остроградского (см.: Л я ш к о И. И. и др. Математический анализ. К., 
1983. Ч. 1, с. 381), найти интегралы:
80
.
' 7 < г г
: dx
4  Имеем
1
)
2
( х + I)3 '
dx
f
х I
J
A x 2 + В х  + C
V
2
( x +
1)3
( x
— l)(x + l ) 2 
Дифференцируя обе части равенства, находим
х
_ (х2 — 1)(2л4х + В) — (Зх — 1)(л4х2 + В х  + С)
D
+
х + 1
( х - 1 ) 2(х + 1)3 
( х - 1 ) 2(х + 1)3 
х - 1
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем 
= — А х 3 +
(А — 
2В) х2 
+ (—
2А 
+
В  — 
3С) х + С 
— В  
+
+
D(x 
— 1)(х3 + Зх2 + Зх + 1) +
Е(х
4
г- 2х2 + 1).

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: