Қазақстан Республикасы Білім және ғылым Министрлігі Ахмет Байтұрсыноватындағы

ҒЫЛЫМ, БІЛІМ БЕРУ ЖӘНЕ ПРАКТИКАДА АҚПАРАТТЫҚ  ТЕХНОЛОГИЯЛАРДЫҢ  
ДАМУ ЖОЛДАРЫ 
 
 
55
),
)
(
2






t
t
f
х
a
x
(-
    


).
(
)
(
t
F
t
F



 
)
(
),...,
(
1
t
z
t
z
n
— (1) дифференциалдық теңдеулер жүйесінің фундаментальды шешімдер жүйесі 
болсын және ол келесі бастапқы берілгендерді қанағаттандырсын 
                                                    
j
j
e
z

)
0
(
  


n
j
,...,
1

                                          (2) 
мұндағы 
j
e
 -  п  ретті  бірлік  матрица.  Дифференциалдық  теңдеулер  жүйесінің  кез  келген    t  үшін 
сызықтық тәуелсіз 
)
(
),...,
(
1
t
z
t
z
n
 шешімдер жүйесін фундаментальды шешімдер жүйесі деп атайды.  
Бағандары 
)
(
),...,
(
1
t
z
t
z
n
болатын  квадрат  матрицаны  фундаментальды  шешімдер  жүйесінің 
матрицасы деп атайды. [2] 
 
F(t)  периодтық  матрица  болғандықтан, 
)
(
),...,
(
1




t
z
t
z
n
функциялары  да  фундаментальды 
шешімдер  жүйесін  құрады.  Демек,  әрбір 
)
(


t
z
j
функциясы  коэффициенттері  тұрақты 
)
(t
z
k
  


n
k
,...,
1

 функцияларының сызықтық комбинациясы болады. Яғни 
   
      
 
 
 
 
 Z(t + ) = Z(t)C,                                                 (3) 
мұндағы  Z(t)  — 
)
(t
z
j
 


n
j
,...,
1

 шешімдерінің  фундаментальды  матрицасы,  ал 
 
k
j
c
C 
 —  тұрақты 
матрица. 
 (1) мен (2) ден Z(t) матрицасы Ż = F(t)Z,  Z(0) = E шарттарын қанағаттандыратыны шығады. 
 
 (3)  теңдігінен t = 0 болғанда Z() = C теңдігін аламыз. 
 
Демек,                                       Z(t + ) = Z(t)Z().                                                  (4)    
                                                                               
Z()  матрицасы  (1)  теңдеулер  жүйесінің  монодромии  матрицасы  деп  аталады.  Z()    0 
болатыны айқын.  Z() матрицасының меншікті мәндерін (1) теңдеулер жүйесінің мультипликаторлары 
деп аталады. Мультипликаторлар жиынтығын теңдеудің спеторы деп атайды.  
Сонымен,  монодромии  матрицасы  деп 
j
j
e
z

)
0
(
бастапқы  берілгендермен  анықталған  Z() 
матрицасының  t=

   периодындағы  мәнін  айтуға  болады,  ал  мультипликатор    келесі  теңдеудің 
түбірлер деп түсінуге болады 
                                               


0
)
0
(
)
(
det

 Z
Z


 
Бұл теңдеуді (1) теңдеулер жүйесінің сипаттауыш теңдеуі деп түсінеміз. [1, с. 59] 
 
(1) біртекті теңдеулер жүйесінің периоды 

-ға тең нөлдік емес шешімінің бар болуы үшін оның 
мультипликаторларының біреуі бірге тең болуы қажетті және жеткілікті болып табылады   
Флоке теоремасы. Z(t) фундаментальды матрицасын келесі түрде көрсетуге болады 
At
e
t
F
t
Z
)
(
)
(

, 
 мұндағы F(t) –  периоды 

-ға тең матрица, А-тұрақты матрица.  
Келесі біртексіз сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырайық 
 
                 ż = F(t)z + g(t)  (-  < t < + ),                                        (5) 
 
 мұндағы  F(t)  —  периоды 

-ға  тең    үзіліссіз  матрица,  g(t)  —  периоды 

-ға  тең  периодты 
үзіліссіз  вектор-функция.  Біз    бұл  теңдеулер  жүйесінің  периоды 

-ға  тең    периодтты  шешімдерін 
қарастырамыз. 
 Теорема.(5)  біртексіз  сызықтық  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесіне  сәйкес  (1)  біртекті 
теңдеулер  жүйесінің  периоды 

-ға  тең  нөлдік  емес  шешімдері  жоқ  болсын  (яғни  оның 
мультипликаторларының  барлығы  бірге  тең  емес).  Онда  (5)  теңдеулер  жүйесінің    периоды 

-ға  тең  
периодтты жалғыз шешімі бар болады. [1, с.56] 
Мақалада келтірілген теориялық мағлұматтардың қолданылуына мысал келтірейік. 
Келесі  екінші  ретті  дифференциалдық  теңдеудің  периоды 

-ға  тең    периодтты  жалғыз  шешімі 
бар болатынын көрсетейік 
 
  
),
...,
,
1
(
)
(
)
щ
(
1
n
j
t
c
t
n
k
k
k
j
j





z
z

ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В НАУКЕ,  
ОБРАЗОВАНИИ И ПРАКТИКЕ 
 
 
56
.
2
1
0
2
, ...)
, 
, 
   (k
рk
а




щ
 
мұндағы f(t) — периоды 

-ға тең периодты үзіліссіз функция, 
 
Берілген дифференциалдық теңдеуді жүйеге келтіріп, теореманы қолданамыз. 
1.Келесі біртексіз сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесін аламыз.  
)
(t
g
Fx
x



, где 






















)
(
0
)
(
,
0
1
0
,
2
2
1
t
f
t
g
a
F
x
x
x
. 
Онда 
x
x
x
x



2
1
,
. Яғни, келесі жүйеге келтіреміз  
                                       







)
(
1
2
2
2
1
t
f
x
a
x
x
x


                                                    (6) 
2.  Теореманы  қолдану  үшін  біртекті  жүйенің  барлық  меншікті  мәндері  бірге  тең  емес  монодромии 
матрицасын құру қажет.  
Ол  үшін  алдымен  (6)  біртексіз  жүйесіне  сәйкес  біртекті  жүйенінің  фундаментальды  матрицасын 
құрамыз. 
Біртекті жүйенің түрі келесідей: 
                            






,
1
2
2
2
1
x
a
x
x
x


                                                      (7) 
Жүйенің  бірінші  теңдеуін  екінші  теңдеуіне  қоямыз, 
1
х
 қатысты  біртекті  сызықтық  дифференциалдық 
теңдеуді аламыз: 
0
1
2
1


x
a
x

, ал оның сипаттауыш теңдеуі  :  
0
2
2

 a
k
. Яғни, 
ai
k


,  
                              
at
Ba
at
Aa
x
at
B
at
A
x
cos
sin
,
sin
cos
2
1





. 
 
Жалпы шешім келесі түрде жазылады: 
 








,
cos
sin
,
sin
cos
2
1
at
Ba
at
Aa
x
at
B
at
A
x
 
.
cos
sin
sin
cos
















at
a
at
B
at
a
at
A
x
 
 
Онда фундаментальды матрица тең: 
                                                     








at
a
at
a
at
at
t
Z
cos
sin
sin
cos
)
(
. 
 
Теорияға сәйкес келесі теңдік алынады 
                                                  
)
(
)
(
)
(


Z
t
Z
t
Z


,  
Бұдан монодромии матрицасы: 
                                                 
)
(
)
(
)
(
1





t
Z
t
Z
Z
 
                                              (
0
,
0
)
(



k
a
t
Z
- по условию). 
Әрі қарай
.
.
cos
sin
sin
cos
)
(
 
cos
sin
sin
cos
)
(
~
1
























a
at
at
a
at
at
t
Z
at
at
at
a
at
a
t
Z
 
Яғни монодромии матрицасы 
.
щ
cos
щ
sin
щ
sin
щ
cos
)
щ
(
cos
)
щ
(
sin
)
щ
(
sin
)
щ
(
cos
cos
sin
sin
cos
)
щ
(


































a
a
a
a
t
a
а
t
a
a
t
a
t
a
a
at
at
a
at
at
Z
 
3. Біртекті жүйенің мультипликаторларын табамыз. 
 


0
)
(
det

 E
Z


сипаттауыш теңдеу, ал сипаттауыш көпмүшелік келесідей:  
                
,
cos
sin
sin
cos
)
(











a
a
a
a
D
 
 
онда  
0
sin
cos
2
cos
2
2
2









a
a
a
 
0
1
cos
2
2







a
. 

ҒЫЛЫМ, БІЛІМ БЕРУ ЖӘНЕ ПРАКТИКАДА АҚПАРАТТЫҚ  ТЕХНОЛОГИЯЛАРДЫҢ  
ДАМУ ЖОЛДАРЫ 
 
 
57
біртексіз  сызықтық  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесіне  сәйкес  (1)  біртекті  теңдеулер  жүйесінің 
периоды 

-ға  тең  нөлдік  емес шешімдері  жоқ  болсын  (яғни  оның  мультипликаторларының  барлығы 
бірге тең емес). 
Теоремаға  сәйкес  (6)  жүйесінің  периоды 

-ға  тең  периодты  жалғыз  шешімі  бар  болуы  үшін  
сәкес біртекті (7) жүйесінің 
периоды 

-ға  тең  нөлдік  емес  шешімдері  жоқ  болуы  қажет,  яғни 
барлық  мультипликаторлары  бірден  айрықша  болуы  қажет.  Расында,  егер 
R
k
k
a


,
2


 болса,  онда 
меншікті мәндердің екеуі де бірге тең болады. 
 
Керісінше: ең болмағанда бір 
1


болатындай шарттарды табайық. Виет теоремасы бойынша: 
       







,
1
,
cos
2
2
1
2
1





a
, және 
1
1


 болсын. 
Онда соңғы жүйеден 
1
1


 және 
1
cos


a
, бұдан 
R
k
k
a


,
2


. 
Сонымен, егер
,...),
2
,
1
,
0
(
2




k
k
a


 
Онда (7) жүйесінің барлық мультипликаторлары бірден айырықша болады. Демек теореманың барлық 
шарттары  орындалып  тұр.  Бұдан,  (6)  жүйесінің,  яғни  берілген  дифференциалдық  теңдеудің  периоды 

-ға тең периодты жалғыз шешімі бар болады. 
 
Коэффициенттері  периодты  сызықтық  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесінің  жаратылыс 
тануда қолданылуына байланысты, олардың шешімдерін табу мәселелері ерекше орын алады. 
 
 
 
Әдебиеттер: 
1.  Якубович  В.А.,  Старжинский  В.М.  Линейные  дифференциальные  уравнения  с  периодичес-
кими коэффициентами и их приложения. -М.: Просвещение, 1954.-525 с. 
 
 
УДК  51:37.3:378  
 
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ НА ИНЖЕНЕРНЫХ 
СПЕЦИАЛЬНОСТЯХ 
 
Жарлыгасова  Э.З.  -  ст.  преподаватель  кафедры  информатики  и  математики,  Костанайский 
государственный  университет имени А. Байтурсынова  
 
В  данной  статье  рассмотрены  вопросы  математической  подготовки  будущих  инженеров, 
рассматриваются возможные пути решения данной проблемы. 
Ключевые слова: профессионально-ориентированные задачи, интеграция, межпредметные связи. 
 
В  настоящее  время  математическая  подготовка  является  одной  из  ведущих  линий  в 
профессиональном образовании будущих специалистов инженерной сферы.  
В  инженерных  специальностях,  как  и  в математике, применяются одни и те же методы рассуждений, 
цель которых состоит в нахождении оптимального варианта в конкретной ситуации. 
Таким  образом,  любой  инженер,  как  и  математик,  должен  уметь  рассуждать  логически,  применять  на 
практике  индуктивный  и  дедуктивный  методы.  Другими  словами,  практические  занятия  математикой 
способствуют формированию профессионального мышления инженера. 
Для  обеспечения  качества  математических  знаний  и  формирования  совокупности  инженерно-
технических  знаний,  творческой  активности  специалиста,  развития  его  профессионально-познавательных 
способностей  и  интересов,  выработки  способности  решать  стоящие  перед  ним  задачи,  велико  значение 
содержания образования  и обучения. Содержание обучения —  это компонент учебного процесса, наиболее 
активно влияющего на подготовку специалистов любого профиля. Оно тесно связано и с другими компонентами 
учебного  процесса: методы  обучения,  цели  и  задачи  обучения,  организационные  формы  и  средства 
обучения. 
Овладение  таким  универсальным  аппаратом,  как  моделирование,  дает  возможность  инженеру 
применять  его  при  проведении  всесторонних  исследований  в  технической  области,  характеризующихся 
наличием тесно переплетенных между собой динамических показателей, неопределенностью, случайностью, 
что  позволяет  формировать  у  будущего  специалиста  умение  принимать  нестандартные  решения,  способ-
ствует развитию творческого мышления и обеспечивает формирование профессиональной мобильности. 
Для  достижения  поставленных  целей  в  организации  современного  образования  в  вузе  необходим 
пересмотр  содержания  общенаучной,  общепрофессиональной  и  специальной  подготовки  студентов, 

ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В НАУКЕ,  
ОБРАЗОВАНИИ И ПРАКТИКЕ 
 
 
58
основанный  на  фундаментализации  знаний  по  всем  дисциплинам,  включая  и  так  называемые 
профессионально-ориентированные. 
Опыт  работы  показывает,  что  при  изучении  функций,  их  свойств,  понятий  предела  и  непрерывности 
возникают  определенные  трудности,  связанные  с  попыткой  дать  строгие  определения  понятий.  Поэтому  при 
рассмотрении  данной  темы  необходим  отказ  от  излишней  формализации,  привлечение  интуитивных, 
наглядно  —  графических  представлений.  Например,  при  введении  понятия  предела  функции, 
предварительное  рассмотрение  графиком  как  непрерывных,  так  и  разрывных  функций  позволит 
сформировать  представление  о  пределе  функции  как  о  числе,  которое,  с  наперед  заданной  точностью, 
может  быть  приближено  к  значениям  функции.  В  контексте  прикладной  направленности  данной  темы 
акцент сделан на элементы  моделирования  реальных  инженерных  процессов  и  реальных явлений с 
помощью функций, интерпретации полученных результатов. 
Студентам,  кроме  межпредметной  интеграции,  демонстрируются  также  примеры  внутри  предметной 
интеграции: использование формулы второго замечательного предела при непрерывном начислении процен-
тов, а понятия предела, техники вычисления пределов — для нахождения асимптот сложных функций. 
Материал  значительно  легче  усваивается,  если  он  структурирован  и  рассматривает  изучаемые 
объекты,  процессы,  явления  многоаспектно,  выделяя  их  связи.  Знакомство  студентов  с  методами  и  этапами 
научного  познания  предполагает  возможность  иллюстрации  студентам  в  процессе  изучения  предмета 
широкого  спектра  связей  и  отношений  взаимозависимости  между  различными  фрагментами  динамической 
структуры научного знания как, в общем, так и в конкретном проявлении. 
В  совокупности  система  действий  по  проектированию  профессионально-ориентированных 
задач  на  занятиях  определяет  методику  отбора  и  реализации  профессионально-ориентированных 
задач  в  обучении  математике.  Учет  функций  интеграции  математических  знаний  позволяет  осуществить 
отбор  и  реализацию  профессионально-ориентированных  задач  и  ориентирует  преподавателя  на: 
разработку и проведение занятий; интегрированное изучение тем из курсов математики. 
Такие  формы  интеграции  позволяют  также  мотивировать  введение  новых  понятий  через  актуали-
зацию  практических  проявлений,  раскрывать  математическую  природу  характеристик  реальных  явлений, 
демонстрировать  универсальный  характер  математики  на  конкретных  примерах  и  т.д.  и  соответственно 
обладают образовательной ценностью и значимостью. 
Целями      математического      образования      для      студентов      инженерных  специальностей  в  вузе 
являются: 
1)  осознание  студентами значимости математики,  её  интегральной роли в технических 
дисциплинах; 
2)  усвоение математических понятий в единстве  с их профессионально ориентированной  
интерпретацией  и  особенностями  их  использования  в технике; 
3)  построение математических моделей физических процессов; 
4)  обеспечение  достаточной  математической  подготовки  студентов  для  изучения  ими  инженерных 
дисциплин и дальнейшего самосовершенствования. 
К сожалению, студенты на младших курсах воспринимают математику как некую абстрактную дисциплину. 
Для  изменения  такого  положения  надо  постоянно  показывать  связь  математики  с  решением 
профессиональных задач выбранного направления. Поскольку студенты младших курсов еще не располагают 
в  достаточном  объеме  знаниями  специальных  дисциплин  и  не  могут  оценить  значение  применения 
математических методов, то и возникает необходимость определенной интеграции математики с циклом 
профессиональных  дисциплин,  которая  позволит  использовать  в  полной  мере  математические  методы  в 
инженерно-технической деятельности. Возможность такой интеграции создает применение методики 
проектирования и исследования профессионально-ориентированных задач в   вузе.  Это  тем  более  важно  в 
наши  дни,  когда  студенты  соизмеряют  целесообразность  изучения  дисциплин,  в  первую  очередь  с  их 
профессиональной значимостью  и повышением своей конкурентоспособности на рынке труда. 
Для  конкретной  специальности  при  составлении  рабочей  программы  по  математике  необходимо 
использовать: логические связи учебных элементов; опрос преподавателей выпускающих кафедр. 
В настоящее время в вузах изучаются практически все основные направления математической науки. 
Учебные дисциплины математического цикла должны зависеть от направления подготовки и образовательной 
программы выбранной специальности в рамках данного направления. 
Следовательно, цели  и содержание  курса  «Математика» предстают  в  единстве  с  деятельностью, 
направленной на подготовку студентов к будущей профессии. 
В  настоящее  время  существуют  различные  средства  профессионально-направленного  обучения, 
позволяющие  моделировать  элементы  профессиональной  деятельности  инженера.  Тем  не  менее, 
специфика  математики  такова,  что  наиболее  важным  средством  моделирования  математического  аспекта 
профессиональной  деятельности  инженера  является  решение  профессионально-ориентированных  задач.  В 
последнее время появляются разработки комплексов профессионально-ориентированных задач по всему 
курсу высшей математики для применения их на лекциях, практических занятиях и в самостоятельной работе 
студентов.  Таких  разработок  для  отдельных  специальностей  нет,  а  это  является  одним  из  путей хорошего 

жүктеу/скачать 39,72 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: