Оқулық Алматы 2010 ббк 65. 051 Ш 78

13-тақырып. Өзара байланыстарды зерттейтін корреляциялық-...        249

13.4.2. Типтік есептерді шешу мысалдары 

1 - м ы с а л .  Өткен тақырыптың 3-үлгі мысалындағы шарттарды пайдаланып 

байланыс пен сызықтық корреляция коэффициентін анықтаңыз. Байланыс жөнінде 

қорытынды шығарыңыз жəне регрессия коэффициентінің маңызын түсіндіріңіз. 

Ш е ш у і .  Сызықтық регрессия теңдеуінің параметрлерін табу үшін сызықтық 

теңдеу желісін шешу қажет: 

a

0 

n + a

1

 Σx = Σy;

a

0 

Σx + a

1

 Σx

2

 = Σyx.

Теңдеудің  қажетті  коэффициенттерін,  сондай-ақ  төмендегі  кестедегі  y

2 

мағынасын есептейміз: 

р/с № 

X

y

X

2

y

2

yx

y

x

1

6

3

36

9

18

2,4

2

8

4

64

16

32

4,3

3

9

4

81

16

36

5,3

4

9

3

81

9

27

5,3

5

10

5

100

25

50

6,3

6

10

7

100

49

70

6,3

7

11

6

121

36

66

7,3

8

11

8

121

64

88

7,3

9

11

10

121

100

110

7,3

10

12

9

144

81

108

8,3

11

13

9

169

81

117

9,3

12

14

12

196

144

168

10,3

13

14

10

196

100

140

10,3

14

14

11

196

121

154

10,3

15

15

10

225

100

150

11,2

16

15

12

225

144

180

11,2

17

17

13

289

169

221

13,2

18

18

15

324

225

270

14,2

19

18

16

324

256

288

14,2

20

20

15

400

225

300

16,2

21

21

17

441

289

357

17,1

22

22

18

484

324

396

18,1

23

23

19

529

361

437

19,1

24

23

17

529

289

391

19,1

25

24

20

576

400

480

20,1

26

25

22

625

484

550

21,1

27

25

21

625

441

525

21,1

Сомасы

418

316

7322

4558

5729

316,1

Біздің жағдайда Σx = 418, Σy = 316, Σx

2

 = 7322, Σyx = 5729:

27 a

0 

+ 418 a

1

 = 316;

418 a

0 

+ 7322 a

1

 = 5729.

250       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Бірінші теңдеуді 418/27-ге көбейтіп, келесіні аламыз:

418 a

0 

+ 6471,259 a

1

 = 4892,148.

Екінші теңдеуден жаңадан алынған біріншіні алып тастап төмендегіні аламыз: 

850,7407 a

1

 = 836,8519,

осыдан 

a

1

 = 836,8519 / 850,7407 = 0,984.

Бірінші теңдеуге a

1 

қойып келесі теңдеуді аламыз: 

27 a

0 

+ 418 × 0,984 = 316,

27 a

0 

+ 411,1759 = 316,

 осыдан 

27 a

0 

= –95,1759, a

0 

= –95,1759 / 25 = –3,525.

Сөйтіп, теориялық байланыс теңдеуінің түрі мынадай болады: 

y

x

 = 0,984 x – 3,525.

Регрессия  коэффициенті  деп  аталатын  a

1

  параметрі  негізгі  қордың 1 млрд 

теңгеге ұлғаюы жылына өнім шығаруды 984 млн теңге арттыратынын көрсетеді.

Сызықтық корреляция коэффициенті мына формула бойынша анықталады.

 

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

−

−

−

=

]

(

][

)

(

[

]

/)

(

[

/n

y )

y

/n

x

x

/

n

y

x

y x

r

2

2

2

2

9 8

0

1 7 3 6

8 5 5

8 5 1 9

8 3 6

2 7

3 1 6

4 5 5 8

2 7

4 1 8

7 3 2 2

2 7

3 1 6

4 1 8

5 7 2 9

2

2

,

,

,

)

(

)

(

=

=

÷

−

×

÷

−

÷

×

−

=

5729 – 418 × 316 ÷ 27

836,8519

(7322 – 418

2 

÷ 27) × (4558 – 316

2

) ÷ 27) 855,1736

0,98.

  r = [∑yx – (∑x∑y)/n]/ [∑x

2

 – (∑x)

2

 / n] [∑y

2

 – (∑у)

2

/n]/

Яғни  негізгі  қордың  құны  мен  өнім  шығарудың  арасындағы  байланыс  өте 

тығыз.  Корреляциялық  қатынаспен  салыстырғанда  сызықтық  корреляция  коэф-

фициенті  байланыстың  тығыздығын  ғана  емес  оның  бағытын  да  көрсетеді.  Бұл 

жағдайда белгілердің арасында тікелей байланыс бар. 

2 - м ы с а л .   Бір  зауыт  жұмысшыларының  жұмыс  өтілі  (жыл,  x)  мен  бір 

жұмысшының ауысым ішінде шығарған өнім (дана, y) жөнінде келесідей деректер 

берілген: 

 

X

1

2

3

4

5

6

7

8

10

12

15

Y

50

55

54

58

62

63

65

68

68

70

72

Байланыс  сызықтық  екенін  ескеріп,  жұмыс  өтілі  мен  шығарылған  өнімнің 

арасындағы корреляциялық байланыстың теңдеуін, сондай-ақ сызықтық корреля-

ция коэффициентін есептеңіз. 

Ш е ш у і .  Сызықтық регрессия теңдеуінің параметрлерін табу үшін сызықтық 

теңдеулер жүйесін шешу қажет: 

a

0 

n + a

1

 Σx = Σy;

a

0 

Σx + a

1

 Σx

2

 = Σyx.

13-тақырып. Өзара байланыстарды зерттейтін корреляциялық-...        251

Теңдеудің қажетті коэффициенттерін, сондай-ақ келесі кестедегі y

2 

мағынасын 

есептейміз: 

р/с № 

x

y

x

2

y

2

yx

y

x

1

1

50

1

2500

50

53,5

2

2

55

4

3025

110

55,0

3

3

54

9

2916

162

56,6

4

4

58

16

3364

232

58,1

5

5

62

25

3844

310

59,7

6

6

63

36

3969

378

61,3

7

7

65

49

4225

455

62,8

8

8

68

64

4624

544

64,4

9

10

68

100

4624

680

67,5

10

12

70

144

4900

840

70,7

11

15

72

225

5184

1080

75,4

Барлығы

73

685

673

43175

4841

685,0

Біздің жағдайда Σx = 73, Σy = 685, Σx

2

 = 673, Σyx = 4841:

11 a

0 

+ 73 a

1

 = 685;

73a

0 

+ 673 a

1

 = 4841.

Бірінші теңдеуді 73/11-ге көбейтіп келесі теңдеуді аламыз: 

73 a

0 

+ 484,4545 a

1

 = 4545,909.

Екінші теңдеуден жаңадан алынған бірінші теңдеуді алып тастап төмендегіні 

аламыз: 

188,5455a

1

 = 295,0909,

осыдан 

a

1

 = 295,0909 / 188,5455 = 1,5651.

Бірінші теңдеуге a

1 

қойып келесі теңдеуді аламыз. 

11 a

0 

+ 73×1,5651 = 685,

11 a

0 

+ 114,2517= 685,

осыдан

11 a

0 

= 570,7483, a

0 

= 570,7483 / 11 = 51,9.

Сөйтіп теориялық байланыс теңдеуінің түрі келесідей болады. 

y

x

 = 1,5651 x + 51,9.

Регрессия коэффициенті деп аталатын a

1 

параметрі жұмысшылардың еңбек 

өтілі 1 жылға көп болған жағдайда бір жұмысшының ауысым ішінде шығаратын 

өнімі 1,5651 бөлшекке көбейетінін көрсетеді. 

Сызықтық корреляция коэффициенті келесі формула бойынша анықталады. 

 

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

=

−

−

−

=

]

n

/

)

y

(

y

][

n

/

)

x

(

x

[

/]

n/

)

y

x

(

y x

[

r

2

2

2

2

94

,

0

5712

,

312

0909

,

295

)

11

685

43175

(

)

11

73

6732

(

11

685

73

4841

2

2

=

=

÷

−

×

÷

−

÷

×

−

=

4841 – 73 × 685 ÷ 11

295,0909

(6732 – 73

2 

÷ 11) × (43175 – 685

2

) ÷ 11)

312,5712

0,94.

252       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Яғни  негізгі  қордың  құны  мен  өнім  шығарудың  арасындағы  байланыс  өте 

тығыз, ал таңба белгілердің арасындағы байланыс тікелей екенін көрсетеді. 

3 - м ы с а л . 

13.3-шағын  тарауда  келтірілген  гипербола  бойынша  теңестіру  мысалының 

деректеріне орай өндіріс шығыны мен тауар айналымының көлемінің арасындағы 

корреляциялық қатынасты есептеңіз. 

Ш е ш у і. Корреляциялық қатынас екі дисперсияның негізінде есептеледі: 

.

/

)

(

2

2

2

y

y

y

y

x

R

σ

σ

σ

−

−

=

Кестедегі дисперсияны есептейміз: 

р/с№ 

Өндіріс шығынының 

деңгейі (y)

Y

2

,y

x

y–y

x

(y–y

x

)

2

1

10

100

10,2

-0,2

0,04

2

9,2

84,64

9,3

-0,1

0,01

3

8,1

65,61

8,2

-0,1

0,01

4

7,8

60,84

7,6

0,2

0,04

5

7,9

62,41

7,1

0,8

0,64

6

7,0

49,00

6,7

0,3

0,09

7

6,1

37,21

6,2

-0,1

0,01

8

5,8

33,64

5,8

0,0

0,00

9

5,3

28,09

5,6

-0,3

0,09

10

5,0

25,00

5,4

-0,4

0,16

Сомасы

72,2

546,44

-

0,1

1,09

Жалпы дисперсияны есептейміз: 

σ

y

2

 = 546,44 / 10 = 54,644.

Бұдан кейін байланыс дисперсиясын анықтаймыз. 

σ

y-yx

2

 = 1,09 / 10 = 0,109.

.

999

,

0

998

,

0

644

,

54

/

)

109

,

0

644

,

54

(

=

=

−

=

R

(54,644 – 0,109) / 54,644

Корреляциялық  қатынас  өндіріс  шығыны  мен  тауар  айналымы  көлемінің 

арасындағы өте тығыз тəуелділікті көрсетеді. 

4 - м ы с а л .  13.2-шағын  тарауда  келтірілген  жартылай  логарифмдік  қисық 

сызық бойынша теңестіру мысалының деректеріне орай сатушының еңбек өнімді-

лігі мен тауар айналымының арасындағы корреляциялық қатынасты есептеңіз. 

Ш е ш у і .  Корреляциялық қатынас екі дисперсияның негізінде есептеледі: 

.

/

)

(

2

2

2

y

y

y

y

x

R

σ

σ

σ

−

−

=

13-тақырып. Өзара байланыстарды зерттейтін корреляциялық-...        253

Кестедегі дисперсияны есептейміз. 

р/с № 

y

Y

2

y

x

y-y

x

(y-y

x

)

2

1

5,1

26,01

4,6

0,5

0,25

2

5,2

27,04

4,6

0,6

0,36

3

5,1

26,01

5,2

-0,1

0,01

4

5,4

29,16

5,3

0,1

0,01

5

5,0

25,00

5,5

-0,5

0,25

6

5,2

27,04

5,6

-0,4

0,16

7

5,5

30,25

5,7

-0,2

0,04

8

5,5

30,25

5,7

-0,2

0,04

9

6,5

42,25

5,9

0,6

0,36

10

6,5

42,25

6,2

0,3

0,09

11

5,5

30,25

6,3

-0,8

0,64

12

5,8

33,64

6,3

-0,5

0,25

13

5,6

31,36

6,5

-0,9

0,81

14

7,0

49,00

6,6

0,4

0,16

15

6,5

42,25

6,7

-0,2

0,04

16

7,0

49,00

6,9

0,1

0,01

17

8,0

64,00

7,1

0,9

0,81

18

7,5

56,25

7,2

0,3

0,09

19

6,8

46,24

7,2

-0,4

0,16

20

6,9

47,61

7,2

-0,3

0,09

21

7,2

51,84

7,3

-0,1

0,01

22

7,8

60,84

7,4

0,4

0,16

23

7,8

60,84

7,7

0,1

0,01

24

7,9

62,41

7,7

0,2

0,04

Сомасы

152,3

990,79

152,4

-0,1

4,85

Жалпы дисперсияны есептейміз. 

σ

y

2

 = 990,79 / 24 = 41,2829.

Содан кейін байланыс дисперсиясын есептейміз. 

σ

y-yx

2

 = 4,85 / 24 = 0,2021.

.

998

,

0

995

,

0

2829

,

41

/

)

2021

,

0

2829

,

41

(

=

=

−

=

R

(41,2829 – 0,2021) / 41,2829

Алынған  корреляциялық  қатынастан  сатушының  еңбек  өнімділігі  мен  тауар 

айналымының арасында өте тығыз өзара тəуелділіктің бары байқалады. 

5 - м ы с а л .  13.3-шағын  тарауда  келтірілген  парабола  бойынша  теңестіру 

мысалының деректеріне сəйкес астықтың түсімділігі мен жауын-шашын деңгейінің 

арасындағы корреляциялық қатынасты есептеңіз. 

Ш е ш у і .  Корреляциялық қатынас екі дисперсияның негізінде есептеледі: 

.

/

)

(

2

2

2

y

y

y

y

x

R

σ

σ

σ

−

−

=

254       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Кестедегі дисперсияны есептеңіз: 

р/с № 

Астықтың түсімділігі, 

ц/га (т)

Y

2

y

x

y–y

x

(y–y

x

)

2

1

4,2

17,64

5,4

-1,2

1,44

2

12,6

158,76

10,8

1,8

3,24

3

14,8

219,04

15,1

-0,3

0,09

4

16,8

282,24

18,4

-1,6

2,56

5

21,0

441,00

20,8

0,2

0,04

6

22,2

492,84

22,1

0,1

0,01

7

22,8

519,84

22,4

0,4

0,16

8

21,8

475,24

21,8

0,0

0,00

9

19,4

376,36

20,1

-0,7

0,49

Сомасы

155,6

2982,96

156,9

-1,3

8,03

Жалпы дисперсияны есептейміз: 

σ

y

2

 = 2982,96 / 9 = 331,44.

Содан кейін байланыс дисперсиясын анықтаймыз. 

σ

y-yx

2

 = 8,03 / 9 = 0,8932.

.

999

,

0

997

,

0

44

,

331

/

)

8932

,

0

44

,

331

(

=

=

−

=

R

(331,44 – 0,8932) / 331,44

Корреляциялық қатынас астықтың түсімділігі мен жауын-шашын деңгейінің 

арасындағы тəуелділіктің тығыздығын көрсетеді.

жүктеу/скачать 2,85 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: