Прикладная математика численные методы
Схема Гаусса с выбором главного элемента
жүктеу/скачать 1,04 Mb.
|
3.3. Схема Гаусса с выбором главного элементаРассмотрим СЛАУ (3.17) Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы (3.17): . (3.18) Среди элементов матрицы aij (i,j = 1, ...n) выберем наибольший по модулю, называемый главным элементом. Пусть им будет, например, элемент apq. Строка, содержащая главный элемент, называется главной строкой. Далее вычисляем множители mi = aiq / apq для всех i p.Затем преобразуем матрицу (3.18) следующим образом: из каждой i-ой неглавной строки вычитаем почленно главную строку, умноженную на mi. В результате получим матрицу, у которой все элементы q-го столбца за исключением apq, равны 0. Отбрасывая этот столбец и главную строку, получим новую матрицу M1 с числом строк и столбцов на 1 меньше. Над матрицей М1 повторяем те же операции, после чего получим матрицу M2 и т.д. Таким образом продолжаем до тех пор, пока не получим матрицу, содержащую одну строку из двух элементов, которую тоже считаем главной. Затем объединим все главные строки, начиная с последней. После некоторой перестановки они образуют треугольную матрицу, эквивалентную исходной. На этом заканчивается этап вычислений, называемый прямым ходом. Решив систему с полученной треугольной матрицей коэффициентов, найдём последовательно значения неизвестных xi (i = 1, 2, ..., n). На этом заканчивается обратный ход. Смысл выбора главного элемента состоит в том, чтобы сделать возможно меньшими числа mi и тем самым уменьшить погрешность вычислений. Пример 3.4. Рассмотрим СЛАУ, состоящую из трех уравнений. Запишем расширенную матрицу m2 = -1/6; m3 = -2/3. m2 = -5/16. M2 = [ 87/96 174/32]. x3 = 6; x1 = 3; x2 = -2. жүктеу/скачать 1,04 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|