Прикладная математика численные методы
жүктеу/скачать 1,04 Mb.
|
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)
- Бұл бет үшін навигация:
- || ||
- Относительной погрешностью
| Устранимая погрешность состоит из двух составляющих: а) погрешность аппроксимации (метода); б) погрешность вычислений. Эти составляющие могут быть уменьшены выбором более точных методов и увеличением разрядности вычислений.
Как правило, в дальнейшем нас будут интересовать корректно поставленные задачи вычисления. Задача вычисления y = A(x) называется корректно поставленной, если для любых входных данных из некоторого класса решение задачи существует, единственно и устойчиво по входным данным (т. е. непрерывно зависит от входных данных задачи). В сформулированном понятии корректности учтены достаточно естественные требования, т. к. чтобы численно решать задачу, нужно быть уверенным, что ее решение существует. Столь же естественны требования единственности и устойчивости решения. Рассмотрим подробнее понятие устойчивости. Обычно нас интересует решение y, соответствующее входным данным x. Реально мы имеем возмущенные входные данные с погрешностью δx, т.е. x + δx, и находим возмущенное решение: y + δy = A(x+δx). Эта погрешность входных данных порождает неустранимую погрешность решения: δy = A(x+δx) - A(x). Если решение непрерывно зависит от входных данных, то всегда при , и задача устойчива по входным данным. Здесь символ || || - норма. Если X – точное значение величины, а X* – приближенное значение, то абсолютная погрешность приближения определяется выражением . Относительной погрешностью величины называется отношение абсолютной погрешности к модулю ее точного значения: δ = Δ / |X|. Достаточно часто точное значение величины неизвестно, поэтому указывают границы погрешности: (1.1) (1.2) Рассмотрим подробнее погрешность округления чисел, участвующих в вычислениях. В позиционной системе счисления с основанием r запись (1.3) означает, что . Здесь r – целое число, большее единицы. Каждое из чисел может принимать одно из значений {0, 1, …, r-1}. Числа называются разрядами, например: – третий разряд перед запятой, – второй разряд после запятой. Запись вещественного числа в виде (1.3) называется также его представлением в форме числа с фиксированной запятой. В ЭВМ чаще всего используется представление чисел в форме с плавающей запятой. Так как наиболее часто в компьютерах применяется двоичная система с плавающей запятой, то вещественное число можно представить виде (1.4) где Здесь p - целое число называется порядком числа a, а – мантиссой. Если исходная величина или промежуточный результат требуют большего числа разрядов, то производится округление до t – го разряда. Значащие цифры называются верными до t – го разряда, если абсолютная величина разности между a* и a меньше или равна половине единицы младшего разряда: . (1.5) Ограничения на порядки чисел, представляемых в ЭВМ , порой приводят к прекращению вычислений (так называемое исчезновение порядка); в других случаях относительно небольшая разрядность представления чисел в ЭВМ приводит к недопустимому искажению результата вычислительной погрешностью. Приведем несколько примеров иллюстрирующих это и способы (приемы) уменьшения вычислительной погрешности за счет несложных алгебраических преобразований. Рассмотрим типичный пример, в котором порядок выполнения операций существенно влияет на погрешность результата. жүктеу/скачать 1,04 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|