а) абсолютная погрешность алгебраической суммы
не превышает суммы абсолютных погрешностей ее членов:
(1.6)
б) относительная погрешность произведения не превышает суммы относительных погрешностей сомножителей:
; (1.7)
в) относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя:
Как по абсолютной погрешности вычислить относительную погрешность?
2. Численное интегрирование
2.1. Постановка задачи
Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой.
Мы будем рассматривать способы приближенного вычисления определенных интегралов
, (2.1)
основанные на замене интеграла конечной суммой:
, (2.2)
где Сk- числовые коэффициенты, а xk [a, b], k = 0, 1, …, n.
Приближенное равенство
(2.3)
называется квадратурной формулой, а xk – узлами квадратурной формулы. Погрешность квадратурной формулы определяется соотношением
. (2.4)
В общем случае погрешность квадратурной формулы (2.4) зависит как от выбора коэффициентов Ск , так и от расположения узлов хк. Введем на отрезке [a, b] равномерную сетку с шагом h, тогда xi = a + ih, где (i = 0, 1, ..., n;
h·n = b-a). Теперь выражение (2.1) можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
(2.5)
Таким образом, для построения формулы численного интегрирования на отрезке [a, b] достаточно построить квадратурную формулу на частичном отрезке [xi-1, xi] и воспользоваться формулой (2.5).
