Прикладная математика численные методы



бет7/34
Дата06.03.2023
өлшемі1,04 Mb.
#71977
түріУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   34
Байланысты:
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)

2.4. Формула Симпсона


В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки
(xj, f(xj)), где j = i-1; i-0.5; i, то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:


(2.14)

Проведя интегрирование, получим:




(2.15)

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке


[a, b] формула Симпсона примет вид


(2.16)

Графическое представление метода Симпсона показано на рис. 2.4.





Рис. 2.4. Метод Симпсона

Избавимся в выражении (2.16) от дробных индексов, переобозначив переменные:


(2.17)
Тогда формула Симпсона примет вид
(2.18)

Погрешность формулы (2.18) оценивается следующим выражением:




, (2.19)

где h·n = b - a, . Таким образом, погрешность формулы Симпсона пропорциональна O(h4).




Замечание. Следует отметить, что в формуле Симпсона отрезок интегрирования обязательно разбивается на четное число интервалов.


2.5. Вычисление определенных интегралов методами
Монте–Карло


Рассматриваемые ранее методы называются детерминированными, то есть лишенными элемента случайности.


Методы Монте–Карло (ММК) – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. ММК позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи. Рассмотрим вычисление определенного интеграла
(2.20)
При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников интервал [a, b] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:


(2.21)
(2.22)

Здесь γi - случайное число, равномерно распределенное на интервале


[0, 1]. Погрешность вычисления интеграла ММК ~ , что значительно больше, чем у ранее изученных детерминированных методов.
На рис. 2.5 представлена графическая реализация метода Монте-Карло вычисления однократного интеграла со случайными узлами (2.21) и (2.22).







Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   34




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет