Прикладная математика численные методы



бет6/34
Дата06.03.2023
өлшемі1,04 Mb.
#71977
түріУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34
Байланысты:
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)

2.2. Формула прямоугольников


На частичном отрезке [xi-1, xi] заменим подынтегральную функцию полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в одной точке. Естественно в качестве этой точки выбрать среднюю: xi-0.5 = xi - 0.5h. Тогда получим формулу


. (2.6)
Подставив (2.6) в (2.5), получим составную формулу средних прямоугольников:
. (2.7)
Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников представлена на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Интегрирование методом средних прямоугольников

Погрешность формулы (2.7) определяется выражением


(2.8)
Здесь . Таким образом, погрешность формулы (2.7) пропорциональна O(h2).
Замечание. Формулу (2.7) можно представить в ином виде:
. (2.9)
Эти формулы в выражении (2.9) называются формулой левых и правых прямоугольников соответственно. Графически метод левых и правых прямоугольников представлен на рис. 2.2.





а) б)
Рис. 2.2. Метод левых (а) и правых (б) прямоугольников

Однако из-за нарушения симметрии в формулах (2.9) их погрешность значительно больше, чем в методе средних прямоугольников и ~O(h).




2.3. Формула трапеций


Если на частичном отрезке подынтегральную функцию заменить полиномом Лагранжа первой степени, то есть




, (2.10)

тогда искомый интеграл запишется следующим образом:




(2.11)

После подстановки выражения (2.11) в (2.5) составная формула трапеций примет вид




(2.12)
Графически метод трапеций представлен на рис. 2.3.



Рис. 2.3. Метод трапеций

Погрешность формулы (2.12) определяется выражением:




(2.13)

Таким образом, погрешность метода трапеций Ψ ~ O(h²), но она в два раза больше, чем для формулы средних прямоугольников.






Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет