«развитие науки и инновации в современном мире: проблемы и перспективы»

252 
 
отырып, дисперстік жүйеде агрегациялық процестерді есептеудің негізделген әдістерін құру үшін, 
теориялық қор ретінде релаксациялық ядро әдісін қолдану негіздемесі берілген 
 
Summary 
The basis for application of the relaxation kernels methodology as a theoretical ground for creating 
the safe calculating methods for heat and mass transfer with accounting of relaxation phenomena and for 
calculating  aggregation  processes  in  disperse  systems  with  allowing  for  time  delay  and  relaxation  times 
hierarchy too has been carried out 
 
Химические технологии в современности отличаются протеканием в рабочем 
объеме  аппаратов  комбинированных  процессов  сопряженного  тепло-  и 
массообмена,  химических  реакций  и  фазовых  переходов.  Причем  как  правило,  
процессы превращений веществ осуществляются, в высокоградиентных режимах и 
в  условиях  формирования  сложной  структуры  взаимодействующих  сред.    На 
сегодняшний  день  единых  принятых  методик  расчета  подобных  процессов  не  
существует.  Для  разработки  таких  методик,    отсутствует  также  необходимая 
фундаментальная  база.  Хорошо  зарекомендовавшие  себя  градиентные  законы    в 
случае  высокоградиентных  процессов  не  применимы,  т.к.  характерные  времена 
процесса становятся сопоставимы с временами релаксации.   
Актуальной  проблемой  науки  о  процессах  и  аппаратах  химических 
технологий  становится  на  сегодняшний  день  разработка  необходимой 
теоретической  базы  для  разработки  обоснованных  методов  расчета  тепло- 
массобменных  процессов  с  учетом  релаксационных  явлений  и  межфазной 
нестабильности, что и является темой настоящей статьи  
 Покажем,  каким  образом  временная  нелокальность  процессов  переноса  в 
интенсивных  режимах  может  быть  описана  на  основе  использования  модели 
релаксационных  ядер  переноса,  которые  являются  ядрами  интегральных 
преобразований, связывающих  в статистической теории диссипативных процессов 
потоки и термодинамические силы.  
       Общая структура потока имеет следующий вид  [1, 2, 3]:             
 
      
 
 
 

  
t
R
F
t
t
R
R
N
R
d
dt
t
R
J
t
R
J
t
R
J
i
ni
n
n
n
,
,
,
,
,
,
,
1
1
0
0







,           
(1) 
 
где 
N
ni
- релаксационные ядра переноса; 
i
F
- термодинамические силы. 
     Рассмотрим среду без внутренних вращений. Тогда потоки можно определить 
следующим образом:  
                                         

 

J
dt N R t t
R t
t
1
1
0
1
1
1

 

,
,
,                          (2) 
 
                                    

 

J
dt N R t t
R t
t
2
2
0
2
2
2




,
,
.                         (3) 
 
Ограничиваясь  временной  нелокальностью  в  многокомпонентной  системе,  
запишем выражения  для 
n
 линейно  независимых  потоков  массы  компонентов 
i
J
 
и потока тепла 
h
J
 в виде:  
 

253 
 
 


 


2
1
0
1
1
1
1
0
1
,
,
,
T
T
t
t
R
N
dt
T
t
R
t
t
R
N
dt
J
ih
t
n
k
k
ik
t
i

















,                 (4) 
 


 


2
2
0
2
1
1
2
0
2
,
,
,
T
T
t
t
R
N
dt
T
t
R
t
t
R
N
dt
J
hh
t
n
k
k
hk
t
h

















,                 (5) 
 
Для  компактности    описания  и  упрощения  преобразований  положим 
1
1



n

. Тогда в выражениях (4), (5) можно произвести замену индекса ―
h
‖ на 
индекс  ―
1

n
‖  и  записать  единую  форму  для  потоков  массы  и  тепла  в 
многокомпонентной системе:  
 


 













1
1
1
1
0
1
,
,
n
k
k
ik
t
i
T
t
R
t
t
R
N
dt
J

.                                         (6) 
 
Отсюда следует: 
 




 


 


























1
1
1
1
1
0
1
,
0
,
,
,
n
k
k
ik
k
ik
t
i
T
t
R
R
N
T
t
R
t
t
t
R
N
dt
t
J




,       (7) 
Введем обозначение для интегральных членов: 
 
                           


 










T
t
R
t
t
R
N
dt
I
k
ik
t
ik
1
1
0
1
,
,

.                                 (8) 
 
Для анализа общей структуры уравнений переноса используем далее наиболее 
простой вид  релаксационных ядер переноса:    
 


 




ik
ik
ik
t
t
t
R
t
t
R
N


1
1
exp
,
,




,                               (9) 
 
где 
 
t
R
ik
,

 - некоторая локальная функция [1, 5]. 
Полагая  
 
const
t
R
ik

,

, получаем: 
 
ik
ik
k
ik
ik
I
T
t
I














.                                                            (10) 
 
В  результате  повторного  дифференцирования    вплоть  до  производных  порядка  (
1

n
) приходим к следующим соотношениям (где принято для любой функции 
Z
:  
Z
t
Z



0
0
). 

254 
 
 

  
































1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
p
j
n
k
p
ik
ik
p
n
k
j
ik
k
ik
j
p
j
p
j
p
i
p
I
T
t
t
J




 ,                  (11)  
 
где 
1
,...,
1
 
;
1
,...,
1




n
i
n
p
 
Таким  образом,  для  каждого  компонента    получаем  систему,  состоящую  из  
1

n
 уравнений,  содержащих      производные  потоков    до   
)
1
(

n
-  го  порядка 
включительно.  Придем  к  линейному  дифференциальному  уравнению 
)
1
(

n
-  го 
порядка для потока каждого компонента: 
 
0
,...,
;
,...,
,
1
1
1















n
i
n
i
n
n
i
n
J
t
J
t
J
L


,                                         (12) 
 
где 
L
 - линейный оператор. 
 
Последующие преобразования основаны на законах сохранения: 
 
0






i
i
J
t

.                                                       (13) 
 
Действуя  на  соотношение  (12)  оператором  набла,  получаем  в  итоге 
дифференциальное  уравнение  (
2

n
)  –  го  порядка  для  потенциала  каждого  из 
компонентов системы:    
 
                
 
 
0
,..,
;
,...,
,
1
1
1
2
2



















n
i
n
i
n
n
i
n
t
t
t
L





.                          (14) 
 
Теперь  рассмотрим  проблему  учета  нелокальности  процессов  агрегации 
дисперсных систем. В теории коагуляции этот пробел отмечается и в литературе [4, 
5].  
Без  учета  нелокальности  процесса,  в  частности,  временного  запаздывания 
агрегации,  уравнение  Смолуховского  является  внутренне  противоречивым,  т.к.  не 
описывает  влияние  характерного  времени  образования  агрегата  на  кинетику 
процесса. 
В  нашем  случае  роль  времен  релаксации    играют  характерные  времена 
j
i,

 
агрегации   

i
 и 

j
меров.  Тогда  предлагается  следующая  нелокальная 
модификация уравнения Смолуховского для процесса агрегации в полидисперсной 
системе:  
   
 
   
     
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
,
1
,
,
2
1
t
C
t
C
t
t
dt
t
C
t
C
t
t
dt
t
C
j
j
i
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
i














  (15) 
 
  
Модельные  уравнения  для  элементов  матрицы  коагуляции  запишем 
следующим образом: 

255 
 
                                           
0
0
,
,
,
,




j
i
j
i
j
i
j
i
f
t



.                             (16) 
 
Тогда интегро-дифференциальные уравнения приобретают вид: 
 


   

    
1
1
1
1
,
0
,
0
,
1
1
1
1
1
1
,
0
,
0
,
1
exp
exp
2
1
t
C
t
C
t
t
f
dt
t
C
t
C
t
t
f
dt
t
C
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
i






































                (17) 
 
Временные производные интегральных членов имеют вид 
 
   
   
















1
,
0
,
1
1
0
1
0
,
,
0
,
0
,
exp
t
t
f
t
C
t
C
dt
f
t
C
t
C
j
i
j
i
j
i
t
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i


.     (18) 
 
Тогда уравнение можно преобразовать к виду: 
   
   


   

    
1
1
1
1
,
0
,
0
,
1
,
0
,
1
1
1
1
1
,
0
,
0
,
1
,
0
,
1
0
,
1
1
0
,
2
2
exp
exp
2
1
2
1
t
C
t
C
t
t
f
dt
f
t
C
t
C
t
t
f
dt
f
t
C
t
C
t
C
t
C
dt
C
d
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
i
j
j
j
i
i
























































      (19) 
 
Возьмем еще раз производную по времени: 
   
   


   

    
1
1
1
1
,
0
,
0
,
1
2
,
0
,
0
,
1
,
0
,
1
1
1
1
1
,
0
,
0
,
1
2
,
0
,
1
1
0
,
,
0
,
1
0
,
1
1
0
,
3
3
exp
)
(
)
(
)
(
exp
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)
2
1
(
t
C
t
C
t
t
f
dt
f
t
C
t
C
f
t
C
t
C
t
t
f
dt
f
t
C
t
C
f
t
C
t
C
t
C
t
C
dt
d
dt
C
d
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
j
i
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
i
j
j
j
i
i










































































          (20) 
 
Производя  раздельное  усреднение  по  группам  индексов  для  членов, 
описывающих    образование  и  деструкцию 
i
 -  меров,  приходим  к  системе 
уравнений 

256 
 
   
   


   

    
1
1
1
1
,
0
,
0
,
1
2
2
1
0
,
2
1
1
1
1
1
,
0
,
0
,
1
2
1
1
1
0
,
1
1
0
,
1
1
0
,
3
3
exp
)
(
)
(
exp
2
1
)
(
)
(
2
1
)
2
1
(
t
C
t
C
t
t
f
dt
B
t
C
t
C
A
t
C
t
C
t
t
f
dt
B
t
C
t
C
A
t
C
t
C
t
C
t
C
dt
d
dt
C
d
j
j
i
j
i
j
i
j
i
j
j
i
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
i
j
j
j
i
i
































































                      (21)     
 
После преобразований получаем более компактный вид системы 


   
   































1
0
,
2
1
1
0
,
1
1
0
,
1
1
0
,
2
1
2
1
2
2
2
1
3
3
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
)
2
1
)(
(
j
j
i
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
j
i
j
j
i
j
j
i
i
j
j
j
i
i
i
i
t
C
t
C
A
t
C
t
C
A
t
C
t
C
t
C
t
C
dt
d
B
B
dt
dC
B
B
dt
C
d
B
B
dt
C
d
(22) 
 
Особенностью  уравнения  (22)  является  наличие  решений,  описывающих 
распространение  возмущений  с  конечной    скоростью.    Дальнейшее  развитие 
предложенной  модели  может  заключаться  в  учете  различия  характерных  времен 
коагуляции при агрегации глобул различного порядка.  
 
Анализ  полученного  уравнения  показывает,  что  при  малых  значениях 
параметра 
c
n


 использование  локальной  формы  уравнений  Смолуховского  
вполне  корректно,  т.к.  поправка  к  локальной  форме  имеет  не  менее,  чем  второй 
порядок малости. 
 

жүктеу/скачать 4,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: