С. П. Макаревич, М.Қ. Қылышқанов Автоматты реттеу теориясы бойынша лекциялар
АРЖ элементтерінің дифференциалдық теңдеулері
жүктеу/скачать 10,8 Mb.
|
| 2.2 АРЖ элементтерінің дифференциалдық теңдеулері
Кез-келген АРЖ элементтерден тұрады және ұйтқулардың әрекеті нәтижесінде жүйенің әрбір элементі орнықпаған, динамикалық режимде жұмыс істейді. Сондықтан АРЖ-нің жұмысын сипаттау үшін оның барлық элементтерінің дифференцалдық теңдеулерін алу керек. Теңдеулер берілген буынның немесе жүйенің кірістік және шығыстық сигналдарының арасындағы байланысты беретіндей етіп құрастырылуы керек. Дифференциалдық теңдеулер зерттелетін элементтегі процесті сипаттайтын физикалық заңдардың негізінде құрастырылады. Көбінесе қарастырылатын құбылысқа арналған заттың немесе энергияның сақталу заңдары теңдеулерді құрастыру негізіне алынады. Реттеу нысанының дифференциалдық теңдеуін құрастыру мысалын сұйықтығы еркін ағатын резервуар үшін көрсетейік (2.5 сурет). Бұл мысалда шығыстық шама ретінде сұйықтық деңгейінің Н0 номинал мәнінен Н ауытқуын аламыз, яғни y=Н. Кірістік шама ретінде сұйықтық беретін құбырдағы реттеуші органның орын ауыстыруын x (% р.о.ж.) – реттеуші орган жүрісінің процентін аламыз. Нысанның ұйытқуы (жүктемесі) ретінде сұйықтық шығатын құбырдағы клапанның орын ауыстыруын f(% а.к.ж.) – ағыс клапанының жүрісін аламыз. Егер бірлік уақыт ішінде келетін сұйықтық пен шығатын сұйықтық мөлшері бірдей болса, яғни Qк=Qш, онда резервуардағы сұйықтықтың деңгейі қандай да бір Н0 орныққан мәнге ие болады. Егер келетін және шығатын сұйықтықтың шамалары арасында айырма пайда болса, онда t уақыт ішінде резервуардағы зат мөлшері (Qк-Qш)t шамаға өзгереді. Соның салдарынан резервуардағы сұйықтықтың деңгейі қандай да бір Н шамаға өзгереді. Сонда резервуардағы сұйықтық үшін материалдық баланс теңдеуі мына өрнекпен анықталатын болады: (QкQш)t=SН, бұдан
, (2.2) мұндағы S – резервуардың ауданы. 2.5 сурет (2.2) өрнекте уақыт интервалын нөлге ұмтылдырып t0, туындыға көше отырып, өрнекті мынадай түрге келтіреміз: . (2.3) (2.3) теңдеуден сұйықтық деңгейінің өзгерісі кез-келген уақыт мезетінде ағып келетін және кететін сұйықтық мөлшерлерінің айырмасына пропорционал екенін көруге болады. Келетін сұйықтықтың мөлшері сұйықтық беретін құбырдағы клапанның ашылу дәрежесіне ғана, ал шығып кететін сұйықтық мөлшері шығыстағы құбырда орналасқан клапанның ашылу дәрежесіне және сұйықтықтың деңгейіне тәуелді. Деңгейден тәуелділік былайша анықталады . Бұдан Qк=f1(x); Qш=f2(f,H) екенін аңғаруға болады. Резервуардың сызықтандырылған теңдеуын алу үшін бұл тәуелділіктерді сызықты түрде, яғни бастапқы тепе-тең күйге қарағандағы өсімшелер түрінде Тейлор қатарына жіктей отырып аламыз. Сонда мынадай өрнектер шығады: , (2.4) , (2.5) мұндағы k1, k2, k3 – пропорционалдық коэффициенттері. Резервурдың материалдық баланс теңдеуін (2.3) тепе-теңдік күймен салыстырғандағы өсімшелер арқылы өрнектейік: . (2.6) (2.4) және (2.5) өрнектерді (2.6) формулаға қоя отырып нысанның теңдеуін мына түрде жазайық: . Қабылданған белгілеулерді пайдалана отырып, мынадай өрнек аламыз: . (2.7) (2.7) теңдеудің екі жағын бірдей k3-ке бөле отырып сұйықтығы еркін ағатын резервуардың дифференциалдық теңдеуін - сызықтандырылған математикалық моделін аламыз. , (2.8) мұндағы (уақыт бірлігінде) - нысанның уақыт тұрақтысы; (ұзындық бірлігі/% р.о.ж.) – нысанның реттеуші әрекетке қатысты беріліс коэффициенті; (ұзындық бірлігі/% а.к.ж.) – нысанның ұйтқытушы әрекетке қатысты беріліс коэффициенті. (2.8) өрнектен нысанның статикалық сипаттамаларын алуға болады. Ол үшін теңдеуге кіретін барлық туындыларды нөлге тең деп алу керек. (2.8) теңдеуден y=kрқx+kұқf, мұндағы y - шығыстық шаманың орныққан мәні. Бұдан суперпозиция принципіне сәйкес ; өрнектерін алуға болады, яғни жүйенің беріліс коэффициенті орныққан режимдегі нысанның шығыстық шамасының өзгерісінің кірістік шамасының өзгерісіне қатынасы ретінде анықталады. Қорыта келгенде мынадай тұжырымдар жасауға болады: 1) (2.8) сызықты дифференциалдық теңдеу өсімшелерді қолдана отырып құрастырылған. Сондықтан сызықтандырылу қандай бастапқы күй маңайында жүргізілгені атап көрсетілмесе, бұл теңдеудің ешқандай мағынасы жоқ. 2) Суперпозиция принципіне сәйкес нысанның шығыстық шамасының реттеуші және ұйытқытушы әрекеттерге реакциясын жеке-жеке анықтауға болады. Сондықтан (2.8) теңдеудің оң жағында зерттеу қай әрекетке қатысты жүргізілсе, сол жазылады. Сонда, мысалға, басқарушы әрекетке қатысты (2.8) теңдеу былай жазылады: . Ендеше жоғарыда аталған қорытындыларға сүйене отырып, кез-келген құрылғының дифференциалдық теңдеуін құрастырудың кезеңдерін көрсетуге болады: 1) Жүйені анықтайтын координатар таңдап алынады. 2) Нысанның физикалық айнымалылары абсолют немесе салыстырмалы ауытқулары арқылы өрнектеледі. 3) Құрылғының жұмысы негізінде жататын физикалық заң анықталады. 4) Теңдеу нормаланады және алынған коэффициенттердің өлшем бірліктері анықталады. Екінші мысал ретінде қимасы тұрақты, шығысында өнімділігі сұйықтық деңгейіне тәуелсіз сорабы (насос) бар сұйықтық резервуары – нысан үшін дифференциалдық теңдеуді қорытып шығаруды қарастырайық (2.6 сурет). 2.6 сурет Шығыстық шама ретінде сұйықтық деңгейінің номинал мәнінен ауытқуын қарастырамыз, яғни y=H. Кірістік шама ретінде сұйықтық беретін құбырдағы реттеуші органның орын ауыстыруын x (% р.о.ж.) аламыз. Ендеше . Ұйытқу (жүктеме) ретінде сораптың өнімділігінің өзгерісін f(% с.ө.) аламыз. Сонда . (2.6) материалдық баланс теңдеуін пайдаланып, былайша жазуға болады: , бұдан жоғарыдағы қабылданған белгілеулерді пайдалана отырып: , мұндағы (ұзындық бірлігі/уақыт бірлігі% р.о.ж.) – нысанның реттеуші әрекетке қатысты беріліс коэффициенті; (ұзындық бірлігі/уақыт бірлігі% c.ө.) – нысанның ұйытқытушы әрекетке қатысты беріліс коэффициенті. жүктеу/скачать 10,8 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|