Теорема1.1.1 Салыстыру a≡b (mod m) орындалады сонда тек сонда ғана егер a және b сандарын m-ге бөлгенде бірдей қалдық қалса.
Дәлелдеуі:
1) ab (mod m) берілсін. a және b мынандай түрінде болсын:
a =+
b =+
және
0≤ Бұдан
a –b = m +
Бірақ m ⎹ a – b, демек m⎹- m < < m, мұндағы m-нен кіші сандар арасындағы ғана -ге бөлінетіні тек 0, сондықтан –= 0, = шығады.
2) a және b сандарыm - ге бөлінгенде қалдықтары тең болсын, ондa a = =m +n және b = m+ n. Бұдан , ma – b, яғни a b (mod m) болады.[2,б.384]
Осыдан төменегі анықтамалар шығады.
Анықтама 1.1.5Бұл a және b сандардың бөліндісінен шыққан қалдық -ге тең болса, онда a≡b (mod m) m модуль бойынша салыстырымды деп аталады.
Анықтама 1.1.6 a≡b (mod m) салыстыруы a және b бүтін оң сандар үшін орындалады сонда тек сонда ғана, егер a және b сандары бірдей соңғы цифрын m негізінде қабылдаса.
Мысалы: 37 ≡ 87 (mod 10), себебі ондық сандар жүйесіндегі осы екі сандардың соңғы цифры бірдей.
Анықтама 1.1.7Айталық, екі салыстыру берілсін:
a≡b (mod m),c≡d (mod m), (1.1.10)
a = b + mk, c = d + ml (1.1.11)
Мына (1.1.11) теңдеуді қосатын болсақ, онда a + c = b+ d + m(k + l) немесе
a+c≡b+d (mod m) (1.1.12)
мұндағы k және l – бүтін сандар. Басқаша айтқанда, екі салыстыруды қосуға болады.
Анықтама 1.1.8Бір салыстыруды екіншісінен азайтуға болады:
a - c b – d (mod m) (1.1.13)
Мысалы: 11≡ -5 (mod 8) және 7≡ -9 (mod 8) салыстыруларын қосуға да, азайтуға да болады: 11+7≡ -5-9 (mod 8) және 11-7≡ -5++9 (mod 8) =>18≡ -14 (mod 8) және 4≡ 4 (mod 8). Осы екі салыстырулар орынды.
Анықтама 1.1.9Екі салыстыруларды көбейтуге де болады.
Берілген (1.1.10) және (1.1.11) –ден ac≡bd+m(kd+bl+mkl), демек
ac bd (mod m) (1.1.14)
Мысалы: 11≡ -5 (mod 8) және 7 ≡ - 9 (mod 8) салыстыруларды көбейтетін болсақ, онда 77 ≡ 45 (mod 8) шығады.