Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических наук в современном образовательном пространстве»

51
 
 
характеризующий геометрическую нелинейность деформирования, определяемый экспериментально, 
i
m
- масса 
замкового соединения (муфты), расположенного в сечении 
i
l
x 
. Рассмотрим следующую краевую задачу 
EF
P
x
u
0




при 
0

x
,
)
(
0
t
u
u 
   при  
l
x 
 
 где   
E
  -модуль  Юнга, 
0
P
-  действующая  на  колонну  постоянная    сжимающая  осевая  сила, 
l
-  общая  длина 
колонны. 
           Для  решения  краевой  задачи    используем  метод  конечных  элементов.  С  этой  целью  всю  длину  штанги 
разделяем  на 
n
  конечные    элементы  (
1

n
  узлами)      одинаковой    длины 
a
.  Считаем,    что  длины  участков 
элементов отнесены  к  величине 
a
.      Сосредоточенные  массы  распложены  в  узловых  точках,  причем в  первом 
узле  отсутствует  масса,  а    самая  нижняя    масса  (долото)    совершает  движение  по  заданному  закону 
)
(
0
t
u
. 
Обозначим  через 
)
(t
q
i
  (
1
,
2


n
i
) 
)
(
(
0
1
t
u
q
n


)    перемещения  сосредоточенных  масс,  перемещения 
сечений колонны (отнесенные к величине 
a
) в пределах каждого элемента представим в виде 
p
N
q
p
u
)
(
3
/
)
)(
4
1
(
2
2
2
2
,
1






, 
3
2
2
1
3
,
2
)
(
)
(
q
N
q
N
u




,
4
2
3
1
4
,
3
)
(
)
(
q
N
q
N
u




---- 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
1
2
1
1
,
)
(
)
(




i
i
i
i
q
N
q
N
u


----------------- 
0
2
1
1
,
)
(
u
N
q
N
u
n
n
n




  (2)                                                              
где
a
x /


,
2
1
2
3
1

 


N
,

 

2
2
2
N
, 
EF
a
P
p
/
0

, 
1
..
2


n
i
 
Поставляем 
)
,
(
,
t
u
j
i

  из  (2)  в  формулах  (1),  тогда  получаем  выражения  для  кинетической  и  потенциальной 
энергий: 




1
2
2
n
i
i
U
EFa
U
, 




1
2
3
2
n
i
i
T
a
F
T

                                                                                               (3) 
где 
2
2
2
2
4
2
3
2
2
2
3
2
4
2
3
2
27
14
27
8
27
7
)
405
61
405
112
135
128
405
512
405
4096
(
q
pq
p
p
q
p
q
p
pq
q
a
U









, 
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
4
3
4
2
3
3
3
2
)
(
3
7
]
5
46
)
(
5
44
)
(
5
61
[
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
a
U









, 
4
3
2
4
2
3
2
4
2
3
2
4
2
3
4
3
4
4
4
3
3
4
3
2
)
(
3
7
]
5
46
)
(
5
44
)
(
5
61
[
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
a
U









, 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
a
U
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
4
4
1
3
3
2
)
(
3
7
]
5
46
)
(
5
44
)
(
5
61
[















1
..
3


n
i
, 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
4
0
4
3
1
3
2
)
(
3
7
]
5
46
)
(
5
44
)
(
5
61
[
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q
a
U
n
n
n
n
n
n
n










, 
2
2
2
30
23
q
T


, 
)
2
2
(
15
1
3
2
2
3
2
2
3
q
q
q
q
T







,
)
2
2
(
15
1
4
3
2
4
2
3
4
q
q
q
q
T







---------------- 
-----------
)
2
2
(
15
1
1
2
2
1
i
i
i
i
i
q
q
q
q
T









-------------------------
)
2
2
(
15
1
0
2
0
2
1
u
q
u
q
T
n
n
n








 
Принимая переменные 
i
q
 (
n
i
..
2

) за обобщенные координаты, составим уравнение Лагранжа II- рода 
i
i
i
q
U
q
T
q
T
dt
d
















 
             После  постановки  выражений  кинетической  и  потенциальной  энергий  из  (3),  получаем  систему 
нелинейных  дифференциальных  уравнений  для  определения  координат  перемещений  присоединенных  масс.  В 
частности, в случае 
3

n
, получаем 









)]
28
891
(
)
23
621
(
)
128
837
(
9037
[
2
{
)
27
(
27
3
3
3
2
3
2
2
3
2
2
3
1
3
3
2
2
p
q
q
p
q
p
q
q
q
a
E
q
q
a





 
}
12
27
378
3
2
p
q
q



,
 
}
14
]
44
488
)
(
132
92
44
[
{
2
)
8
(
4
4
2
3
4
3
3
4
2
2
3
2
2
3
3
2
3
4
2
3
2
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
a
E
q
q
q
a


















 

52
 
 
}
5
700
)
(
50
)]
(
44
)
(
92
)
0
(
132
488
(
15
{
)
8
(
5
0
4
0
3
3
0
3
3
2
0
2
3
3
2
4
3
4
3
3
4
2
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q
q
q
a
E
q
q
a



















 
На  рисунке  1  и  2  представлены  кривые  зависимостей  перемешений  сосредоточенных  масс 
a
q /
2
  и
a
q /
4
  от 
безразмерного  времени 
a
ct /


  (

/
E
c 
  -  скорость  распространения  волны  в  звеньях  колонны)  для  
геометрической  линейного 
0
(
3

a
)  и  нелинейного 
4
.
0
(
3


a
)  деформирования  .  Нижний  конец  колонны  
(долото)  совершает  движение  по  закону 
2
/
2
0
0
0
t
j
t
v
u


  (
0
v
  и 
0
j
  начальная  скорость  и  ускорения 
торможения  долота).  В  расчетах  принято: 
c
м
v
/
2
0

,
2
0
/
1
c
м
j 
, 
c
м
c
/
4000

, 
1

p
.  Из  анализа 
полученных  кривых  следует,  что  учет  геометрической  нелинейности  приводит  к  увеличению  перемещений 
сосредоточенных масс, эта закономерность более заметна для перемещения  конца колонны, близкого к долоту.   
 
Рис.1.  Кривые  зависимостей  перемешений  сосредоточенных  масс   
a
q /
2
и 
a
q /
4
  от  безразмерного  времени 

tau
a
ct /


 при 
0
3

a
 
 
Рис.2.  Кривые  зависимостей  перемешений  сосредоточенных  масс   
a
q /
2
и 
a
q /
4
  от  безразмерного  времени 

tau
a
ct /


 при 
4
.
0
3


a
 
 
Список литературы 
1.  Мардонов  Б.М.,  Марданова  Л.О.  О  вынужденных  колебаниях  звеньев  бурильной  динамической  системы.  // 
Поиск-Iзденiс. Серия естественно-технических наук, Алматы, 2001, №1, с. 217-220. 
2.  Каудерер Г.К. Нелинейная механика. М. Изд. иностранной литературы, 1961, 777 с. 
 
 
УДК 531.01 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СМЕСИ  С ВЕСОМЫМИ ЧАСТИЦАМИ  
В СТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ 
 
Б.М.Мардонов, А.И.Каримов, А.У.Саримсаков 
 
Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности, Ташкент 
 
Решение многих практических задач движения   смеси  требует использования более  сложной модели 
сплошных сред, в частности, двухкомпонентных,  где рассматриваются вопросы   взаимопроникающего движения 
твердой  и  жидкой  фаз.  В  работах    [1-2]  разработаны  методы      математического  моделирования  процессов  в 

53
 
 
сплошной    среде,  состоящей  из  двух  компонентов:  один  идеально  упругий,  а  другой  –  вязкая  сжимаемая 
жидкость,  уравнение  которой    вводились  из  общих  принципов  термодинамики  необратимых  процессов.  Модель 
многокомпонентной  среды    среды,  содержащей    крупные  частицы,  предложена  академиком  Х.А.Рахматулиным 
[1],  где  рассматривается  обобщенная  теория  фильтрации  с  учетом  движения  твердых  частиц.  В  данной  статье 
изучается  двумерное  стационарное  движения  в  слое  смеси,  состоящей  из  несжимаемой  жидкости  и  весомых 
твердых  частиц.  Установим  начало  координат  в  начальном  сечении  слоя,  где  действует  поток  жидкости  со 
скоростью 
10
u
,   направим ось 
x
0
 вдоль свободной  поверхности слоя  по направлению действия потока, ось 
y
0
  перпендикулярной  к    ней.    Уравнение  стационарного  движения  частиц  жидкости  и  твердых  частиц  в 
произвольном сечении  слоя  записываем в виде [1] 
)
(
)
(
1
2
0
1
1
1
1
1
1
1
u
u
k
x
p
y
u
v
x
u
u














,                                                                   (1) 
)
(
)
(
1
2
0
1
1
1
1
1
1
1
v
v
k
y
p
y
v
v
x
v
u














g
1


,                                                           (2) 
)
(
)
(
2
1
0
2
2
2
2
2
2
2
u
u
k
x
p
y
u
v
x
u
u














,                                                                 (3) 
)
(
)
(
2
1
0
2
2
2
2
2
2
2
v
v
k
y
p
y
v
v
x
v
u














g
2


.                                                        (4) 
где 
i

-  приведенные  плотности, 
i
u
,
i
v
-  компоненты  вектора  скорости      каждой  компоненты  (
2
,
1

i
), 
p
- 
общее для двух компонентов давление, 
k
- коэффициент взаимодействия.  
Равенства    (1)-(4)  дополняются  уравнениями  гетерогенной  смеси,  связывающего  приведенные  плотности 
i

  с 
истинными плотностями 
0
i

 
1
0
2
2
0
1
1






,                                                                                                                  (5) 
а также условиями несжимаемости фаз 
10
10
1
1
u
u



, 
20
20
2
2
u
u



                                                                                        (6) 
В  дальнейшем  полагаем  движение  по  направлению  действующего  потока  основным,  и  считаем 
)
(x
i
i

 
,
)
(x
u
u
i
i

, 
)
(x
v
v
i
i

, 
)
( x
p
p 
. Тогда полагая 
0



y
u
i
,
0



y
v
i
, 
0



y
p
, уравнения (1)-(4) приводим у 
виду 
)
(
1
2
0
1
1
1
1
1
u
u
k
x
p
x
u
u











,                                                                                   (7) 
)
(
2
1
0
2
2
2
2
2
u
u
k
x
p
x
u
u











,                                                                                   (8) 
)
(
1
2
1
1
1
v
v
k
x
v
u





g
1


, 
)
(
2
1
2
2
2
v
v
k
x
v
u





g
2


.                                             (9) 
Из  анализа  системы  (7)-(9)  следует,  что  решения  уравнений  (9),  удовлетворяющие  условиям 
0
1

v
, 
0
2

v
    
при 
0

x
,       находятся после интегрирования системы (7) и (8) при граничных условий 
10
1
u
u 
, 
20
2
u
u 
  при 
0

x
                                                                                             (10) 
Из соотношений (5) и (6) установим связь  между скоростями 
)
(
1
x
u
и 
)
(
2
x
u
 
10
1
1
20
2
)
1
(
u
u
u
u
u





                                                                                                                  (12) 
Пользуясь (12) и (8) исключаем из (7) функцию 
)
(
2
x
u
: 
]
)
(
)
1
(
)[
1
(
)
)
1
(
)[
(
2
1
2
0
1
1
2
1
10
10
1




















u
u
u
u
u
k
dx
u
d
                                                                       (13)  

54
 
 
где 
10
1
1
/ u
u
u 
,
10
20
/ u
u


, 
0
1
10
/


 
, 
0
1
0
2
0
/


 
 
 Интегрирую (13) условием   
10
u
u 
при 
0

x
, получаем 
)[
1
(




]
)
1
)(
1
(
)
1
(
ln
1
ln
1
1
)
(
)
(
ln
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1































u
d
c
b
u
b
c
u
b
c
u
d
d
 
где 
k
u
x
10
10

 
,


c
bc
b
d
2
2
1



, 
2
2
2
)
(




b
d
, 
)
1
(




b
, 



b
c
0

 
Решение уравнений (9) определяются в квадратурах 














0
2
1
1
2
10
1
1
)
(
)
(
dz
e
z
F
z
u
e
u
v
v
z
, 
)
(
)
(
1
10
2
2


v
F
u
v
v



 
где 












0
2
2
1
1
)
(
)
(
dz
z
u
z
u
F
,
10
10
1
/ ku
g

 
, 
10
20
2
/ ku
g


 
 
На  рисунке  1  представлены  кривые  зависимости  компонентов  векторов  скоростей  (отнесенных  на 
10
u
)  
воздушного  потока   (рисунок  1а)  и твердых  частиц (рисунок 1б) от  приведенного расстояния 
10
10
/
u
xk

 
, 
где  принято: 
3
0
1
/
2
.
1
м
кг


, 
3
10
/
8
.
0
м
кг


, 
3
0
2
/
100
м
кг


, 
3
20
/
30
м
кг


,   
с
м
u
/
30
10

, 
с
м
u
/
5
20

, 
с
м
кг
k


3
/
100
. 
           а)                                                   
 
          б) 
 
Рис.1.  Изменение  компонентов скорости   воздуха   (
10
1
/ u
u
, 
10
1
/ u
v
)  (а)  и твердых  частиц 
10
2
/ u
u
, 
10
2
/ u
v
) 
(б) от приведенного расстояния 
10
10
/
u
xk

 
 
         Анализ  этих    кривых  показывает,  что  после  подачи    по  мере  движения  потока    по  направлению  его 
действия  скорости воздуха и частиц твердого компонента соответственно уменьшаются и увеличиваются и далее 
с ростом этого расстояния их скорости выравниваются. Компоненты скоростей 
)
(
1
x
v
 и
)
(
2
x
v
 по направлению 

55
 
 
действия  потока  сначала  интенсивно  растут  и  далее  с  ростом  расстояния  под  действием  силы  тяжести 
увеличиваются  по линейному закону.       
На  рис.2  приведены  кривые  зависимости  массового  содержания  твердых  частиц 
1
10
/
1
u
u
m



  от 
приведенного  расстояния 

  для  двух  значений  скорости  подачи  твердых  частиц  в  зону  транспортировки.  В 
рассматриваемом  примере  в  сечении  подачи  имеем 
35
.
0

m
.  Далее  с  ростом  расстояния 

  параметр
m
уменьшается и достигает предельное значение 
08
.
0

m
 при 
с
м
u
/
5
20

 и 
15
.
0

m
 при 
с
м
u
/
10
20

. 
Указанная  закономерность  указывает  на  интенсивное  разрыхление    состава  смеси  за  счет  уменьшения  в  ней 
массового содержания твердых компонентов.  
c
м
u
/
5
20

c
м
u
/
10
20

 
 
     Рис.2.Изменение  массового  содержания  твердых  частиц 
1
10
/
1
u
u
m



  от  приведенного  расстояния  
10
10
/
u
xk

 
 для двух значений скорости  подачи твердых частиц 
20
u
  в зону транспортирования.                                                        
 

жүктеу/скачать 12,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: