Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических наук в современном образовательном пространстве»



Pdf көрінісі
бет8/56
Дата06.03.2017
өлшемі12,19 Mb.
#8065
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   56

Әдебиеттер тізімі 
1.  Г.Д. Глейзер.  Каким быть школьному курсу геометрии «Математика в школе»     1991 г № 4 
2.  В.Г. Выгодский  Справочник по элементарной математике» 
3.  А.В.Погорелов.    Геометрия  7-11 
4.  Математика в школе   1979   
 
 
УДК 622.248 
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ   
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ БУРИЛЬНЫХ КОЛОНН 
 
Б.М.Мардонов, Л.О.Марданова, А.С.Каримова 
 
Атырауский институт нефти и газа 
 
Нестационарные  колебания  геометрически  нелинейных    распределенных  систем  является  весьма 
сложной проблемой механики деформируемого твердого тела и теории колебаний. В связи с бурным развитием 
добывающих  отраслей  промышленности  решение  этой  проблемы  приобретает  особое  значение.  Это  связано  с 
обеспечением  устойчивости    конструкции  бурильных  колонн  в  целом  при  возрастающей  мощности  и  скорости 
бурильных агрегатов и механизмов. Изучение проблемы выявило ряд малоизученных задач, к которым относятся 
вопросы  учета  как  физически,  так  и  геометрически  нелинейных  задач,  сопровождаемых  различными  видами 
осложнений    (потери  устойчивости  колонн,    разрывы  труб  и  др.),  волновые  и  колебательные  процессы  в 
элементах  бурильной  динамической  системы  (БДС),    нахождение  критических  значений  осевых    нагрузок  с  
использованием  малозатратных  методик.  Наиболее  ответственной  частью  в  процессе  бурения,  передающим 
звеном от буровой установки до породоразрушающего инструмента является колонна буровых труб.  
Вследствие  большой  длины  бурильной  колонны  по  сравнению  с  поперечными  размерами,  ее  часто 
моделируют длинным однородным тонким стержнем, что является достаточно грубым приближением, поскольку 
составляющие бурильной колонны трубы соединены замками, снабжены центраторами и другими устройствами, 
значительно  изменяющими  динамику  колонны.  Поэтому  теоретически  колонна  должна  рассматриваться  как 
нелинейная  механическая  система  с  бесконечным  числом  степеней  свободы.  Но,  здесь  возникает  сложность, 
связанная  с  невозможностью  аналитического  исследования  динамики  работы такой  системы    а, следовательно, 
выявления  ее  прочности,  устойчивости,  отрицательного  или,  напротив,  положительного  влияния  колебаний  и 
вибраций  при  динамических  нагрузках  в  процессе  бурения.    Аналитические  исследования  бурильной 
динамической системы  выполнены в работах [1]. Определение динамических характеристик бурильной колонны, 
не  допущение    отрицательного  влияния  колебаний  и  их  результирующих  -  биений  при  динамических 
воздействиях  также  представляет  сложную  проблему  для  неоднородной,  составной  конструкции  колонны.  В 
процессе эксплуатации  бурильная колонна испытывает  различные по характеру  и величине нагрузки, которые 
приводят  к  сложному  деформированному  состоянию  труб  колонны.  При  этом  в  бурильной  колонне  могут 
возникать большие  осевые и изгибные  деформации. В связи с  этим   изучим продольные колебания колонны с 
учетом  геометрически  нелинейности      в  процессе  ее  деформирования.  Колонну    представим  в  виде  длинного 
стержня,  совершающего  продольные    колебания.  Установим  начало  координат  в  верхнем  сечении  колонны  и 
направим  ось 
Ox
вертикально  вниз.  Потенциальную  и  кинетическую  энергии  геометрически  нелинейного 
стержня представим в виде [2]  













l
dx
x
u
a
x
u
EF
U
0
2
3
2
)
(
1
(
)
(
2
,   





















l
N
i
i
i
t
l
t
u
m
dx
t
u
F
T
0
1
2
2
)
,
(

          (1)                       
)
,
t
x
u
- продольное смещение стержня, 

,
E
 – модуль Юнга и плотность материала стержня, 
F
и 
l
- площадь 
и    длина  стержня, 
G
G
K
K
a
2
3
3
3
9
2





K

G
-  модули  объемного  сжатия  и  сдвига,   
2

-  коэффициент, 

51
 
 
характеризующий геометрическую нелинейность деформирования, определяемый экспериментально, 
i
m
- масса 
замкового соединения (муфты), расположенного в сечении 
i
l

. Рассмотрим следующую краевую задачу 
EF
P
x
u
0




при 
0

x
,
)
(
0
t
u

   при  
l

 
 где   
E
  -модуль  Юнга, 
0
P
-  действующая  на  колонну  постоянная    сжимающая  осевая  сила, 
l
-  общая  длина 
колонны. 
           Для  решения  краевой  задачи    используем  метод  конечных  элементов.  С  этой  целью  всю  длину  штанги 
разделяем  на 
n
  конечные    элементы  (
1

n
  узлами)      одинаковой    длины 
a
.  Считаем,    что  длины  участков 
элементов отнесены  к  величине 
a
.      Сосредоточенные  массы  распложены  в  узловых  точках,  причем в  первом 
узле  отсутствует  масса,  а    самая  нижняя    масса  (долото)    совершает  движение  по  заданному  закону 
)
(
0
t
u

Обозначим  через 
)
(t
q
i
  (
1
,
2


n
i

)
(
(
0
1
t
u
q
n


)    перемещения  сосредоточенных  масс,  перемещения 
сечений колонны (отнесенные к величине 
a
) в пределах каждого элемента представим в виде 
p
N
q
p
u
)
(
3
/
)
)(
4
1
(
2
2
2
2
,
1







3
2
2
1
3
,
2
)
(
)
(
q
N
q
N
u




,
4
2
3
1
4
,
3
)
(
)
(
q
N
q
N
u




---- 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
1
2
1
1
,
)
(
)
(




i
i
i
i
q
N
q
N
u


----------------- 
0
2
1
1
,
)
(
u
N
q
N
u
n
n
n




  (2)                                                              
где
a
/


,
2
1
2
3
1

 


N
,

 

2
2
2
N

EF
a
P
p
/
0


1
..
2


n
i
 
Поставляем 
)
,
(
,
t
u
j
i

  из  (2)  в  формулах  (1),  тогда  получаем  выражения  для  кинетической  и  потенциальной 
энергий: 




1
2
2
n
i
i
U
EFa
U





1
2
3
2
n
i
i
T
a
F
T

                                                                                               (3) 
где 
2
2
2
2
4
2
3
2
2
2
3
2
4
2
3
2
27
14
27
8
27
7
)
405
61
405
112
135
128
405
512
405
4096
(
q
pq
p
p
q
p
q
p
pq
q
a
U










3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
4
3
4
2
3
3
3
2
)
(
3
7
]
5
46
)
(
5
44
)
(
5
61
[
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
a
U










4
3
2
4
2
3
2
4
2
3
2
4
2
3
4
3
4
4
4
3
3
4
3
2
)
(
3
7
]
5
46
)
(
5
44
)
(
5
61
[
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
a
U










-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
a
U
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
4
4
1
3
3
2
)
(
3
7
]
5
46
)
(
5
44
)
(
5
61
[















1
..
3


n
i

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
4
0
4
3
1
3
2
)
(
3
7
]
5
46
)
(
5
44
)
(
5
61
[
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q
a
U
n
n
n
n
n
n
n











2
2
2
30
23
q
T



)
2
2
(
15
1
3
2
2
3
2
2
3
q
q
q
q
T







,
)
2
2
(
15
1
4
3
2
4
2
3
4
q
q
q
q
T







---------------- 
-----------
)
2
2
(
15
1
1
2
2
1
i
i
i
i
i
q
q
q
q
T









-------------------------
)
2
2
(
15
1
0
2
0
2
1
u
q
u
q
T
n
n
n








 
Принимая переменные 
i
q
 (
n
i
..
2

) за обобщенные координаты, составим уравнение Лагранжа II- рода 
i
i
i
q
U
q
T
q
T
dt
d
















 
             После  постановки  выражений  кинетической  и  потенциальной  энергий  из  (3),  получаем  систему 
нелинейных  дифференциальных  уравнений  для  определения  координат  перемещений  присоединенных  масс.  В 
частности, в случае 
3

n
, получаем 









)]
28
891
(
)
23
621
(
)
128
837
(
9037
[
2
{
)
27
(
27
3
3
3
2
3
2
2
3
2
2
3
1
3
3
2
2
p
q
q
p
q
p
q
q
q
a
E
q
q
a





 
}
12
27
378
3
2
p
q
q



,
 
}
14
]
44
488
)
(
132
92
44
[
{
2
)
8
(
4
4
2
3
4
3
3
4
2
2
3
2
2
3
3
2
3
4
2
3
2
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
a
E
q
q
q
a


















 

52
 
 
}
5
700
)
(
50
)]
(
44
)
(
92
)
0
(
132
488
(
15
{
)
8
(
5
0
4
0
3
3
0
3
3
2
0
2
3
3
2
4
3
4
3
3
4
2
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q
q
q
a
E
q
q
a



















 
На  рисунке  1  и  2  представлены  кривые  зависимостей  перемешений  сосредоточенных  масс 
a
/
2
  и
a
/
4
  от 
безразмерного  времени 
a
ct /


  (

/
E

  -  скорость  распространения  волны  в  звеньях  колонны)  для  
геометрической  линейного 
0
(
3

a
)  и  нелинейного 
4
.
0
(
3


a
)  деформирования  .  Нижний  конец  колонны  
(долото)  совершает  движение  по  закону 
2
/
2
0
0
0
t
j
t
v
u


  (
0
v
  и 
0
j
  начальная  скорость  и  ускорения 
торможения  долота).  В  расчетах  принято
c
м
v
/
2
0

,
2
0
/
1
c
м


c
м
c
/
4000


1

p
.  Из  анализа 
полученных  кривых  следует,  что  учет  геометрической  нелинейности  приводит  к  увеличению  перемещений 
сосредоточенных масс, эта закономерность более заметна для перемещения  конца колонны, близкого к долоту.   
 
Рис.1.  Кривые  зависимостей  перемешений  сосредоточенных  масс   
a
/
2
и 
a
/
4
  от  безразмерного  времени 

tau
a
ct /


 при 
0
3

a
 
 
Рис.2.  Кривые  зависимостей  перемешений  сосредоточенных  масс   
a
/
2
и 
a
/
4
  от  безразмерного  времени 

tau
a
ct /


 при 
4
.
0
3


a
 
 
Список литературы 
1.  Мардонов  Б.М.,  Марданова  Л.О.  О  вынужденных  колебаниях  звеньев  бурильной  динамической  системы.  // 
Поиск-Iзденiс. Серия естественно-технических наук, Алматы, 2001, №1, с. 217-220. 
2.  Каудерер Г.К. Нелинейная механика. М. Изд. иностранной литературы, 1961, 777 с. 
 
 
УДК 531.01 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СМЕСИ  С ВЕСОМЫМИ ЧАСТИЦАМИ  
В СТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ 
 
Б.М.Мардонов, А.И.Каримов, А.У.Саримсаков 
 
Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности, Ташкент 
 
Решение многих практических задач движения   смеси  требует использования более  сложной модели 
сплошных сред, в частности, двухкомпонентных,  где рассматриваются вопросы   взаимопроникающего движения 
твердой  и  жидкой  фаз.  В  работах    [1-2]  разработаны  методы      математического  моделирования  процессов  в 

53
 
 
сплошной    среде,  состоящей  из  двух  компонентов:  один  идеально  упругий,  а  другой  –  вязкая  сжимаемая 
жидкость,  уравнение  которой    вводились  из  общих  принципов  термодинамики  необратимых  процессов.  Модель 
многокомпонентной  среды    среды,  содержащей    крупные  частицы,  предложена  академиком  Х.А.Рахматулиным 
[1],  где  рассматривается  обобщенная  теория  фильтрации  с  учетом  движения  твердых  частиц.  В  данной  статье 
изучается  двумерное  стационарное  движения  в  слое  смеси,  состоящей  из  несжимаемой  жидкости  и  весомых 
твердых  частиц.  Установим  начало  координат  в  начальном  сечении  слоя,  где  действует  поток  жидкости  со 
скоростью 
10
u
,   направим ось 
x
0
 вдоль свободной  поверхности слоя  по направлению действия потока, ось 
y
0
  перпендикулярной  к    ней.    Уравнение  стационарного  движения  частиц  жидкости  и  твердых  частиц  в 
произвольном сечении  слоя  записываем в виде [1] 
)
(
)
(
1
2
0
1
1
1
1
1
1
1
u
u
k
x
p
y
u
v
x
u
u














,                                                                   (1) 
)
(
)
(
1
2
0
1
1
1
1
1
1
1
v
v
k
y
p
y
v
v
x
v
u














g
1


,                                                           (2) 
)
(
)
(
2
1
0
2
2
2
2
2
2
2
u
u
k
x
p
y
u
v
x
u
u














,                                                                 (3) 
)
(
)
(
2
1
0
2
2
2
2
2
2
2
v
v
k
y
p
y
v
v
x
v
u














g
2


.                                                        (4) 
где 
i

-  приведенные  плотности, 
i
u
,
i
v
-  компоненты  вектора  скорости      каждой  компоненты  (
2
,
1

i
), 
p

общее для двух компонентов давление, 
k
- коэффициент взаимодействия.  
Равенства    (1)-(4)  дополняются  уравнениями  гетерогенной  смеси,  связывающего  приведенные  плотности 
i

  с 
истинными плотностями 
0
i

 
1
0
2
2
0
1
1






,                                                                                                                  (5) 
а также условиями несжимаемости фаз 
10
10
1
1
u
u




20
20
2
2
u
u



                                                                                        (6) 
В  дальнейшем  полагаем  движение  по  направлению  действующего  потока  основным,  и  считаем 
)
(x
i
i

 
,
)
(x
u
u
i
i


)
(x
v
v
i
i


)
x
p

. Тогда полагая 
0



y
u
i
,
0



y
v
i

0



y
p
, уравнения (1)-(4) приводим у 
виду 
)
(
1
2
0
1
1
1
1
1
u
u
k
x
p
x
u
u











,                                                                                   (7) 
)
(
2
1
0
2
2
2
2
2
u
u
k
x
p
x
u
u











,                                                                                   (8) 
)
(
1
2
1
1
1
v
v
k
x
v
u





g
1



)
(
2
1
2
2
2
v
v
k
x
v
u





g
2


.                                             (9) 
Из  анализа  системы  (7)-(9)  следует,  что  решения  уравнений  (9),  удовлетворяющие  условиям 
0
1

v

0
2

v
    
при 
0

x
,       находятся после интегрирования системы (7) и (8) при граничных условий 
10
1
u


20
2
u

  при 
0

x
                                                                                             (10) 
Из соотношений (5) и (6) установим связь  между скоростями 
)
(
1
x
u
и 
)
(
2
x
u
 
10
1
1
20
2
)
1
(
u
u
u
u
u





                                                                                                                  (12) 
Пользуясь (12) и (8) исключаем из (7) функцию 
)
(
2
x
u

]
)
(
)
1
(
)[
1
(
)
)
1
(
)[
(
2
1
2
0
1
1
2
1
10
10
1




















u
u
u
u
u
k
dx
u
d
                                                                       (13)  

54
 
 
где 
10
1
1
u
u

,
10
20
u
u



0
1
10
/


 

0
1
0
2
0
/


 
 
 Интегрирую (13) условием   
10
u

при 
0

x
, получаем 
)[
1
(




]
)
1
)(
1
(
)
1
(
ln
1
ln
1
1
)
(
)
(
ln
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1































u
d
c
b
u
b
c
u
b
c
u
d
d
 
где 
k
u
x
10
10

 
,


c
bc
b
d
2
2
1




2
2
2
)
(




b
d

)
1
(




b




b
c
0

 
Решение уравнений (9) определяются в квадратурах 














0
2
1
1
2
10
1
1
)
(
)
(
dz
e
z
F
z
u
e
u
v
v
z

)
(
)
(
1
10
2
2


v
F
u
v
v



 
где 












0
2
2
1
1
)
(
)
(
dz
z
u
z
u
F
,
10
10
1
ku
g

 

10
20
2
ku
g


 
 
На  рисунке  1  представлены  кривые  зависимости  компонентов  векторов  скоростей  (отнесенных  на 
10
u
)  
воздушного  потока   (рисунок  1а)  и твердых  частиц (рисунок 1б) от  приведенного расстояния 
10
10
/
u
xk

 

где  принято: 
3
0
1
/
2
.
1
м
кг



3
10
/
8
.
0
м
кг



3
0
2
/
100
м
кг



3
20
/
30
м
кг


,   
с
м
u
/
30
10


с
м
u
/
5
20


с
м
кг
k


3
/
100

           а)                                                   
 
          б) 
 
Рис.1.  Изменение  компонентов скорости   воздуха   (
10
1
u
u

10
1
u
v
)  (а)  и твердых  частиц 
10
2
u
u

10
2
u
v

(б) от приведенного расстояния 
10
10
/
u
xk

 
 
         Анализ  этих    кривых  показывает,  что  после  подачи    по  мере  движения  потока    по  направлению  его 
действия  скорости воздуха и частиц твердого компонента соответственно уменьшаются и увеличиваются и далее 
с ростом этого расстояния их скорости выравниваются. Компоненты скоростей 
)
(
1
x
v
 и
)
(
2
x
v
 по направлению 

55
 
 
действия  потока  сначала  интенсивно  растут  и  далее  с  ростом  расстояния  под  действием  силы  тяжести 
увеличиваются  по линейному закону.       
На  рис.2  приведены  кривые  зависимости  массового  содержания  твердых  частиц 
1
10
/
1
u
u
m



  от 
приведенного  расстояния 

  для  двух  значений  скорости  подачи  твердых  частиц  в  зону  транспортировки.  В 
рассматриваемом  примере  в  сечении  подачи  имеем 
35
.
0

m
.  Далее  с  ростом  расстояния 

  параметр
m
уменьшается и достигает предельное значение 
08
.
0

m
 при 
с
м
u
/
5
20

 и 
15
.
0

m
 при 
с
м
u
/
10
20


Указанная  закономерность  указывает  на  интенсивное  разрыхление    состава  смеси  за  счет  уменьшения  в  ней 
массового содержания твердых компонентов.  
c
м
u
/
5
20

c
м
u
/
10
20

 
 
     Рис.2.Изменение  массового  содержания  твердых  частиц 
1
10
/
1
u
u
m



  от  приведенного  расстояния  
10
10
/
u
xk

 
 для двух значений скорости  подачи твердых частиц 
20
u
  в зону транспортирования.                                                        
 

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   56




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет