Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических наук в современном образовательном пространстве»

89
 
 
Төмендегі бірнеше мысал арқылы стандартты емес есептерді шығарудың жолдарын қарастырайық: 
1)  Егер 
125
= m , 25
= m  болса, онда  =? (немесе ізделіндіні өздеріңіздің қалауларыңыз бойынша 
a ∙ b
=?, b ∙ a
=?, 
=? өзгертуге болады. Ал, ізделіндіге байланысты есептің жауаптары өзгеретіні белгілі). 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
Шешуі: 
125
= m , 25
= m , 5
= m, 5
= mболады. 
5
= 5 , 2a = 3bшығады. 
Демек, 
=  шешімі болады. 
2) 
Егер 
x = 2001 болса, онда 
=? 
a) 
(2001
)  
b) 
2002 − 2001 
c) 
2001 − 2002 
d) 
2  
e) 
2  
Бұл есепті ойлау қабілеті жоғары оқушы бірден есептейді де, ойлау қабілеті төмен оқушылар х пен у – тің 
мәндерін қойып, микрокалькулятормен есептейміз деп, уақытын өткізіп отыра беретіні рас. 
Шешуі: 
= −
= −1 яғни, жауабы: С. 
Оқушылардың  ойлау  қабілетін  дамыту  бізге  байланысты  екені  рас,  ақиқат.  Демек,  мұғалімдерге  ең 
қажетті  нәрсе  белгілі  тақырыпты өткенде,  тек  жаңа оқулықпен  шектеліп  қана  қоймай,  сол  тақырып  төңірегінде 
кеңейтіп беру керек. 
Математиканы жақсы меңгерген мұғалімге қысқарған алгоритмді ойша-ақ жіктеп ашу ешқандай қиындық 
келтірмейді.  Бірақ  оқушы  (әсіресе  әлсіз,  керекті  деңгейде  оқытылмаған)  қысқартылған  алгоритмді  қадамдар 
жіктелген бағдарламаға ойша ашу қиын.  
Қысқартылған алгоритмдер математика курсында әртүрлі берілуі мүмкін: ауызша ережелер, формулалар, 
теоремалар  және  т.б.  Осындай  әрбір  қысқартылған  алгоритмді  оқушыларды  қадамдап  жіктелген  бағдарламаға, 
алдымен әрине әр қадамның тұжырымына, содан соң осы әрекетті меңгергені бойынша ойша ашу керек. 
Қысқартылған  алгоритмдерді  қадамдап  жіктеу  бағдарламасын  қалай  ашуға  болатынын  көрсететінін 
мысал келтірейік:  
1) 
Ауызша  ереже.  Осындай  ереженің  мысалы  ретінде  туынды  дәрежесіне  көтеру  ережесі  бола  алады: 
туындының дәрежелерінің қосындысына тең. 
Осы ереже негізінде осындай алынған алгоритмді құруға болады. 
1 қадам – туындының барлық көбейткіштерін анықтау. 
2 қадам – әр көбейткіштің берілген дәрежесін табу. 
3 қадам – 2-ші қадам нәтижесін көбейту. 
2) 
Формула.  Мектепте  төменде  көрсетілген  түрде  берілетін  квадрат  теңдеу  түбірінің  формуласы  осындай 
формуланың мысалы бола алады. 
ax + bx + c = 0 теңдеуінің түбірлерін (егер a ≠ 0 және D ≥ 0, мұндағы D = b − 4ac)  
x =
∓√
 формуласы арқылы табуға болады. 
Бұл формуланы (қарастырылған алгоритм) осындай қадамдап жіктеу бағдарламасына ашу керек: 
1 қадам –  
a ≠ 0 шартын тексереміз. Егер ол орындалса, онда келесі қадамға көшеміз, егер ол орындалмаса, онда 
берілген теңдеу квадратты емес және берілген формула қолданылмайды.  
2 қадам – 
D = b − 4ac 
3 қадам –
 D ≥ 0 шартын тексереміз, егер ол орындалса, онда келесі қадамға көшеміз, егер ол орындалмаса, онда 
берілген теңдеу квадратты емес және берілген формула қолданылмайды. 
4 қадам – түбір мәнін  
x =
∓√
 формуласы арқылы табамыз. 
2 және 4 – қадамдар күрделі және оларды қарапайым қадамдарға бөлуге болатынын байқаймыз.  
3) 
Тепе-теңдік. Мысал ретінде (
a + b) = a + 2ab + b  теңдігін алайық. 
1 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін табу 
(a). 
2 қадам – екі мүшеліктің екінші мүшесін табу 
(b). 
3 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін квадратқа шығару (
a ) 
4 қадам – екі мүшеліктің екінші мүшесін квадратқа шығару (
b ) 
5 қадам – екі мүшеліктің бірінші, екінші мүшелерінің туындысын табу (
ab) 
6 қадам – бесінші қадамның нәтижесін екі еселеу (
2ab) 
7 қадам – үшінші, төртінші және алтыншы қадам нәтижелерігн қосу. 

90
 
 
Оқушыларға екі мүшеліктің айырмасы үшін тепе-теңдік беру қажет емес екенін байқаңыз. Бірелген тепе-
теңдік екі мүшеліктің кез келген белгілері үшін қолданылады.  
Мысал келтірейік:  
(2mn − 3m n) = (2mn ) + 2(2mn )(−3m n) + (−3m n) = 
 
= 4m n − 12m n + 9m n  
 
Әдебиеттер тізімі 
1.  Қарабаев А.Қ. Оқушылардың ой-өрісін дамытуға ықпал жасайтын стандартты емес кейбір есептер. Жезқазған, 
1998, 61 б. 
2.  Қарабаев  А.Қ.  Жоғары сынып  оқушыларын  есептерді стандартты  емес тәсілдермен шығаруға балау. Алматы, 
1999, 143 б. 
 
 
ӘОЖ 517.91 
КВАТЕРНИОНДЫҚ ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ 
ТЕҢДЕУІНІҢ ШЕШІМІНІҢ ҚҰРЫЛЫМЫ 
 
Каракенова С.Г., Тайшиева А.Ғ. 
 
Х.Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті, Атырау, Қазақстан 
 
Кватерниондық  айнымалылы  диференциалдық  теңдеулерді  алғаш  рет  кватерниондар  теориясының 
құрушы В.Р.Гамильтон қарастырған болатын. Кватерниондық дифференциалдық теңдеулер кеңістік ориентациясы 
есебін  шешуде  ыңғайлы  құрал  болып  табылады.  [3]  еңбекте  ассоциативті,  бірақ  коммутативті  емес 
алгебралардағы  гиперкомплексті  бірінші  ретті  дифференциалдық  теңдеулерді  шешудің  әдістері  қарастырылған. 
Қазіргі  кездегі  гиперкомплексті  дифференциалдық  теңдеулерді  шешуге    аса  зор  мән  беріліп  отырылғандықтан, 
бұл мәселенің өзекті екендігін байқатады.  
 
Баяндамада ассоциативті, бірақ коммутативті емес гиперкомплекс сандардың негізгі мысал болып 
табылатын  кватерниондар  алгебрасында  екінші  ретті  сызықтық  дифференциалдық  теңдеудің  шешімдерінің 
құрылымы зерттеледі.  
 
Кватерниондар  алгебрасы және оның геометриялық қолданулары [1] әдебиетте, ал жалпы түрі 
кватерниондарға ұқсас бірақ көбейту операциясы коммутативті болатын сандар жүйесі және оның математикалық 
талдауы [2] әдебиетте көрсетілген.  
 
Кватерниондық  айнымалының  тұрақты  коэффициентті  бірінші  ретті  біртекті  емес  сызықты 
дифференциалдық теңдеу деп  
 
t
f
рх
х



  
 
 
 
(1) 
түріндегі  теңдеуді  айтамыз,  мұндағы   
р
  –  кватернион,  ал 
f(t
)  –  кватерниондық  функция.  Бұл  теңдеудің 
жалпы шешімі біртекті  
0



рх
х
 
 
 
 
     (2) 
теңдеуінің  жалпы  шешімі  мен  (1)  теңдеудің  қандайма  бір  дербес  шешуінің  қосындысы  болатындығын 
көрсетелік.  (1)  теңдеудің  дербес  шешімі 
 
t
и
,  ал  (2)  теңдеудің  кез  келген  шешімі 
 
t
v
  болсын.  Сонда 
)
(t
f
pu
u



  және 
0



pv
v
теңдіктерін  қосып, 
 
 
t
v
t
и

  функциясы  үшін 
 
t
f
pv
pu
v
и






 
теңдігінің  орындалатындығын  аламыз.  Бұл 
 
 
t
v
t
и

  қосындысының  біртекті  емес  теңдеудің  шешімі 
болатындығын көрсетеді. Біртекті емес сызықты (1) теңдеудің оң жағы кватерниондық айнымалының функциясы, 
яғни мына түрде болады немесе осындай түрге келтіріледі: 



n
i
i
e
t
i
f
t
f
1
)
(
)
(
,   
 
 
     (3) 
Кватерниондық  функцияның  компоненттері  тәуелсіз  айнымалының  көпмүшелігі  болған  жағдайда  (1) 
теңдеу 
n
  нақты  айнымалының  теңдеулер  жүйесін  шешуге  келтіріледі.  Бұл  дифференциалдық  теңдеулер 
теориясының қалыптасқан әдістерімен жүзеге асырылады.  
Кватерниондық 
3
2
1
0
kx
jx
ix
x
х




айнымалысының екінші ретті сызықтық дифференциалдық 
0





qx
х
р
х
   (4)
 
теңдеуін  қарастыралық,  мұндағы 
 
t
х
  –  мәндері  кватерниондар  болатын 
t  –
  материалды  айнымалыға 
байланысты белгілі функция; 
p, q
 – берілген тұрақты кватерниондар. 
 
(4)  теңдеудің  шешімін  табу  үшін  Эйлердің  классикалық    әдісін  қолданып,  дербес  шешімдерді 
 
t
e
t
х


 түрінде іздейміз [1]. Мұнда ізделініп отырылған шешім  

91
 
 
 
...
!
1
...
1





n
t
t
n
t
e



 
қатарымен анықталады және оның қарапайым қасиеттері экспонентаның қасиеттерімен  бірдей болады:  
.
,
,
0
2
2
2
t
t
t
t
t
e
dt
e
d
e
dt
de
e










 
 
t
e
t
х


функциясын  (4)  теңдеуге  қойғанда  кватерниондық  айнымалының  сипаттамалық  теңдеуі 
шығады:   
0
2



q
р


(5)
 
1 – ұйғарым
. (5) теңдеудің шешімі бар және әртүрлі шешімдер саны екеуден аспайды. 
Мұны  дәлелдеу  (5)  теңдеумен  мәндес  төрт  скалярлы  сызықты  емес  теңдеулер  жүйесінің  шешімін 
зерттеуге  келеді.  Жалпы  жағдайда  (5)  теңдеудің  шешімін  табу  үшінші  дәрежелі  скалярлы  теңдеудің  жалғыз  оң 
түбірін табуға сәйкес келеді. 
2  –  ұйғарым
.  Егер  (5)  теңдеудің  әртүрлі  екі   
1

және 
2

шешімдері  болса,  онда  (4)  теңдеудің  жалпы 
шешімі  
 
2
1
2
1
c
e
c
e
t
х




(6) 
формуласымен табылады, мұндағы 
,
 - 
дербес кватерниондар. 
 
Егер 

(5) сипаттамалық теңдеудің жалғыз шешімі болса, онда жалпы шешім мына формуламен 
анықталады: 
 
















t
p
t
t
c
d
e
e
c
e
t
х
0
2
1





(7) 
Бұл  шешімдегі  интеграл  ашық  түрде  есептеліп, 
,
sin t
e
t


,
cos t
e
t


t
t
e
t


sin
және 
t
t
e
t


cos
 
функцияларының  сызықты  комбинациясы  болады,  мұндағы 


,
  –  нақты  сандар  және  олар 
p
  және 
q
 
кватерниондарының координаталары арқылы өрнектеледі.  
 
Кватерниондарды  көбейту  амалы  коммутативті  емес  болғандықтан  (7)  формуладағы  интеграл 
астындағы өрнектегі дәрежелерді қосуға болмайды [1]. 
 
Әдебиеттер тізімі 
1.  Кантор И. Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа.-М.: Наука, 1973 – 144С 
2. Б.Мәукеев. Дифференциалдық теңдеулерді шешу. –Мектеп баспасы,1989-232бет 
3.  Erlebacher
 
G.,Sobczyk
 
E.  First  Order  Linear  ordinary  differential  Equations  in  associative  Algebras  //  Electronic  J. 
Differential Equations. - 2004. — Vol. 2004, N 1. — Р. 1–18. 
 
 
УДК.593.3 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕПЛООБМЕНА НА НАПРЯЖЕННО-
ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЧАСТИЧНО ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОГО СТЕРЖНЯ,   
ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННОГО ДВУМЯ КОНЦАМИ 
 
Тулеуова Р.У. 
 
Атырауский государственный университет им. Х.Досмухамедова, г.Атырау, 
e-mail: Tuleuova_79@mail.ru 
 
 
Рассмотрим  стержень  ограниченной  длины  и  постоянного  поперечного  сечения,  оба  конца  которого 
жестко  защемлены  (рис.-1).  Длину  стержня  обозначим  через  -

,  а  площадь  поперечного  сечения  - 
F
, 
коэффициент теплопроводности стержня  - 
xx
k
,  теплового  расширения - 

.  На  площади  поперечного сечения 
обеих  защемленных  концов  стержня  подведен  тепловой  поток  одинаковой  интенсивности  - 
q
.  Боковая 
поверхность  стержня  частично  теплоизолировано.  Например  часть  боковой  поверхности 








3
0

x
  и










x
3
2
 теплоизолировано, а по боковой поверхности ограниченной точками 








3
2
3


x
 имеет место 
теплообмен. Коэффициент теплообмена 
h
, а температура окружающей среды 
OC
T
. 
 

92
 
 
 
Рис.-1. Расчетная схема. 
Требуется 
определить 
влияние 
значение 
h
 
на 
напряженно 
деформированное 
состояние 
рассматриваемого стержня при фиксированных значениях 
.
,
,
,
,
,
F
k
T
q
xx
OC


 
Данная задача является статически неопределимой. Решение этой задачи состоит из двух этапов: 
I-этап. Определяется поле распределения температур
)
(x
T
T 
по длине стержня. Эта задача решается 
методом  минимизации  функционала,  характеризующей  законы  сохранения  и  изменения  тепловой  энергии  в 
сочетании  метода  конечных  элементов.  В  качестве  конечного  элемента  берется  одномерный  элемент  с  тремя 
узлами, т.е. в пределах каждого элемента закон распределения поля температур представляется кривой второго 
порядка.  Рассматриваемый  стержень  дискретизирует   
n
-  квадратичными  конечными  элементами  одинаковой 
длины.  При  этом  первый 
3
n
  и  последний 
3
n
  конечные  элементы,  т.е. 













x
и
x
3
2
)
0
(
 
теплоизолированы.  По  боковой  поверхности 
3
n
  конечных  элементов  находящихся  в  интервале 








3
2
3


x
 
имеет  место теплообмен с окружающей  средой. Для  первого  и  последнего конечного  элемента,  на  поперечные 
сечения  которых  подведен  тепловой  поток  интенсивностью 
q
,  выражение  функционала  характеризующее 
полный тепловой энергий имеет следующий вид [1] 














)
(
)
1
(
)
1
(
2
1
2
n
ППС
V
V
S
xx
n
qTdS
dV
x
T
k
J
J
                    (1) 
ППС
S
 – площадь поперечного сечения. 
Для  элементов  теплоизолированной  части  стержня 








3
0

x
  и










x
3
2
  выражение 
аналогичного функционала имеет следующий вид 
dT
x
T
k
J
i
V
xx
i
2
)
(
2










  
 
 
      (2) 
где 
















1
3
2
3
2
n
n
и
n
i
 
Для конечных элементов находящихся в интервале 








3
2
3


x
 имеет место теплообмен по боковой 
поверхности. По этому для этих элементов выражение функционала имеет следующий вид. 
 















)
(
)
(
2
2
2
2
i
бп
i
S
oc
V
xx
i
dS
T
T
n
dV
x
T
k
J
 
                        (3) 
 
где 









3
2
1
3
n
n
i
, 
ППС
S
 - площадь боковой поверхности. 
 
Тогда выражение общего функционала для всего стержня имеет следующий вид 



n
i
i
J
J
1
 
 
(4) 
где 
n
i

 1
 
Далее минимизируя 
J
по узловым значениям температуры построим следующую систему алгебраической 
уравнений для определения  
T
i
. 
q 
q 
h, T
oc 

93
 
 
 
0



i
T
J
 
 
                         (5) 
 
Решая  систему  (5)  находим  поле  распределения  температур 
)
(x
T
T 
  по  длине  стержня.  Тогда 
температурное составляющее напряжение будет [2]. 
)
(
)
(
x
ET
x
T




 
 
(6) 
II-этап 
Построим функционал потенциальной энергии для каждого конечного элемента. 





)
(
)
(
2
i
i
V
x
V
x
x
i
dV
ET
dV
П
П




   
 
(7) 
где 
;
;
x
x
x
E
x
u







                                                (8) 
)
( x
u
u 
  перемещение  точек  стержня  Подставим  (8)  в  (7)  и  минимизируя 
П
i
;  по  узловым  значениям 
перемещения 
;
i
u
  построим  систему  линейных алгебраических  уравнении  для  определения  перемещения  узлов 
элементов. 
 
0



i
u
П
 
 
                     (9) 
Решая  систему  (9)  находим  поле  перемещения
)
( x
u
u 
.  Далее  пользуясь  (8)  находим  упругое 
составляющее напряжение 
σ
x
. Тогда истинное напряжение 

 в любом сечении стержня будет. 
ET
E
T
x









 
 
        (10) 
Тогда сжимающее усилие 
R
 в стержне находим по [3]. 
F
R


 
                                                       (11) 
Теперь  переходим,  пользуясь  вышеизложенным  вычислительным  алгоритмом  численно  исследовать 
влияние значения 
h
 (окружающей оголенной части стержня среды) на значение 

 и 
R
. Для этого примем, что  
;
90 см


);
/(
72
С
см
Вт
k
xx


;
1
10
125
0
7
C




;
10
2
2
6
см
КГ
E


);
/(
200
2
С
см
Вт
q



;
30 C
T
OC


;
20
2
см
F 
);
/(
10
;
8
;
6
;
4
;
2
2
С
см
Вт
h


 
Численные  эксперименты  показывают,  что  при  принятых  исходных  данных  с  увеличением  значения 
коэффициента теплообмена 
h
 от 2до 10с шагом 2уменьшается значение напряжения и сжимающего усилия. Эти 
закономерности показано в таблице-1. 
Таблица-1. 
h
(
С
см
Вт

2
/(
) 
et
E
x





 
(кг/см
2
) 
R
(кг) 
2 
-1833,9 
-
36678 
4 
-1700,9 
-
34018 
6 
-1648,1 
-
32962 
8 
-1618 
-
32360 
10 
-1598 
-
31960 
 
Из  этой  таблицы  видно,  что  увеличение  значения  коэффициента  теплообмена  в  5  раз  приводит  к 
уменьшению  значения  сжимающего  напряжения  и  усилия  на  12,86%.  Эти  результаты  показывают,  что  с 

94
 
 
увеличением  значения  коэффициента  теплообмена    в  интервале 
3
2
3
l
x
l


  можно  сохранить  от  разрушения 
рассматриваемый стержень.  
Естественно, что  наибольшее  значение  температуры  получается  в точках 
l
x
и
x

 0
,  так  как  в эти 
поверхности поперечных сечений подведен тепловой поток интенсивности 
...
200


q
 Например 
при 
C
l
x
T
x
T
h
0
5
,
132
)
(
)
0
(
;
2





 
при 
C
l
x
T
x
T
h
0
6
,
126
)
(
)
0
(
;
4





 
при 
C
l
x
T
x
T
h
0
15
,
124
)
(
)
0
(
;
6





 
при 
C
l
x
T
x
T
h
0
7
,
122
)
(
)
0
(
;
8





 
при 
C
l
x
T
x
T
h
0
7
,
121
)
(
)
0
(
;
10





 
Таким  образом  при  увеличении  значения 
h
  от 2  до 10  значение температуры  в точках 
l
x
и
x

 0
 
уменьшается до 8,5%. 
Значение  наибольших  и  наименьших  перемещений  и  соответствующие  координаты  этих  точек 
приводится в таблице-2. 
Таблица-2. 
h
(
С
см
Вт

2
/(
) 
max
U
(см) 
min
U
(см) 
2 
007869
,
0
)
3
,
21
(


см
x
U
 
007869
,
0
)
7
,
68
(



см
x
U
 
4 
007722
,
0
)
1
,
21
(


см
x
U
 
007722
,
0
)
9
,
68
(



см
x
U
 
6 
007628
,
0
)
21
(


см
x
U
 
007628
,
0
)
69
(



см
x
U
 
8 
007
,
0
)
(

 см
x
U
 
007
,
0
)
(


 см
x
U
 
10 
007
,
0
)
(

 см
x
U
 
007
,
0
)
(


 см
x
U
 
Из  этой  таблицы  видно,  что  с  увеличением  значения  теплообмена,  амплитуда  перемещений 
уменьшается.  Например,  при  увеличении  значения 
h
  от  2  до  10,  амплитуда  перемещения  уменьшается  на 
4,524%.  При  этом  с  увеличением  значения 
h
,  максимальное  значение  перемещения  сдвигается  влево,  а 
минимальное значение вправо. 

жүктеу/скачать 12,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: