Техника, технология и физико-математические науки

 

 

болғандықтан 

Енді бөгде түбір болмайтынына көз жеткізейік. Расында да солай, себебі 

анықтама бойынша 

 ал 

 теңсіздігінен берілген 

теңдеудің  екі  жағы  да  синус  функциясының  монотондық  (өспелі)  облысында 

жататынын көреміз.

Жауабы: 0,6

Кері тригонометриялық функциялардың монотондық және шектелгендік 

қасиеттерін қолдану тәсілі

Қайсыбір  теңдеулер  мен  теңсіздіктерді  шешкенде  (әрине  КТФ  арқылы 

жасалған) тек қана шектелгендігі мен монотондылығына сүйеніп шығарылатын 

Н. СЕРІКБОЛҚЫЗЫ, Н.Б. АЛИМБЕКОВА, О.Д. АПЫШЕВ. 4 (68) 2015. Б. 43-53   

                ISSN 1683-1667 

50

Тоқсанына бір рет шығарылады

  

 

 

 

         

Шығыстың аймақтық хабаршысы

есептер бар. Ондай кезде келесі теоремаларды басшылыққа алады.

1-теорема. Егер 

 монотонды   онда 

 

теңдеуінің 

бірден артық шешімі жоқ.

2-теорема. Егер 

 – өспелі, ал 

 кемімелі функциялар болса, 

онда 

 теңдеуінің бірден артық шешімі болмайды.

3-теорема.  Егер 

  онда 

 

теңдеуі 

  жүйесіне  эквивалентті.  (3-теореманы  қолданып 

шығаратын әдісті кейде мажорант немесе min-max әдісі деп те айтады).

1-мысал. 

 теңдеуін шешейік.

Шешуі: 

  берілген 

теңдеудің шешімі. 2-теорема бойынша – ол жалғыз шешім.

Жауабы: 0,5.

2-мысал. 

 теңдеуін шешейік.

Шешуі: 

 деп белгілейік. Онда теңдеу 

 

түріне 

енеді. 

 

 1-теорема бойынша 

 теңдеудің 

бірден артық түбірі болмайды. 

 осы теңдеудің түбірі екені анық. Сол себепті 

 

 .

Жауабы: 

.

3-мысал. 

 теңдеуін шешейік.

Шешуі: 

  теңдеудің  сол  жағы  π-ден  артпайды. 

Теңдік таңбасы 

, егер әрбір қосылғыш 

 

ге тең болса. Сонымен теңдеу 

 

 жүйесіне мәндес.

 

⇒ 

 

⇒ 

 = 

 

Жауабы: (

), (-

4-мысал. 

 теңсіздігін шешейік.

Шешуі: 

Сол 

жағы 

 

кесіндісінде 

кемімелі 

 

функциясы 

болып 

табылады, 

ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР

51

Региональный вестник Востока

  

 

 

 

 

        

Выпускается ежеквартально

себебі  кері  arccost  функциясының  анықтамасынан  бір  уақытта 

.

  теңдеуі  1-теорема  бойынша  жалғыз  түбірге  ие  болады,  ол  мән 

  

 

.

Жауабы: 

.

Тригонометриялық ауыстырма

КТФ арқылы жасалған трансценттік теңдеуді тригонометриялық ауыстырма 

арқылы  тригонометриялық  теңдеуге  айналдырып,  стандартты  емес  әдіске 

жататын теңдеуге келтіріп шешуге болады. Әдетте алгебралық өрнектер белгілі 

тригонометриялық  формулаларға  ұқсас  болып  келсе,  ондай  ауыстырмалар 

нәтижелі болып табылады. Кең тараған түріне төмендегі өрнектер жатады:

  Осы  әдісті  келесі 

жалғыз мысал арқылы түсіндірейік.

Мысал: 

 теңдеуін шешейік.

Шешуі: 

  түрінде  жазсақ,  екі  жағы  да 

 кесіндісінде жатқан бұрыш, онда екі жағынан косинусты алсақ (монотонды 

облысы) қосымша түбір пайда болмайды, сол себепті 

.

Теңдеуді  шешу  үшін 

  ауыстырмасын  қолданамыз, 

онда 

,ал 

  болғандықтан   

 

тригонометриялық  теңдеуіне  келеміз. 

 

 шешімдерін аламыз. Осылардың ішінде 

 сегментінде 

тек 

; 

  немесе 

 

түбірлері  жатады.  Енді  қажетті  тексерулерді  жүргізейік  (ол  үшін  бастапқы 

теңдеуге апарып қоямыз).

1. 

 

⇒ 

Н. СЕРІКБОЛҚЫЗЫ, Н.Б. АЛИМБЕКОВА, О.Д. АПЫШЕВ. 4 (68) 2015. Б. 43-53   

                ISSN 1683-1667 

52

Тоқсанына бір рет шығарылады

  

 

 

 

         

Шығыстың аймақтық хабаршысы

2. 

 

3. 

Жауабы: 

Ең соңында функциялардың бар болу облыстарын қолданып үш айнымалы-

дан  тәуелді  функциялармен  иррационал  функциялардың  комбинациясынан 

жасалған күрделі теңдеудің шешімін келтірейік.

.

Алдымен  берілген  теңдеуге  енетін 

 

функциясының  анықталу  облысын  анықтайық.  Ол 

  жүйесі 

арқылы  табылады,  оның  жалғыз  шешімі 

  интервал  әдісін  қолданып, 

қарапайым теңсіздіктерден аламыз.

Сонымен 

 

үштігі берілген теңдеудің шешімі екен, соған апарып 

қойсақ 

 

тер  үшін 

  теңдеуіне 

келеміз. Ал 

 

⇔

 егер 

 болатынын ескерсек, соңғы 

теңдеу 

 түріндегі теңдеуге айналады. Анықтама бойынша 

 

⇒ 

 

⇒ 

 және 

 

⇒ 

 

 олай болса 

 жүйесін аламыз, одан 

 

 

шығады.  Сонымен  берілген  теңдеудің  шешімі 

  шексіз  жиыны 

табылатынын көреміз.

Ескерту. Стандартты әдіспен шешілмейтін теңдеулерде жауаптары ақырлы 

немесе шексіз жиын бола беретінін көреміз. Бұл қасиет – белгісіздердің саны 

ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ ЖӘНЕ ФИЗИКАЛЫҚ-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАР

53

Региональный вестник Востока

  

 

 

 

 

        

Выпускается ежеквартально

артық болса да теңсіздіктер үшін де орын ала беретін құбылыс. Мысал үшін, 

  теңсіздігінің 

  жалғыз  шешімі  де,  ал 

  шешімі 

 

саналатын 

жиын.

Сонымен  біз  бірнеше  есептердің  шығару  жолдарын  келтірдік,  әрине, 

кері  тригонометриялық  функциялар  арқылы  жасалған  әртүрлі  типті  есептер 

жиынын қамту ешқашан да мүмкін емес. Айтайық дегеніміз, тек қана күрделілігі 

жоғары, стандартты емес есептерді шығару кезінде оқушылардың зерттеушілік 

қасиеті дамып, әр деңгейдегі математика пәні бойынша олимпиадаға қатысуға 

қызығушылығын тудыратыны сөзсіз. Параметрден тәуелді немесе жүйелерден 

тұратын  жаттығулар  мүлде  қарастырылған  жоқ.  Оларды  келешектің  еншісіне 

қалдырдық. КТФ-ға арналған талай оқу құралдары бар, негізгілері әдебиеттер 

тізімінде келітірілген.

 

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Олехник С.Н. и др. Нестандартные методы решения. Уравнения и неравенства. 

Справочник / С.Н. Олехник [и др.]. – М.: МГУ, 1997. – 219 с.

2. Фалин Г.И. Обратные тригонометрические функции. 10-11 классы / Г.И. Фалин, 

А.И. Фалин. – Изд. «Экзамен», 2012. – 221 с.

3. Гельфанд И.М. и др. Тригонометрия. МЦНМО / И.М. Гельфанд [и др.]. – М.: АО 

«Московские учебники», 2003. – 200 с.

4.  Супрун  В.П.  Математика  для  старшеклассников.  Нестандартные  методы 

решения задач / В.П. Супрун. – М.: Книж. дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 272 с.

5. Егерев В.К. и др. 4х100 задач / В.К. Егерев [и др.]. – М.: Linka-Press, 1993. – 

262 с.

6. Арлазаров В.В. и др. Лекции по математике для физико-математических школ, 

часть II: уч. пособие / В.В. Арлазаров [и др.]. – М., Изд. ЛКИ, 2008. – 264 с.

REFERENCES

1. Olekhnik S.N., Nestandartnye metody reshenya. Uravnenya i neravenstva. Spravosh-

nik. Moskva, MGU, 1997 (in Russ).

2.  Falin  G.I.,  Falin  A.I.,  Obratnye  trigonometryigeskie  funksii.  10-11  kl.  Ekzamen, 

Moskva (in Russ).

3. Gelfand I.M and others, Trigonometry. MSNMO, Moscovskie uchebniki, 2003, 200 

(in Russ).

4.  Suprun  B.P.,  Mathematica  dlya  starsheklasnikov.  Nestandartnye  metody  reshenya 

zadach. M., Knizh. dom LIBROKOM, 2009, 272 (in Russ).

5. Egerev V.K i dr., 4x100 zadach., Moskva, Linka Press. 1993, 262 (in Russ).

6. Arlazarov B.B i dr., Lecsii po mathematice dlya fiziko mathematicheskih shkol, chast 

II, Uch. posobie. M., LCI. 2008, 264 (in Russ).

Н. СЕРІКБОЛҚЫЗЫ, Н.Б. АЛИМБЕКОВА, О.Д. АПЫШЕВ. 4 (68) 2015. Б. 43-53   

                ISSN 1683-1667