треугольник и обозначается символом “Д” .
В процессе обучения необходимо, чтобы каж д ы й тер
мин или символ для учащ и хся был хорошо знаком и чтобы
они могли ими владеть свободно, так к а к умение созн а
тельно использовать их в изучении м атем атики явл яется
основой фундаментального усвоения ш кольного курса.
О тличительной особенностью м атем ати к и от других
естественных наук явл яется то, что м атем атические по
н яти я являю тся абстракциям и высокого уровня (два и
более).
Различаю т абстракцию отож дествления и идеа л и за
цию. С помощью абстракции отождествления были получе
ны первые м атем атические п о н яти я, среди которы х самое
важное — это понятие числа. Н апример, ребенок, наблюдая
за различными предметами, состоящ ими из трех элементов
(трех игруш ек, трех яблок, трех пальцев), может понять,
что меж ду словом три и количеством предметов имеется
определенное соответствие, т.е. для различн ы х предметов
есть общее — их количество, вы раж аем ое словом три. Так
появилось первое представление о понятии числа три.
С помощью идеализации были получены такие первона
чальные геометрические п оняти я, к ак точка (не имею щ ая
меру), прямая (не имею щ ая толщ ину). Натянутую на земле
нить или проволоку, линию на поверхности тетради мы не
только объединяем в один класс, но и в наш ем сознании
создаем идеальны й образ поняти я л и н и я . Таким образом,
слово л и н и я не ограничивается объединением предметов
в один класс, оно связано и созданием идеального образа
предмета. С помощ ью идеали зац и и создаю тся и многие
другие м атем атические п он яти я, к а к куб, прямоугольный
п а р а лле ле п и п е д , шар и др.
Несмотря на то, что математические понятия были полу
чены указанны м и выш е путям и, они являю тся реальными
для м атем атики и отраж аю т предметы действительности
опосредованно. Объединив общими для всех свойствами
м атем атические объекты , мож но получить абстракцию
от абстракции. Н априм ер, следую щ ая ступень аб стр ак
103
ции — поняти е объема р а вн о вели к о ст ъ п ло с к о с т н ы х и
пр о ст ранст венн ы х фигур. П рим ерам и современных аб
страктн ы х поняти й явл яю тся группа и п о ле, векторное
пространство и т.д.
Сущ ествует неправильное мнение о том, что абстракт
ные п он яти я невозмож но прим енять на п ракти ке. П оня
тие объема часто и сп о л ьзу ется в повседневной ж и зн и .
А п о н я ти я г р у п п а и п о л е , м ногомерное вект орное про
ст ранст во и другие прим еняю тся в науке и технике.
Свойство — это то, что каким -то образом характеризует
вещ ь и не требует для своего описания более одной вещ и.
Сущ ественными свойствами п о н яти я являю тся те, без
ко то р ы х п он яти е (объект д л я п о н я ти я) не сущ ествует.
П ри их помощи вы деляю тся и обобщаются предметы инте
ресующего нас м нож ества. В литературе встречается сло
восочетание сущ ест венны е п р и зн а ки . Но слово при зн а к в
ш кольном курсе м атем атики имеет другой смысл, поэтому
его следует заменить словом свойство.
И ногда под сущ ественны м и свойствам и объекта для
п он яти я берутся таки е, к аж д ы й из которы х, взяты й от
дельно, необходим, а взяты е в совокупности достаточны
д ля отделения данного п он яти я из остальны х. Но в этой
тр акто вк е терм ин су щ ест вен н ы е скорее хар актер и зу ет
определенны й набор, а не отдельны е свойства, поэтому
в дальнейш ем под сущ ественными свойствами будем по
н и м ать первую тр акто вк у . Н ап ри м ер, мож но вы делить
следующие существенные свойства ромба: быть параллело
граммом, явл яться четы рехугольником , иметь все равные
стороны, иметь равные противоположные углы; диагонали
в точке пересечения делятся пополам, диагонали леж ат на
биссектрисах углов ромба и т. д.
Конечно, таки х свойств у объекта может быть много,
поэтому часто обращ аю тся к достаточному набору свойств,
которы й позволяет однозначно вы делить интересующ ее
нас множество объектов из всех остальных. Так, например,
д ля ромба достаточный набор свойств могут образовывать
следую щ ие свойства: “быть п араллелограм м ом и иметь
все равны е стороны ” , “быть параллелограм м ом и иметь
диагонали, делящ ие углы ромба пополам” . Т аких наборов
мож ет быть несколько. Они образуют либо определение
п он яти я, либо п ризнаки.
104
Любое поняти е х ар ак тер и зу ется содерж анием , объе
мом, отнош ением и связям и с другими п о н яти ям и . Содер
ж ание поняти я — сущ ественные свойства п он яти я.
Достарыңызбен бөлісу: |