Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
| Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 368 Определение6 [2].Модель 𝐴 теории 𝑇 называется - экзистенцианально замкнутой, если для любой модели 𝐵 и любой экзистенциальной формулы 𝜙(𝑥) с константами из 𝐴 выполняется 𝐴 ⊨ ∂𝑥𝜙(𝑥) при условии, что 𝐴 подмодель 𝐵 и 𝐵 ⊨ ∂𝑥𝜙(𝑥). Через 𝐸 T мы обозначаем класс всех экзистенциально замкнутых моделей теории 𝑇 . В связи с этим определением в рамках изучения индуктивных теории верны следующие два замечания: Замечание 1: Для любой индуктивной теории 𝐸 T не пусто. Замечание 2: Любая счетная модель индуктивной теории изоморфно вкладывается в некоторую счетную экзистенциально замкнутую модель этой теории. Аналогом простой модели (в смысле полной теории) для индуктивной вообще говоря неполной теории, является понятие алгебраически простой модели, которое ввел А.Робинсон [3]. Определение7. 𝐴 алгебраически простая модель теории 𝑇 , если 𝐴 является моделью 𝑇 и 𝐴 может быть изоморфно вложена в каждую модель теории 𝑇 . Определение8 [4].Модель называется атомной, если каждый кортеж его элементов реализует некоторую полную формулу. В связи новыми понятиями атомности из [5], аналогом определения полной формулы будет следующее понятие Определение9. Формула 𝜙(𝑥 1 , . . . , 𝑥 n ) является полной для-формул, если 𝜙 совместна с 𝑇 и для каждой формулы 𝜓(𝑥 1 , . . . , 𝑥 n ) из 𝛤 , имеющей не более чем в 𝜙 свободных переменных, или 𝑇 ⊨ ∀𝑥(𝜙 → 𝜓) или 𝑇 ⊨ ∀𝑥(𝜙 → ≦𝜓). Эквивалентно, совместная формула 𝜙(𝑥) полна для -формул, если как только 𝜓(𝑥) есть 𝛤 формула и (𝜙 ∧ 𝜓) совместна с 𝑇 , то 𝑇 ⊨ (𝜙 → 𝜓). И понятие атомной модели из [1] трансформируется в следующее понятие из [3]. Определение10. [5]B является (𝛤 1 , 𝛤 2 ) -атомной моделью теории 𝑇 , если 𝐵 есть модель теории 𝑇 и для каждого 𝑛 каждый -кортеж элементов из 𝐴 удовлетворяет в B некоторую формулу из 𝛤 1 , которая полна для 𝛤 2 -формул. Следующее понятие слабо атомной модели из [5] является обобщением вышеуказанного определения. Определение11. 𝐵 является слабой (𝛤 1 , 𝛤 2 ) -атомной моделью теории 𝑇 , если 𝐵 есть модель теории 𝑇 и для каждого 𝑛 каждый-кортеж a элементов из 𝐴 удовлетворяет в 𝐵 некоторую формулу 𝜙(𝑥) из 𝛤 1 такую, что 𝑇 ⊨ (𝜙 → 𝜓) как только 𝜓(𝑥) из 𝛤 2 и 𝐵 ⊨ 𝜓(𝑎). Мы не будем в этой работе приводить примеры (𝛤 1 , 𝛤 2 ) -атомной модели и слабой (𝛤 1 , 𝛤 2 ) атомной модели, оставляя читателю проделать это самостоятельно, ссылаясь на достаточное количество примеров этих понятий приведенных в работе [5]. Прежде чем приступить к обсуждению полученных результатов относительно ❑ − 𝑐𝑙 атомных моделей, заметим, что мы фиксируем некоторую йонсоновскую теорию T и ее семантическую модель C в счетном языке 𝐿 и 𝛻 ⊆ 𝐿 ∶ 𝛻 совместно с 𝑇 , то есть любое конечное подмножество формул из 𝛻 совместно с теорией 𝑇 . Пусть 𝐴 ⊆ 𝐶. Пусть 𝑐𝑙 как в определении 5 и верно, что 𝑐𝑙 = 𝑎𝑐𝑙 и одновременно 𝑐𝑙 = 𝑑𝑐𝑙 . Понятно, что такой оператор является частным случаем оператора замыкания и его примером может служить оператор замыкания определенный на любом линейном пространстве в качестве линейной оболочки. Также мы предполагаем, что предгеометриязаданная оператором 𝑐𝑙 является модулярной [1] Определение12. Множество A будет называться (𝛻1, 𝛻2) − 𝑐𝑙 атомным в теории 𝑇 , если 1) ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∂𝜙 ∈ 𝛻 такой, что для любой формулы 𝜓 ∈ 𝛻 следует, что ϕ является полной формулой для 𝜓 . 2) 𝑐𝑙(𝐴) = 𝑀, 𝑀 ∈ 𝐸 |