Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика



Pdf көрінісі
бет392/527
Дата14.10.2023
өлшемі12,2 Mb.
#114644
1   ...   388   389   390   391   392   393   394   395   ...   527
Байланысты:
TaimanovMatem

Определение 1 
Если 
𝐶 
– класс 
𝐿
-структур, то мы говорим, что элемент 
𝑀 
из 
𝐶𝛥

позитивно экзистенциально замкнут в 
𝐶 
, если каждый 
𝛥 
-гомоморфизм из 
𝑀 
в любой 
элемент из 
𝐶 
является 
𝛥 
-погружением. Класс всех 
𝛥 
-позитивно экзистенциально 
замкнутых моделей обозначим через
(𝐸
Δ
)
+
; если 
𝐶 = 𝑀𝑜𝑑 𝑇 
для некоторой теории 
𝑇
, то 
под 
𝐸
T

(𝐸
Δ
)
+
мы понимаем, соответственно, класс экзистенциально замкнутых и 
𝛥 

позитивно экзистенциально замкнутых моделей данной теории. При 
𝛥 = 𝐿 
мы получим 
класс позитивно экзистенциально замкнутых моделей данной теории и обозначим его 
𝐸
+

В дальнейшем на протяжении всей статьи 
Δ = 𝐵
+
(𝐴𝑡) 
и в случае, когда 
рассматриваемая теория не является йонсоновской в силу рассматриваемой позитивности 
(так как, вообще говоря, 
𝑛
-погружение не совпадает с 
𝑛
-вложением), мы будем вместо 
семантической модели, рассматриваемой теории, использовать универсальную область из 
работы [2]. 
Δ = 𝐵
+
(𝐴𝑡)
, согласованное с вышестоящими определениями, удовлетворяет 
минимальному фрагменту из работы [2] и согласовано с определением 
∂𝑃𝑀
-теории. 
Пусть 
0 ≤ 𝑛 ≤ 𝜔 

Π
+
-формулой будем называть формулу языка 
𝐿
+
, пренексная 
нормальная форма которой имеет 
𝑛 
перемен кванторов и начинается с квантора 
∀ 

Аналогично, 
Σ
+
-формулой будем называть формулу языка 
𝐿
+
, пренексная нормальная 
форма которой имеет 
𝑛 
перемен кванторов и начинается с квантора 


Определение 2 
Модель 
𝐴 
теории 
𝑇 
будем называть позитивно экзистенциально 
замкнутой относительно 
𝛴
n
-формул, если 
∀𝜑(𝑥) ∈ 𝛴
+

∀𝑎 ∈ 𝐴
, для всякой модели 
𝐵 ⊃ 𝐴 
из того, что 
𝐵 ⊨ 𝜑(𝑎) 
следует, что 
𝐴 ⊨ 𝜑(𝑎)

Множество всех позитивно экзистенциально замкнутых относительно 
Σ
n
-формул 
моделей теории 
𝑇 
будем обозначать через 
n
𝐸
+

Определение 3 
Будем говорить, что теория 
𝑇 
допускает 

n
𝐽𝐸𝑃
, если для любых 
двух 
𝐴, 𝐵 ∈ 
n
𝐸
+
существует 
𝐶 ∈ 
n
𝐸
+
и 
𝛥
-гомоморфизмы 
𝑕
1
: 𝐴 →
Δ
𝐶

𝑕
2
: 𝐵 →
Δ
𝐶



Определение 4 
Говорим, что теория 
𝑇 
допускает 

n
𝐴𝑃
, если для любых 
𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 


Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
372 


n+2 
n
𝐸
+
таких, что 
𝑕
1
: 𝐴 →
Δ
𝐶 

𝑔
1
: 𝐴 →
Δ
𝐵 
, где 
𝑕
1
, 𝑔
1

𝛥 
-гомоморфизмы, существует 
𝐷 ∈ 
n
𝐸
+
и 
𝑕
2
: 𝐶 →
Δ
𝐷 

𝑔
2
: 𝐵 →
Δ
𝐷 
, где 
𝑕
2
, 𝑔
2

𝛥
-гомоморфизмы, такие, что 
𝑕
2
∘ 𝑕
1

𝑔
2
∘ 𝑔
1

Определение 5 
Пусть 
0 ≤ 𝑛 ≤ 𝜔 
. Теория 
𝑇
называется экзистенциально 
позитивной Мустафинской (
∂𝑃𝑀
-теорией), если 
1)
теория 
𝑇 
имеет бесконечные модели, 
2)
теория 
𝑇 
является 
Π
+
-аксиоматизируемой, 
3)
теория 
𝑇 
допускает 

n
𝐽𝐸𝑃

4)
теория 
𝑇 
допускает 

n
𝐴𝑃

Определение 6 
∂𝑃𝑀
-теорию при 
𝑛 = 0 
будем называть 
∂𝑃𝐽
-теорией. 
В дальнейшем все определения понятий, касающихся йонсоновских теорий (в 
обычном смысле), считаются известными и их можно извлечь, например, из [1]. 
Если 
∂𝑃𝐽
-теория не йонсоновская в классическом смысле, то под еѐ семантической 
моделью мы будем понимать любую еѐ универсальную область 
𝑈 
(как в [2]), а под 
центром 
𝑇

будем понимать следующее множество предложений 
𝑇
0
= 𝑇𝑕
∀∂
(𝑈)

Факт 1 
([4]) Индуктивная теория 
𝑇 
является йонсоновской тогда и только тогда, 
когда существует семантическая модель теории 
𝑇

Определение 7 
Если 
∂𝑃𝐽
-теория 
𝑇 
является йонсоновской, то еѐ семантической 
моделью назовем 
𝑇
-
∂𝑃𝐽
-универсальную 
𝑇
-
∂𝑃𝐽
-однородную модель теории 
𝑇 
мощности 
𝜅

где 
𝜅 
– фиксированный недостижимый кардинал. 
Определение 8 
∂𝑃𝐽 
-йонсоновская теория 
𝑇 
называется совершенной, если еѐ 
семантическая модель 
𝐶 
является насыщенной моделью теории 
𝑇𝑕(𝐶)

Теорема 1 
([1]) Пусть 
𝑇 
совершенная йонсоновская теория. Тогда следующие 
условия эквивалентны: 
1)
𝑇

- модельный компаньон 
𝑇

2) 
𝑀𝑜𝑑(𝑇

) = 𝐸
T
= 𝐸
T


3) 
𝑇

= 𝑇
ƒ
= 𝑇
0

где 
𝑇

= 𝑇𝑕(𝐶) 
– центр теории 
𝑇 

𝐶 
– семантическая модель теории 
𝑇 
), 
𝑇
0
– 
оболочка Кайзера (максимальная 
∀∂
-теория, взаимно модельно совместная с 
𝑇 
), 
𝑇
ƒ

𝑇𝑕(𝐹
T
)
, где 
𝐹
T
– класс генерических моделей 
𝑇 
(в смысле конечного форсинга Робинсона). 
Легко заметить, что позитивная робинсоновская теория в смысле [2, 3] является 
обобщением понятия оболочки Кайзера 
𝑇
0
для йонсоновской теории 
𝑇 
. Из теоремы 1 
следует, что в случае, когда 
Δ = 𝐵(𝐴𝑡) 
и 
∂𝑃𝐽
-теория совершенна, понятие семантической 
модели и универсальной области совпадают. 
Определение 9 
Пусть 
𝐴 
некоторая бесконечная модель сигнатуры 
𝜎 

𝐴 
называется 
∂𝑃𝐽
-моделью, если множество предложений
𝑇𝑕
∀∂
+
(𝐴)
является 
∂𝑃𝐽
-теорией. 
В дальнейшем теорию
𝑇𝑕
∀∂
+
(𝐴)
будем обозначать через 
∀∂
+
(𝐴)

Следующий результат обобщает предложение 1 из [5]. 
Лемма 1 
Пусть 
𝑇 
– 
∂𝑃𝐽
-теория, полная для экзистенциальных предложений. Тогда 
любая бесконечная модель теории 
𝑇 
является 
∂𝑃𝐽
-моделью. 
Определение 10 
Модели 
𝐴 
и 
𝐵 
будем называть 
∂𝑃𝐽
-эквивалентными и обозначать 
𝐴 ≡
∂PJ
𝐵
, если для любой 
∂𝑃𝐽
-теории 
𝑇𝐴 ⊨ 𝑇 ⇔ 𝐵 ⊨ 𝑇

Следующий результат обобщает теорему 1 из [5]. 
Лемма 2 
Пусть 
𝐴 
и 
𝐵 
модели сигнатуры 
𝜎 
. Тогда следующие условия 
эквивалентны: 
1) 
𝐴 ≡
∂PJ
𝐵

2) 
∀∂
+
(𝐴) = ∀∂
+
(𝐵)

Определение 11 
Две 
∂𝑃𝐽 
-теории 
𝑇
1
и 
𝑇
2
называются 
∂𝑃𝐽 
-косемантичными 


Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
373 




 

𝑇
1

∂PJ
𝑇
2
), если они имеют общую семантическую модель, в случае, когда 
𝑇
1
и 
𝑇
2
йонсоновские теории; и имеют общую универсальную область, в случае, когда они не 
йонсоновские. 
Определение 12 
([1]) Модели 
𝐴 
и 
𝐵 
модели сигнатуры 
𝜎 
называются 
∂𝑃𝐽 

косемантичными (
𝐴 ⋈
∂PJ
𝐵
), если для любой 
∂𝑃𝐽
-теории 
𝑇
1
такой, что 
𝐴 ⊨ 𝑇
1
, найдется 
∂𝑃𝐽
-теория 
𝑇
2

∂𝑃𝐽
-косемантичная с 
𝑇
1
, такая, что 
𝐵 ⊨ 𝑇
2
. И наоборот. 
Лемма 3 
Для любых моделей 
𝐴 
и 
𝐵 
верны следующие импликации: 
𝐴 ≡ 𝐵 ⇒ 𝐴 ≡
∂PJ
𝐵 ⇒ 𝐴 ⋈
∂PJ
𝐵

Если 
∂𝑃𝐽 
-теория 
𝑇 
является йонсоновской, то с 
𝐸
T
мы работаем как с классом 
моделей некоторой йонсоновской теории. Если же 
∂𝑃𝐽 
-теория 
𝑇 
не является 
йонсоновской, то в качестве 
𝐸
T
мы будем рассматривать класс еѐ позитивно 
экзистенциально замкнутых моделей 
𝐸
+
. Такой подход для класса 
𝐸
T
- класса 
экзистенциально замкнутых моделей произвольной универсальной теории 
𝑇 
был 
рассмотрен в [6]. 
Так как относительно йонсоновских теорий возможны два случая: совершенный и 
несовершенный, то мы будем придерживаться следующего. Хорошо известно из [1], что 
если йонсоновская теория 
𝑇 
совершенна, то класс еѐ экзистенциально замкнутых моделей 
𝐸
T
элементарен и совпадает с 
𝐸
T

, где 
𝑇

- еѐ центр. В противном случае, т.е. если теория 
𝑇 
несовершенна, мы поступаем как в [6], т.е. вместо 
𝐸
T
работаем с классом 
𝐸
+
. Когда 
рассматривается произвольная 
∂𝑃𝐽
-теория 
𝑇
, то класс 
𝐸
+
рассматривается как расширение 
𝐸
T
(оба класса всегда существуют), и в зависимости от совершенности и несовершенности 
теории 
𝑇 
теоретико-модельные свойства класса 
𝐸
+
представляют особый интерес. Для 
любой теории 
𝑇 
будем обозначать через 
𝑇


теорию, аксиомы которой являются 
позитивные универсальные следствия теории 
𝑇

Лемма 4 
Пусть 
𝑇
1
и 
𝑇
2

∂𝑃𝐽
-теории, причем 
𝐶
1
- семантическая модель 
𝑇
1

𝐶
2

семантическая модель 
𝑇
2
. Если 
(𝑇
1
)


= (𝑇
2
)


, то 
𝑇
1

∂PJ
𝑇
2

Теорема 2 
Пусть 
𝑇
1
и 
𝑇
2

∂𝑃𝐽
-теории, причем 
𝐶
1
- семантическая модель 
𝑇
1

𝐶
2

семантическая модель 
𝑇
2
. Тогда эквивалентны следующие условия: 
1) 
𝐶
1

∂PJ
𝐶
2

2) 
𝐶
1

∂PJ
𝐶
2

3) 
𝐶
1
= 𝐶
2

Определение 13 
([7]) Пусть 
𝐴 
- непустое множество, 
〈𝑆;⋅, 𝑒〉 
– моноид. 
Алгебраическая система 
〈𝐴; 〈𝑓
α
: 𝛼 ∈ 𝑆〉〉 
с унарными операциями 
𝑓
α

𝛼 ∈ 𝑆 
, назовается 
полигоном над 
𝑆
, если выполняются следующие условия. 
𝑓
e
(𝑎) = 𝑎 
для всех 
𝑎 ∈ 𝐴

𝑓
αβ
(𝑎) = 𝑓
α
(𝑓
β
(𝑎)) 
для всех 
𝑎 ∈ 𝐴 
и всех 
𝛼, 𝛽 ∈ 𝑆

Пусть 
𝑎 ∈ 𝐴
, тогда 
𝑆
a
= {𝑓
α
(𝑎): 𝛼 ∈ 𝑆}
; если 
𝑎¯
– кортеж элементов из 
𝐴
, то 
𝑆



a
i
∈a¯
𝑆
a
i
. Множество 
𝐶
a
= {𝑏 ∈ 𝐴: 𝑏 ∈ 𝑆
a
или 
𝑎 ∈ 𝑆
b

называется компонентой. 
Предложение 1 
([7]) Если 
𝑇 
теория полигонов и для любого 
𝑓: 𝑆
a
⋍ 𝑆

существует 
𝑔 ⊃ 𝑓 
такой, что 
𝑔: 𝐶
a
⋍ 𝐶
b
, тогда 
𝑇 
допускает элиминацию кванторов. 
Всюду в дальнейшем будем рассматривать полигоны над группой 
𝐺 
и 
соответственно теории полигонов над группой. 
Теорема 3 
([7]) Пусть теория 
𝑇 
полигонов имеет бесконечную модель. Тогда 
(1)
𝑇 
индуктивна; 
(2)
если 
𝑇 
обладает свойством совместного вложения, то она также обладает 
свойством амальгамирования; 
(3)
если 
𝑇 
полна, то она допускает элиминацию кванторов и является примитивом. 
Теорема 4 
([7]) 1) Каждая 
𝛼 
-йонсоновская теория полигонов совершенна и 




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   388   389   390   391   392   393   394   395   ...   527




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет