Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
372 
T 
T 
n+2 
n
𝐸
+
таких, что 
𝑕
1
: 𝐴 →
Δ
𝐶 
, 
𝑔
1
: 𝐴 →
Δ
𝐵 
, где 
𝑕
1
, 𝑔
1
- 
𝛥 
-гомоморфизмы, существует 
𝐷 ∈ 
n
𝐸
+
и 
𝑕
2
: 𝐶 →
Δ
𝐷 
, 
𝑔
2
: 𝐵 →
Δ
𝐷 
, где 
𝑕
2
, 𝑔
2
- 
𝛥
-гомоморфизмы, такие, что 
𝑕
2
∘ 𝑕
1
= 
𝑔
2
∘ 𝑔
1
. 
Определение 5 
Пусть 
0 ≤ 𝑛 ≤ 𝜔 
. Теория 
𝑇
называется экзистенциально 
позитивной Мустафинской (
∂𝑃𝑀
-теорией), если 
1)
теория 
𝑇 
имеет бесконечные модели, 
2)
теория 
𝑇 
является 
Π
+
-аксиоматизируемой, 
3)
теория 
𝑇 
допускает 
∂
n
𝐽𝐸𝑃
, 
4)
теория 
𝑇 
допускает 
∂
n
𝐴𝑃
. 
Определение 6 
∂𝑃𝑀
-теорию при 
𝑛 = 0 
будем называть 
∂𝑃𝐽
-теорией. 
В дальнейшем все определения понятий, касающихся йонсоновских теорий (в 
обычном смысле), считаются известными и их можно извлечь, например, из [1]. 
Если 
∂𝑃𝐽
-теория не йонсоновская в классическом смысле, то под еѐ семантической 
моделью мы будем понимать любую еѐ универсальную область 
𝑈 
(как в [2]), а под 
центром 
𝑇
∗
будем понимать следующее множество предложений 
𝑇
0
= 𝑇𝑕
∀∂
(𝑈)
. 
Факт 1 
([4]) Индуктивная теория 
𝑇 
является йонсоновской тогда и только тогда, 
когда существует семантическая модель теории 
𝑇
. 
Определение 7 
Если 
∂𝑃𝐽
-теория 
𝑇 
является йонсоновской, то еѐ семантической 
моделью назовем 
𝑇
-
∂𝑃𝐽
-универсальную 
𝑇
-
∂𝑃𝐽
-однородную модель теории 
𝑇 
мощности 
𝜅
, 
где 
𝜅 
– фиксированный недостижимый кардинал. 
Определение 8 
∂𝑃𝐽 
-йонсоновская теория 
𝑇 
называется совершенной, если еѐ 
семантическая модель 
𝐶 
является насыщенной моделью теории 
𝑇𝑕(𝐶)
. 
Теорема 1 
([1]) Пусть 
𝑇 
совершенная йонсоновская теория. Тогда следующие 
условия эквивалентны: 
1)
𝑇
∗
- модельный компаньон 
𝑇
; 
2) 
𝑀𝑜𝑑(𝑇
∗
) = 𝐸
T
= 𝐸
T
∗
; 
3) 
𝑇
∗
= 𝑇
ƒ
= 𝑇
0
, 
где 
𝑇
∗
= 𝑇𝑕(𝐶) 
– центр теории 
𝑇 
( 
𝐶 
– семантическая модель теории 
𝑇 
), 
𝑇
0
– 
оболочка Кайзера (максимальная 
∀∂
-теория, взаимно модельно совместная с 
𝑇 
), 
𝑇
ƒ
= 
𝑇𝑕(𝐹
T
)
, где 
𝐹
T
– класс генерических моделей 
𝑇 
(в смысле конечного форсинга Робинсона). 
Легко заметить, что позитивная робинсоновская теория в смысле [2, 3] является 
обобщением понятия оболочки Кайзера 
𝑇
0
для йонсоновской теории 
𝑇 
. Из теоремы 1 
следует, что в случае, когда 
Δ = 𝐵(𝐴𝑡) 
и 
∂𝑃𝐽
-теория совершенна, понятие семантической 
модели и универсальной области совпадают. 
Определение 9 
Пусть 
𝐴 
некоторая бесконечная модель сигнатуры 
𝜎 
. 
𝐴 
называется 
∂𝑃𝐽
-моделью, если множество предложений
𝑇𝑕
∀∂
+
(𝐴)
является 
∂𝑃𝐽
-теорией. 
В дальнейшем теорию
𝑇𝑕
∀∂
+
(𝐴)
будем обозначать через 
∀∂
+
(𝐴)
. 
Следующий результат обобщает предложение 1 из [5]. 
Лемма 1 
Пусть 
𝑇 
– 
∂𝑃𝐽
-теория, полная для экзистенциальных предложений. Тогда 
любая бесконечная модель теории 
𝑇 
является 
∂𝑃𝐽
-моделью. 
Определение 10 
Модели 
𝐴 
и 
𝐵 
будем называть 
∂𝑃𝐽
-эквивалентными и обозначать 
𝐴 ≡
∂PJ
𝐵
, если для любой 
∂𝑃𝐽
-теории 
𝑇𝐴 ⊨ 𝑇 ⇔ 𝐵 ⊨ 𝑇
. 
Следующий результат обобщает теорему 1 из [5]. 
Лемма 2 
Пусть 
𝐴 
и 
𝐵 
модели сигнатуры 
𝜎 
. Тогда следующие условия 
эквивалентны: 
1) 
𝐴 ≡
∂PJ
𝐵
, 
2) 
∀∂
+
(𝐴) = ∀∂
+
(𝐵)
. 
Определение 11 
Две 
∂𝑃𝐽 
-теории 
𝑇
1
и 
𝑇
2
называются 
∂𝑃𝐽 
-косемантичными 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
373 
T 
T 
T 
T 
 
( 
𝑇
1
⋈
∂PJ
𝑇
2
), если они имеют общую семантическую модель, в случае, когда 
𝑇
1
и 
𝑇
2
йонсоновские теории; и имеют общую универсальную область, в случае, когда они не 
йонсоновские. 
Определение 12 
([1]) Модели 
𝐴 
и 
𝐵 
модели сигнатуры 
𝜎 
называются 
∂𝑃𝐽 
- 
косемантичными (
𝐴 ⋈
∂PJ
𝐵
), если для любой 
∂𝑃𝐽
-теории 
𝑇
1
такой, что 
𝐴 ⊨ 𝑇
1
, найдется 
∂𝑃𝐽
-теория 
𝑇
2
, 
∂𝑃𝐽
-косемантичная с 
𝑇
1
, такая, что 
𝐵 ⊨ 𝑇
2
. И наоборот. 
Лемма 3 
Для любых моделей 
𝐴 
и 
𝐵 
верны следующие импликации: 
𝐴 ≡ 𝐵 ⇒ 𝐴 ≡
∂PJ
𝐵 ⇒ 𝐴 ⋈
∂PJ
𝐵
. 
Если 
∂𝑃𝐽 
-теория 
𝑇 
является йонсоновской, то с 
𝐸
T
мы работаем как с классом 
моделей некоторой йонсоновской теории. Если же 
∂𝑃𝐽 
-теория 
𝑇 
не является 
йонсоновской, то в качестве 
𝐸
T
мы будем рассматривать класс еѐ позитивно 
экзистенциально замкнутых моделей 
𝐸
+
. Такой подход для класса 
𝐸
T
- класса 
экзистенциально замкнутых моделей произвольной универсальной теории 
𝑇 
был 
рассмотрен в [6]. 
Так как относительно йонсоновских теорий возможны два случая: совершенный и 
несовершенный, то мы будем придерживаться следующего. Хорошо известно из [1], что 
если йонсоновская теория 
𝑇 
совершенна, то класс еѐ экзистенциально замкнутых моделей 
𝐸
T
элементарен и совпадает с 
𝐸
T
∗
, где 
𝑇
∗
- еѐ центр. В противном случае, т.е. если теория 
𝑇 
несовершенна, мы поступаем как в [6], т.е. вместо 
𝐸
T
работаем с классом 
𝐸
+
. Когда 
рассматривается произвольная 
∂𝑃𝐽
-теория 
𝑇
, то класс 
𝐸
+
рассматривается как расширение 
𝐸
T
(оба класса всегда существуют), и в зависимости от совершенности и несовершенности 
теории 
𝑇 
теоретико-модельные свойства класса 
𝐸
+
представляют особый интерес. Для 
любой теории 
𝑇 
будем обозначать через 
𝑇
∀
+ 
теорию, аксиомы которой являются 
позитивные универсальные следствия теории 
𝑇
. 
Лемма 4 
Пусть 
𝑇
1
и 
𝑇
2
- 
∂𝑃𝐽
-теории, причем 
𝐶
1
- семантическая модель 
𝑇
1
, 
𝐶
2
- 
семантическая модель 
𝑇
2
. Если 
(𝑇
1
)
∀
+ 
= (𝑇
2
)
∀
+ 
, то 
𝑇
1
⋈
∂PJ
𝑇
2
. 
Теорема 2 
Пусть 
𝑇
1
и 
𝑇
2
- 
∂𝑃𝐽
-теории, причем 
𝐶
1
- семантическая модель 
𝑇
1
, 
𝐶
2
- 
семантическая модель 
𝑇
2
. Тогда эквивалентны следующие условия: 
1) 
𝐶
1
⋈
∂PJ
𝐶
2
, 
2) 
𝐶
1
≡
∂PJ
𝐶
2
, 
3) 
𝐶
1
= 𝐶
2
. 
Определение 13 
([7]) Пусть 
𝐴 
- непустое множество, 
〈𝑆;⋅, 𝑒〉 
– моноид. 
Алгебраическая система 
〈𝐴; 〈𝑓
α
: 𝛼 ∈ 𝑆〉〉 
с унарными операциями 
𝑓
α
, 
𝛼 ∈ 𝑆 
, назовается 
полигоном над 
𝑆
, если выполняются следующие условия. 
𝑓
e
(𝑎) = 𝑎 
для всех 
𝑎 ∈ 𝐴
; 
𝑓
αβ
(𝑎) = 𝑓
α
(𝑓
β
(𝑎)) 
для всех 
𝑎 ∈ 𝐴 
и всех 
𝛼, 𝛽 ∈ 𝑆
. 
Пусть 
𝑎 ∈ 𝐴
, тогда 
𝑆
a
= {𝑓
α
(𝑎): 𝛼 ∈ 𝑆}
; если 
𝑎¯
– кортеж элементов из 
𝐴
, то 
𝑆
a¯
= 
⋃
a
i
∈a¯
𝑆
a
i
. Множество 
𝐶
a
= {𝑏 ∈ 𝐴: 𝑏 ∈ 𝑆
a
или 
𝑎 ∈ 𝑆
b
} 
называется компонентой. 
Предложение 1 
([7]) Если 
𝑇 
теория полигонов и для любого 
𝑓: 𝑆
a
⋍ 𝑆
b 
существует 
𝑔 ⊃ 𝑓 
такой, что 
𝑔: 𝐶
a
⋍ 𝐶
b
, тогда 
𝑇 
допускает элиминацию кванторов. 
Всюду в дальнейшем будем рассматривать полигоны над группой 
𝐺 
и 
соответственно теории полигонов над группой. 
Теорема 3 
([7]) Пусть теория 
𝑇 
полигонов имеет бесконечную модель. Тогда 
(1)
𝑇 
индуктивна; 
(2)
если 
𝑇 
обладает свойством совместного вложения, то она также обладает 
свойством амальгамирования; 
(3)
если 
𝑇 
полна, то она допускает элиминацию кванторов и является примитивом. 
Теорема 4 
([7]) 1) Каждая 
𝛼 
-йонсоновская теория полигонов совершенна и 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: