Методические рекомендации по  изучению темы

Методические рекомендации по  изучению темы
Изучаемые вопросы:
♦  Позиционные  и  непозиционные  системы  счисления.
♦  Основные понятия позиционных систем: основание, алфавит.
♦  Развернутая  форма представления  чисел в  позиционных си­
стемах.
♦  Перевод чисел  из  одной  системы  в другую.
♦  Особенности двоичной  арифметики.
♦  Связь между двоичной и шестнадцатеричной системами.
Ученики,  безусловно,  знакомы  с  записью  чисел  как  римски­
ми,  так  и  арабскими  цифрами.  Они  привыкли  видеть  римские 
цифры  в  обозначении  глав  в  книге,  в  указании  столетий  (XX  в.) 
и  в  некоторых других  нумерациях.  Математические  расчеты  они 
всегда производили в арабской системе чисел.  В данной теме учи­
телю  предстоит раскрыть перед учениками  эти,  казалось бы,  зна­
комые  вещи  с  новой  стороны.
С методической точки зрения бывает очень эффективным при­
ем,  когда  учитель  подводит  учеников  к  самостоятельному,  пусть 
маленькому,  открытию.  В данном случае  желательно,  чтобы  уче­
ники  сами  подошли  к  формулировке  различия  между позицион­
ным и непозиционным принципом записи чисел. Сделать это мож­
но,  отталкиваясь  от  конкретного  примера.  Напишите  на  доске 
два числа:
XXX 333
Первое  —  римское  тридцать,  второе  —  арабское  триста  трид­
цать три. И задайте вопрос: «Чем отличается принцип записи мно­
гозначных чисел  римскими  и  арабскими  цифрами?»  Скорее  все­
го,  вы сразу не услышите тот ответ,  который бы хотели получить. 
Тогда,  указывая  на  отдельные  цифры  римского  числа,  спраши­
вайте:  «Что  (какое  количество)  обозначает  эта  цифра?»  Получите 
ответ:  «Десять!»  —  «А эта  цифра?»  —  «Десять!»  —  «А эта?»  —  «Де­
сять» — «Как получается значение данного трехзначного числа?» — 
«Десять прибавить десять, прибавить десять, получается тридцать!» 
А  теперь  переходим  к  числу  333.  Снова  задаем  вопросы:  «Какое 
количество  в  записи  числа  обозначает  первая  цифра  справа?»  — 
«Три единицы!»  —  «А вторая цифра?»  — «Три десятка!» —  «А тре­
тья  цифра?» — «Три сотни!»  — «А как получается общее значение 
числа?»  —  «К трем  единицам  прибавить три десятка и прибавить 
три  сотни  получится  триста тридцать три!»
Из  этого  диалога  следуют  все  правила,  которые  учитель  дол­
жен сообщить ученикам.  В  римском способе записи чисел значе­
ние,  которое  несет  каждая  цифра  в  числе,  не  зависит  от  позиции 
этой цифры.  В арабском же способе значение,  которое несет каж­
дая  цифра  в  записи  числа,  зависит  не  только  от  того,  какая  это 
цифра,  но  и  от  позиции,  которую  она  занимает  в  числе.  Сделав
165

ударение на слове «позиция», учитель сообщает, что римский спо­
соб записи чисел называется непозиционным,  а арабский — пози­
ционным.  После этого можно  ввести термин «система счисления».
Система счисления — это определенный способ представления чисел 
и  соответствующие ему правила  действия над  числами.
Римский  способ записи  чисел является примером непозиционной 
системы счисления, а арабский  — это позиционная система счисления.
Следует  подчеркнуть  связь  между  способом  записи  чисел  и 
приемами  арифметических  вычислений  в  соответствующей  сис­
теме  счисления.  Предложите  ученикам  выполнить  умножение, 
например,  числа  сто  тридцать  четыре  на  семьдесят  шесть,  ис­
пользуя  римскую  и  арабскую  системы  счислений!  С  арабскими 
числами  они легко справятся,  а также смогут убедиться,  что  рим­
ские цифры  — не помощники в вычислениях.  В римской системе 
нет  простых  и  понятных  правил  выполнения  вычислений  с  мно­
гозначными числами. Для арабской системы такие правила извес­
тны  еще  с  IX  в.  В  этой  теме  полезно  рассказать  ученикам,  что 
правила выполнения вычислений с многозначными числами были 
разработаны  выдающимся  математиком  средневекового  Востока 
Мухамедом  аль-Хорезми  и  в  Европе  были  названы  алгоритмами 
(от латинского написания имени аль-Хорезми  — Algorithmi). Этот 
факт  следует  напомнить  позже,  при  изучении  алгоритмизации. 
Итак,  именно  позиционные  системы  счисления  стали  основой 
современной  математики. Далее,  как и в математике,  в информа­
тике  мы  будем  иметь дело  только  с  числами  в  позиционных сис­
темах счисления.
Теперь  нужно дать понять ученикам,  что позиционных систем 
счисления существует множество,  и отличаются они друг от друга 
алфавитом  —  множеством  используемых  цифр.  Размер  алфавита 
(число  цифр)  называется  основанием  системы  счисления.  Задайте 
вопрос:  «Почему арабская  система называется  десятичной систе­
мой  счисления?»  Наверняка  услышите  в  ответ  про  десять  цифр  в 
алфавите. Делаем вывод: основание арабской системы счисления равно 
десяти,  поэтому она называется  десятичной.
Следует  показать  алфавиты  различных  позиционных  систем 
счисления.  Системы с основанием не больше  10 используют толь­
ко арабские цифры.  Если же основание больше  10, то в роли цифр 
выступают латинские буквы в алфавитном порядке.  Из таких сис­
тем  в дальнейшем  будет  рассматриваться  лишь  шестнадцатерич­
ная система.
Далее  нужно  научить  учеников  записывать  натуральный  ряд 
чисел  в  различных  позиционных  системах.  Объяснение  следует 
проводить  на  примере десятичной  системы,  для  которой  вид  на­
турального  ряда чисел  им  хорошо  известен:
1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10,  11,  ...,  19,  20,  ...,  99,  100,  101,  ...
166

Принцип  построения  ряда такой:  сначала в порядке  возраста­
ния  значений записываются  все  однозначные числа;  первое  дву­
значное число  — всегда  10  (у многозначных целых чисел 0 впере­
ди  не  является  значащей  цифрой  и  обычно  не  пишется).  Далее 
следуют все двузначные сочетания  единицы  с другими  цифрами; 
затем  — двузначные  числа,  начинающиеся  с  2,  затем  —  с  3  и т. д. 
Самое  большое  двузначное  число  —  99.  Затем  идут  трехзначные 
числа,  начиная  от  100 до  999  и  т. д.
По такому же принципу строится натуральный  ряд  и в других 
системах счисления. Например,  в четверичной системе (с основа­
нием  4):
1,  2,  3,  10,  11,  12,  13,  20,  21,  22,  23,  30,  31,  32,  33,  100,
101,  102,  103,  110,  111,  ...,  333,  1000,  ...
Аналогично  и для других  систем.  Наибольший  интерес  пред­
ставляет натуральный ряд двоичных чисел.  Вот как он выглядит:
1

жүктеу/скачать 32,34 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: