Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

13.  системы уравнений  с двумя переменными
133
13.9.
•
 Не выполняя построения, найдите координаты точек пере-
сечения:
1) прямой 3x – y = 1 и параболы y = 3x
2
 + 8x – 3;
2) прямой 2x – y = 2  и гиперболы  y
x
=
4
;
3) прямой x + y = 1 и окружности (x – 1)
2
 + (y + 4)
2
 = 16;
4) парабол y = x
2
 – 4x + 7 и y = 3 + 4x – 2x
2
.
13.10.
•
 Докажите, что прямая y – x = 3 является касательной к окруж-
ности (x + 5)
2
 + y
2
 = 2, и найдите координаты точки касания.
13.11.
•
 Докажите, что:
1) прямая y = –2x – 4  и парабола  y = 6x
2
 – 7x – 2 не пересекаются;
2)  парабола y = 4x
2
 – 3x + 6  и прямая  y = x + 5 имеют одну общую 
точку, найдите координаты этой точки;
3)  параболы  y = 4x
2
 – 3x – 24 и y = 2x
2
 – 5x имеют две общие точки, 
найдите их координаты.
13.12.
•
 Решите систему уравнений:
1) 
1
1
1
12
2
2
x
y
x y
− =
− =




,
;
 
2) 
4
3
1
5
3
x
y
x
y
+ =
+
=




,
.
13.13.
•
 Решите систему уравнений:
1) 
1
1
3
2
1
x
y
x y
+ =
− =




,
;
 
2) 
1
1
4
5
3
8
x
y
x y
− =
+ =




,
.
13.14.
•
 Решите систему уравнений:
1) 
x y xy
xy x y
+ −
=
+
=



1
20
,
(
)
;
 
5) 
y
x
y
x
xy
xy
+
= −
−
=






10
2
13
5
,
;
2) 
y
x
x
y
x y
− =
+ =




21
10
3
,
;
 
6) 
x y
xy
x y
2 2
6
2
3
+
=
− =



,
;
3) 
x
y
y
x
x
xy
y
+
=
+
−
=




6
5
4
3
18
2
2
,
;
 
7) 
3
2
2
5
2
2
1
2
2
(
)
(
)
,
(
)
.
x y
x
y
x
y
x y
+
+
−
=
−
− − =



4) 
1
1
5
6
1
1
1
6
x
y
x
y
+ =
− =






,
;

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
134
13.15.
•
 Решите систему уравнений:
1) 
x
y
y
x
x
y
+ =
−
=




2 5
2
3
3
, ,
;
 
4) 
x
y
y
x
x
y
+ =
−
=




10
3
2
2
72
,
;
2) 
x
y
x y
x y
x
y
x
y
−
+
+
−
−
=
+
=




2
2
15
4
4
5
3
,
;
 
5) 
4
7
15
2
5
1
2
(
)
(
)
,
;
x y
x y
x
y
−
+
−
=
+
=



3) 
1
4
1
2
4
10
x
y
y
x
+ =
− =






,
;
 
6) 
(
)
,
(
)
.
x y
x
y
x y
y
x
−
+
=
+
+
+
= −




2
2
2
35 2
2
3 2
13.16.
••
 Решите систему уравнений:
1) 
x
y
x y
3
3
1
1
+
=
+ =



,
;
 
3) 
x
y
xy
2
2
7
12
−
=
=



,
;
2) 
x
y
x
xy y
3
3
2
2
28
7
−
=
+
+
=




,
;
 
4) 
3
2
19
6
2
2
x
y
xy
−
=
= −



,
.
13.17.
••
 
Решите систему уравнений:
1) 
x
y
x y
3
3
56
2
−
=
− =



,
;
 
2) 
5
4
3
2
2
x
y
xy
−
= −
=



,
.
13.18.
••
 Решите систему уравнений:
1) 
3
2
2
2
5
y
xy
x
xy
−
=
+
=



,
;
 
3) 
x
y
x y
x
y
x y
2
2
2
2
18
6
+
+ + =
−
+ − =




,
;
2) 
xy y
xy x
+ =
+ =



30
28
,
;
 
4) 
2
5
3
2
10
5
2
7
8
10
2
2
x
xy
x
y
xy
x
x
y
−
+
−
=
−
+
−
=




,
.
13.19.
••
 
Решите систему уравнений:
1) 
x y xy
x y xy
+ −
=
+ +
=



1
9
,
;
 
3) 
xy x
xy y
− =
− =



24
25
,
;
2) 
3
2
4
3
8
xy
x
xy y
+
= −
+ = −



,
;
 
4) 
2
66
2
34
2
2
2
2
x
y
x
y
+
=
−
=




,
.
13.20.
••
 Решите систему уравнений:
1) 
x
xy
y
x
y
2
2
12
36
36
6
8
−
+
=
+
=



,
;
 
3) 
x
y
xy
2
2
25
12
+
=
=



,
;
2) 
y
xy
x
xy
y
2
2
2
2
32
6
9
100
−
=
+
+
=




,
;
 
4) 
9
10
1
2
2
x
y
xy
+
=
= −



,
.

13.  системы уравнений  с двумя переменными
135
13.21.
••
 
Решите систему уравнений:
1) 
x
xy
y
x
y
2
2
10
25
49
5
3
+
+
=
−
= −



,
;
 
3) 
x
y
xy
2
2
10
3
+
=
=



,
;
2) 
x
xy
y
x
y
x
y
2
2
4
4
4
2
2
4
+
+
=
+
+
=



,
;
 
4) 
x
y
xy
2
2
25
104
4
+
=
= −



,
.
13.22.
••
 При каких значениях a система уравнений 
x
y
x y
a
2
2
9
+
=
− =



,
1) имеет одно решение; 
3) не имеет решений?
2) имеет два решения;
13.23.
••
 
При каких значениях k система уравнений 
y x
y kx
−
=
=
+



2
4
3
,
1) имеет одно решение; 
3) не имеет решений?
2) имеет два решения;
13.24.
*
 Сколько решений в зависимости от значения a имеет си-
стема уравнений:
1) 
y
x
x
y
a
=
+ =




,
;
2
  2) 
x
y
a
x
2
2
2
4
+
=
=




,
;
    3) 
y x
xy
a
− =
=



1,
;
   4) 
x
y
y
x
a
2
2
2
4
+
=
=
+




,
?
13.25.
*
 Сколько решений в зависимости от значения a имеет си-
стема уравнений:
1) 
x
y
a
y
2
2
1
+
=
=




,
;
 
2) 
x
y
y
a
x
2
2
9
+
=
= −




,
;
 
3) 
x
y
a
xy
2
2
2
4
+
=
=



,
?
13.26.
*
 Даны два уравнения ax
2
 + x + 1 = 0 и x
2
 + ax + 1 = 0. Найдите все 
значения a, при которых эти уравнения имеют по крайней мере 
один общий корень.
Упражнения Для пОвтОрения
13.27. Докажите, что значение выражения 25
10
 – 5
17
 кратно числу 31.
13.28. Упростите выражение 
5
5
3
1
1
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
+
−
+
−
+
−




:
.
13.29. Решите систему неравенств
2
3
3
2
1
7
3
2
(
)
(
),
.
x
x
x
x
−
−
+
−




l
m

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: