Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины
Числовые последовательности 153
жүктеу/скачать 4,65 Mb. Pdf көрінісі
|
| 15. Числовые последовательности
153 В таких случаях говорят, что последовательность задана с по- мощью формулы n-го члена последовательности. Рассмотрим несколько примеров. Формула a n = 2n – 1 задает последовательность натуральных не- четных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, ... . Формула y n = (–1) n задает последовательность (y n ), в которой все члены с нечетными номерами равны –1, а с четными номерами равны 1: –1, 1, –1, 1, –1, ... . Формула c n = 7 задает последовательность (c n ), все члены которой равны числу 7: 7, 7, 7, 7, 7, ... . Приведенные способы задания последовательностей помогают проследить связь между понятиями «функция» и «последователь- ность». Рассмотрим функцию y = f (x), областью определения которой является множество натуральных чисел или множество n первых натуральных чисел. Тогда функция f задает бесконечную последо- вательность f (1), f (2), ..., f (n), ... или конечную последовательность f (1), f (2), ..., f (n). Например, если функция f, областью определения которой явля- ется множество натуральных чисел, задана формулой f (x) = x 2 , то эта функция задает последовательность квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, ... . Нередко последовательность задают правилом, которое позволяет найти следующий член, зная предыдущий. Рассмотрим последовательность (a n ), первый член которой равен 1, а каждый следующий член последовательности в 3 раза больше предыдущего. Имеем: 1, 3, 9, 27, 81, ... . Эту же последовательность также можно определить такими условиями: a 1 = 1, a n + 1 = 3a n . Эти равенства указывают первый член последовательности и пра- вило, с помощью которого по каждому члену последовательности можно найти следующий за ним член: a 1 = 1, a 2 = 3a 1 = 3, a 3 = 3a 2 = 9, a 4 = 3a 3 = 27, и т. д. |