Алматы 2017 январь

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

437 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

2

0 0

( , )

.

T L

x

z

t x dxdt





 

 

Принимая во внимание, что 

(0, )

0,   

( , 0)

0,   

( , )

x

x

z

x

z t

z t L

h











, последнее равенство можно 

записать следующим образом: 





2

0 0

0

( , )

( , )

( , )

L T

t

x

t x

t x z t x dtdx





 



 



 

 

0

( , ) ( , )

L

z T x

T x dx









0

( , )

( , )

( , )

( , 0)

( , 0)

.

T

x

x

h

t L

z t L

t L

z t

t

dt



















 

Пусть функция 

( , )

t x



, выбранная нами в самом начале произвольная, удовлетворяет в той же 

области некоторым ограничениям:  

 

2

( , )

( , )

0

t

x

t x

t x







 



, 

( , )

0

T x





, 

( , )

0

x

t L







.                                 (16) 

 

Это  позволит  максимально  упростить  последнее  выражение.    Второе  граничное  условие  нам 

ещё  предстоит  выбрать  для  полного  определения 

( , ).

t x



  С  учётом  сделанных  предположений 

относительно 

( , )

t x



, последнее выражение можно упростить  

0

0

( , )

( , 0)

( , 0)

T

T

x

t L hdt

z t

t

dt





 







. 

Значит выбрав  





( , 0)

2

( , 0; )

( )

x

t

u t

y

a t





 



                                              

(17) 

получаем  





0

0

( , )

2

( , 0)

( , 0; )

( )

T

T

t L hdt

z t

u t

y

a t dt











.                                     (18) 

С учётом выбранного 

( , ; )

( , )

u t x y

z t x







 и равенств (11) и (18) можно заключить: 

 





 

2

0

0

( , )

( , 0; ) .

T

T

I y

h

I y

t L hdt

z t

y dt





















 

 

Заметим, что условия (16) и (17)  позволяют найти однозначно функцию 

( , )

t x



 и составляют 

краевую задачу (7) – (10). Переходя к пределу при 

0





 получим, что 

 

( , )

I y

t L







. Зависимость 

решения  краевой  задачи  (1)  –  (4)  от 

y

  определяет  некоторый  аффинный  оператор.  Тогда  этот 

оператор  дифференцируем,  а  значит,  существует  предел  величины 

z

  при 

0.





  Тем  самым  мы 

нашли производную функционала

I 

. Теорема доказана.  

Имея  явное  выражение  для  градиента  функционала,  мы  можем  запустить  итерационный 

процесс  (6).  Для  этого  нужно  выбрать  начальное  приближение 

0

( )

y t

  и  задать  способ  выбора 

коэффициентов 

0

n

 

. А также смотрите [1], [2], [3], [7]для различных других ситуаций.  

 

2  Алгоритм решения задачи 

Общая схема пошагового решения задачи. 

1). Задание начальных параметров:  



 – отклонение 

( , 0; )

u t

y

 от 

( )

a t

 по норме 

H

;  

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

438 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

L

h

N



 – шаг по 

x

, 

T

M

 

 –  шаг по 

t

 (в численных алгоритмах);  

Задаём функции 

( , )

f t x

, 

( )

x



, 

( )

b t

, 

( )

a t

; 

Выбираем начальное приближение

0

( )

y t

. 

2). Решаем прямую задачу (1) – (4).  

3). Вычисляем значение функционала 

( )

I y

;  

Если 

 

I y





, тогда алгоритм прекращается и результаты выводятся на экран.  

Если 

 

I y





, тогда выполняется пункт 4). 

4). Решаем сопряженную задачу (7) – (10) и находим 

 

( , )

I

y

t L







. 

5). Выбираем постоянное значения для  



;  

6). Строим следующее приближение 

1

( )

n

y

t



 по формуле (6): 

1

( )

( )

( , ).

n

n

n

y

t

y t

L t

 







 

Переходим к пункту  2). 

 

3 Аппроксимация прямой и обратной задач  

Прямая задача (1) – (4) может быть аппроксимирована как, [13], [14]: 

 

 

 

3

1

1

1

1

1

2

2

2

1

2

1

1

1

j

j

j

j

j

j

i

i

i

i

i

i

u

u

u

f

u

u

h

h

h





























 





















,              (19) 

0

i

i

u





,  

0,1, 2,...,

i

N



,                                                                      (20) 

 

0

1

j

j

j

u

u

b h





, 

,..., 0

j

M



,                                                               (21)  

1

j

j

N

N

j

u

u

y h







,

,..., 0

j

M



.                                                                (22) 

 

Сопряженная задача (7) – (10) может быть аппроксимирована как: 

 

1

1

1

2

2

2

1

2

1

1

1

j

j

j

j

i

i

i

i

h

h

h

































 

















, 

1,

2,..., 0

j

M

M







,   (23) 

0

M

i





,  

0,1, 2,...,

i

N



,                                                                    (24) 

1

0

j

j

N

N











,   

,..., 0

j

M



,                                                          (25) 





0

1

0

2

j

j

j

j

h u

a











,  

,..., 0

j

M



.                                                (26) 

 

 

4.  Аппроксимация функционала 

Мы аппроксимируем значения функционала 

 





2

0

(0, ; )

( )

T

I y

u

t y

a t

dt







 обычной формулой 

прямоугольников: 

 





1/ 2

1

2

0

0

M

j

j

j

I y

u

a

























.                                                           (27) 

 

 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

439 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

5. Выполнение вычислительных экспериментов 

Далее  используется  разработанный  численный  алгоритм  для  решения  исходной  задачи  со 

следующими начальными данными: 

Пусть 

( , )

x t

u t x

e





  –  решение  задачи  (1)  –  (4),

(

1)(

)

( , )

2

p

x t

x t

f t x

e

e











  –  свободный  член 

уравнения  (1),

( )

x

x

e





–  начальная  температура,

( )

2

t

b t

e





  –  левое  граничное  условие, 

( )

t

a t

e





– 

дополнительная  информация,

1

( )

t

y t

e





  –  точное  решение  исходной  задачи,

0

( )

2

y t 

  –  начальное 

приближение.  

Рассматриваются  различные  степени  нелинейности,  а  именно  значения   

1

,  2,  4

2

p





 







.    Мы 

решаем задачу для всех выбранных значений 

p

, выбирая  

1

T 

, а затем и 

10

T 

. 

Во  всех  случаях  мы  используем 

100

N 

и 

100

M 

(число  шагов  по  временной    и 

пространственной  переменной  соответственно),  если  не  оговорено  противное.  Такие  параметры  как 



, 



, также как и количество итераций и отклонение полученного решения от точного по норме 

H

 

даются  в  подписях  к  соответствующим  рисункам.  Наша  цель  проанализировать  как  различные 

степени нелинейности (значение 

p

отвечает за это) влияют на численный алгоритм. Здесь мы имеем 

два противоположных фактора, влияющих на результат. 

Во-первых,  мы  понимаем,  что  большие 

степени  нелинейности  будут  сказываться  негативно.  Численный  алгоритм  будет  иметь  большие 

погрешности  и  поэтому  полученное  решение  будет  не  столь  точным.  Во-вторых,  если  рассмотрим 

уравнение с нечётной степенью нелинейности:

2

2

1

( , )

( , )

( , )

( , )

m

t

x

u t x

u t x

u

t x

f t x





 





.  

Умножим  обе  части  этого  уравнения  на  функцию 

( , )

u t x

  и  после  интегрирования  по  всей 

области 

0

,   0

 

t

T

x

L

 

 

 мы получим:









2

2

2

m

t

x

u u

u u

u

f u





 



 













. 

Используя 

интегрирование 

по 

частям 

и 

преобразование 





t

u u





 

получим                    

2

2

2

2

1

2

m

t

x

u

u

u

f u





 















.Левая часть уравнения содержит норму функции 

u

и поэтому мы 

ожидаем лучшие свойства самого уравнения.  

Эксперимент 1. 

Следующие  три  рисунка  представляют  собой  графики  полученных  численным  способом 

решения для различных значений

p

и

1

T 

. Можно проследить совершенно явно как это сказывается 

на  решении.  Во  всех  описанных  ситуациях  точным  решением  является 

1

( )

t

y t

e





  одно  и  тоже, 

однако, функция, свободный член 

(

1)(

)

( , )

2

p

x t

x t

f t x

e

e











 разный.  

 

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,

00

0,

04

0,

08

0,

12

0,

16

0,

20

0,

24

0,

28

0,

32

0,

36

0,

40

0,

44

0,

48

0,

52

0,

56

0,

60

0,

64

0,

68

0,

72

0,

76

0,

80

0,

84

0,

88

0,

92

0,

96

1,

00

жүктеу/скачать 28,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: