Тақырып: Шашыраудың амплитудасы. Борн жуықтауы. Резерфорд формуласы

Егер қандай болса да бөлшектер шоғы затқа түссе, онда бөлшектер заттың қарсы келген бөлшектерімен соқтығысулары нәтижесінде өзінің бастапқы жолынан ауытқиды. Осы ауытқуды шашырау процесі, ал затты шашыратқыш деп атайды. Егер шашырау кезінде соқтығысатын бөлшектер бір-біріне айналмаса және олардың ішкі күйі өзгермесе, онда мұндай шашыру серпімді шашырау деп аталады.

Шашырау процесін зерттей отыра, газ разрядындағы электрондардың тежеуін, газ молекулаларының соқтығысуын, радиоактивті және ғарыштық сәулелер бөлшектерінің тежеуін қарастыруға болады. Ол үшін шашырау ықтималдығын анықтау керек. Сонымен қатар, шашырау процесін біле отырып, шашыраған және шашыратушы бөлшектердің табиғатын анықтауға болады. Атомдық және ядролық физикадағы көптеген біз білетін мәліметтер шашырау процесін зерттеу нәтижесінде алынды. Мысал ретінде, атомдық ядроның болуы Резерфорд тәжірибелеріндегі - бөлшектердің шашырауын зерттеу нәтижесінде тағайындалды.

Біз классикалық механикада екі дене мәселесін қарастырғанбыз, онда серпімді соқтығысу мәселесі қозғалмайтын күштік центрдің өрісінде келтірілген массаға ие болатын бір бөлшектің шашырау мәселесіне саяды. Келтірілген массаны

деп белгілейік. Мұнда массасы -ге тең бөлшек массасы -ге тең бөлшектен шашырайды, олардың өзара әрекеті потенциалдық өріске тәуелді, ал - салыстырмалы координата. Сонымен, потенциалдық өрістегі қозғалыс соғылысатын бөлшектердің инерция центрімен байланысты координаталар жүйесіне ауысуына байланысты болады. Инерция центрі жүйесіндегі шашырау процесін қарастырайық (22-сурет). Бұл суретте -шашырау бұрышы, ал шашырау процесінің бастапқы мезетінде ақырсыз қашықтықтағы екі бөлшектің біріне-бірі қарсы қозғалысы көрсетілген. Олар жақындағанда бөлшектердің арасындағы өзара әрекет олардың қозғалысының күйін өзгертеді, содан кейін бөлшектер жан-жаққа ұшып кетеді. Шашырау процесінің соңғы

22- сурет

Өзіміз білетіндей шашыраған бөлшектер центрден үлкен қашықтыққа алыстатылса еркін қозғалады, яғни олардың қозғалысының энергиясы әрқашан оң болады және квантталмайды. Сонымен, бөлшектер серпімді шашыраса, олардың энергетикалық спектрі үзіліссіз болады. Келтірілген массасы болатын бөлшектің толқындық функциясы , ал энергиясы болса, ол үшін Шредингер теңдеуі мына түрде жазылады

.

Толқындық санды енгіземіз

Сонда Шредингер теңдеуі мына түрге келеді

. (42.1)

Потенциалдық өріс кеңістіктің белгілі бір шектелген аймағында нөлден өзгеше болсын. Кеңістіктің бұл бөлігі күштердің әрекет аймағы деп аталады. Күштердің әрекет аймағының сыртында бөлшектер еркін қозғалады, олардың қозғалыс күйі жазық толқынмен сипатталады

, . (42.2)

Бұл жазық толқын оң жағы нөлге тең (42.1) теңдеуді қанағаттандырады, ал салыстырмалы қозғалыстың импульсімен мына қатыспен байланысты:. (42.2) толқындық функцияны сондай түрде нормалау керек, ол үшін толқындағы ағын тығыздығы бөлшектердің жылдамдығына тең болады

, (42.3)

мұндағы . (42.3) формуладағы - түсуші бөлшектер ағынын сипаттасын деп ұйғарайық, олардың қозғалыс күйі (42.2) жазық толқынға сәйкес келеді. Өзара әрекет нәтижесінде бөлшектердің шашырауы пайда болады. Біздің міндетіміз (42.1) теңдеудің шешімдерін табу, олар екі шешімнен тұрады. Бірінші шешім (42.2) жазық толқын болады, ол (42.1) теңдеудің оң жағы нөлге тең болғанда пайда болады

Осы жағдайды қарапайым физикалық тұрғыдан қарастырайық. Егер шашыратқыш центрден алыста қозғалатын бөлшекті сипаттайтын толқындық функцияны қарастырсақ, оны түсуші және шашыраған толқындардың қосындысы ретінде қарастыруға болады.

Бұл шешімдерді Грин функцияларының көмегімен қатаң түрде алуға болады. Грин функциясы мына теңдеуді қанағаттандырады

. (42.4)

Мұндағы оператор (42.1) теңдеудің сол жағындағы оператор, ол бөлшектің еркін қозғалысының операторы болып келеді. Ал, еркін қозғалыс операторының Грин функциясы болады, ол (42.4) нүктелік көзді теңдеуді қанағаттандырады. Егер (42.4) теңдеудің шешімі белгілі болса, онда

(42.5)

, (42.6)

мұндағы - оң жағынсыз (42.5) теңдеудің шешімі, . Есептеулер бойынша (42.4) теңдеудің шешімі шашыраған (кетуші) толқындарға сәйкес келеді

. (42.7)

(42.2) , (42.5) және (42.6) өрнектерге сәйкес (42.1) теңдеуді мына түрге түрлендіруге болады

(42.8)

немесе

Мұндағы радиус – вектор бойынша бағытталған толқындық вектор. Ол шашыраған толқынның таралу бағытын сипаттайды. Осы жіктеуді (42.8)-ге ауыстырып қойсақ, онда -дің асимптоталық мәні мына түрге келеді

, , (42.9)

мұндағы

. (42.10)

Егер -импульсі эффектив бөлшектің қозғалысын анықтайтын жазық толқын болса, онда (42.10)-ды жиырма бесінші параграфтағы белгілеулер бойынша мына түрде жазамыз

. (42.11)

функциясы шашырау амплитудасы деп аталады. (42.11) бойынша шашырау амплитудасы келтірілген массаға пропорционал болады және салыстырмалы қозғалыстың энергиясына, және векторлар арасындағы бұрышқа, шашырау потенциалына тәуелді болады. (42.10) бойынша, күштердің әрекет аймағынан үлкен қашықтықтарда шашыраған толқын шашырау амплитудасымен толық анықталады.

Бөлшектер ағынының шашырауы шашыраудың дифференциалдық қимасымен сипатталады. Бұл шама уақыт бірлігінде денелік бұрышқа шашыраған бөлшектер санының түсуші бөлшектер ағыны тығыздығына қатынасымен анықталады. Ал, аудан элементінен бір секундта бөлшектер өтеді, мұндағы ағынның радиалдық тығыздығы мына түрде жазылады

.
Егер (42.3)-ті еске түсірсек, онда серпімді шашыраудағы шашыраудың дифференциалдық қимасы мен шашырау амплитудасының арасындағы байланысты табамыз

. (42.12)

Сонымен, шашыраудың дифференциалдық қимасы шашырау амплитудасымен анықталады, оны есептеу үшін (42.8) интегралдық теңдеудің шешімін (42.11)-дің көмегімен табу керек. Егер өзара әрекет энергиясын шағын ауытқу деп қарастырсақ, онда (42.8) теңдеуді біртіндеп жуықтау әдісінің көмегімен шешуге болады. Нәтижесінде алатынымыз

(42.14)

. (42.15)

Егер (42.15)-ті (42.12)-ге ауыстырып қойсақ, онда бірінші борндық жуықтамадағы серпімді шашыраудың дифференциалдық қимасын есептеуге болады

. (42.16)

Біз (42.9) өрнекте толқындық функцияның асимтотикалық мәнін таптық, бірақ шашырау амплитудасын нақтылы түрде табу қиын мәселе қатарына жатады. Шынында, (42.11) өрнектегі шашырау амплитудасы белгісіз толқындық функция арқылы беріледі. Біздің назарымызды аударатын, керекті мәселелерде Шредингер теңдеуінің дәл шешімін табу үлкен математикалық қиыншылықтарға кездеседі. Сондықтан шашырау теориясында жуық әдістер кеңінен қолданылады. Олардың ішіндегі ең маңыздысы Борн әдісі болып табылады, оның көмегімен (42.15) шашырау амплитудасын және (42.16) серпімді шашыраудың дифференциалдық қимасын таптық. Борн әдісінің негізінде шашыратушы өріс шағын ауытқу деп қарастырылады, яғни шашыраған бөлшектің күштердің центрімен өзара әрекет потенциалдық энергиясы аз шама болады. Борн әдісі ядролық физикада жиі қолданылады.