Фурье қатарын мүшелеп дифференциалдау және интегралдау
жүктеу/скачать 19,38 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Функциялық қатар және оның нүктелі және орташа жинақталуы.
|
Лекция 13. Нүктелік және орташа жинақтылық. Фурье қатарын мүшелеп дифференциалдау және интегралдау Фурье қатарын мүшелеп дифференциалдау және интегралдау. функциясын, әдеттегідей, аралықта үзінді-үздіксіз деп ұйғарайық және айталық (10) Оның Фурье қатары болсын. Онымен бірге (бұл да үзінді-үздіксіз) төмендегіше анықталатын функциясын қарастырамыз: Мұның Фурье коэффициенттері мыналар: Егер осы функцияларға жалпыланған тұйықтылық (9) теңдеуін қолданатын болсақ, онда мынау шығады: (11) Сонымен, функциясынан алынатын интеграл оған сәйкес Фурье қатарын мүшелеп интегралдағанда шығады. Фурье қатарын мүшелеп интегралдау әрқашан мүмкін деген фактінің өзі-ақ тамаша емес пе, біз оны қатардың (10) өзінің функциясына жинақтылығын ұйғармай-ақ тағайындап отырмыз! Тіпті бұдан да басымырақ айтуға болады. (9) формулада g функциясының Фурье коэффициенттерінің мен орнына олардың белгілі өрнектерін қойып: Оны эквивалентті түрге келтіреміз: бұл теңдікті былай да түсіндіруге болады : функциясының Фурье қатарын (10) тіпті оның мүшелерін функциясына көбейткеннен кейін де мүшелеп интегралдауға болады – қосынды ретінде пен функцияларының көбейтіндісінен алынған интегралдың тап өзі шығады. Бұұл жерде аралықта интегралдау жөнінде әңгіме болып отыр. Егер біз басқа бір кез келген аралықты алатын болсақ, онда тек бұл аралықтан тыс жерде деп алудың өзі жеткілікті. Функциялық қатар және оның нүктелі және орташа жинақталуы. Сандық қатар сандық тізбектің арнайы түрі болса да, көп жағдайда пайдалы түр екені туралы алдыңғы тарауда айтылған еді. Сол сияқты, функциялық тізбекті функциялық қатар түріндегі қарастыру да көптеген жағдайда ұтымды болады. Дәл анықтамаларға көшелік. Е нақты сандар жиынында функциялық тізбегі берілсін. Символы функциялық қатар деп аталады. Егер функцциялық тізбегі Е жиынында нүктелі жинақталса, онда (2) қатары Е жиынында нүктелі жинақталады, ал Е жиынында анықталған функциясын (2) қатарының шектік функциясы, нүктелі қосындысы не нүктелі шегі деп атайды. Сонымен, функциялық қатар жинақталуы сол қатар бойынша құрылған F()дербес қосындылары функциялық тізбегінің жинақталуы арқылы анықталады.Керісінше, сандық тізбектер мен қатарлар жағдайында сияқты анықталған әр функциялық тізбегі үшін дербес қосындылар тізбегі дәл осы тізбек болатын функциялық қатар құруға болады. Ол үшін , жалпы, деп алсақ болғаны. Бұдан мынадай маңызды қорытынды шығады: функциялық тізбектер үшін дәлелденген тұжырымды функциялық қатарлар жағдайына аударуға болады, кері тұжырым туралы да соны айтуға болады. Мәселен, алдыңғы пункте келтірілген мысалдар функциялық қатардың нүктелі жинақталуы мен оның шектік функциясын есептеу мысалдары да болады. Төменде, ыңғайына қарай, теоремалар функциялық қатарлар не тізбектер үшін дәлелденеді. Е жиынында функциялық тізбегі мен функциясы берілсін. Егер әр оң саны бойынша барлық және барлық үшін теңсіздігі орындалатындай оң саны табылса, онда функциялық тізбегі E жиынында функциясына орташа жинақталады дейді де, деп белгілейді. Кванторлар тілінде былай жазылады: Егер Е жиынында анықталған Функциялық қатардың дербес қосындыларынан құрылған функциялық тізбек E жиынында функциясына бірқалыпты жинақталса, онда Функциялық қатары функциясына E жиынында орташа жинақталады дейді. жүктеу/скачать 19,38 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|