-Дәріс. Толқындық теңдеуі үшін Даламбердің сипаттамалық әдісі

40 

 

 

болады, мұндағы 

 - кез келген екі рет дифференциалданатын функциялар. 

Бұл функцияларды анықтау үшін бастапқы шарттар, ал кейбір жағдайда 

шекаралақ шарттар берілуі тиіс. 

x және t ескі айнымалыларына оралып есептің шешімін аламыз: 

 

, 

 

мұндағы 

  -  тік  толқынды  сипаттайды,  яғни 

  қисығы  а 

жылдамдығымен  оң  жаққа  ығысады,  ал 

  -  кері  толқынды 

сипаттайды, яғни 

 қисығы а жылдамдығымен сол жаққа ығысады. 

Айталық  шексіз 

  ішек  үшін  Коши  есебін  қарастырайық, 

ол келесі бастапқы шарттарды қанағаттандыратың болсын: 

 

,         

.                           (9.1) 

 

Енді 

 функцияларын интегралдаймыз, онда шешімі: 

 

.                     (9.2) 

 

(9.2) формуланы Даламбер формуласы деп атайды. 

Егер  ішек  жартылай  шексіз  болса 

,  онда  (9.1)  бастапқы 

шарттарға қосымша 

 нүктесінде шекаралық шарт жазылады. 

а) ішек 

 нүктесінде қатты бекітілсе, онда  

 

,                                                       (9.3) 

 

ә) 

 нүктесінде бос болса, онда  

 

,                                                     (9.4) 

 

б) 

 нүктесінде серпімді бекітілсе, онда 

. 

 

(9.1),  (9.3)  шарттардан 

  аламыз.  Енді  (9.3),  (9.4)  шарттарды 

ескерсек,  онда  жартылай  шексіз  шектің  тербелісі  туралы  есептің  шешімі 

шексіз  ішектің  тербелісі  туралы  есебіне  келтіріледі.  Ол  үшін  (9.3)  бастапқы 

шартт  тақ  жолымен  (тақтылықпен)  барлық  ось  бойынша  жалғастырылады, 

яғни 

 

41 

,        

. 

 

Ал (9.4) шарты үшін жұп жолымен (жұптылықпен) жалғастырылады 

 

,       

. 

 

Мысал.  Біртекті  шексіз  ішектің  формасын  табу  керек,  егер,  оның 

бастапқы формасы: 

, ал бастапқы жылдамдығы 

 болса. 

Шешімі: Даламбер формуласын қолданамыз: 

 

  

 





=

−

−

+

+

=

+

=

+

−

)

sin(

)

sin(

2

1

sin

2

1

at

x

at

x

a

x

z

a

x

at

x

at

x

 

 

. 

 

жүктеу/скачать 1,79 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: