Коммерциялық емес акционерлік қоғам
-Дәріс. Фурье түрлендірулері және оның қасиеттері. Дербес
жүктеу/скачать 1,79 Mb. Pdf көрінісі
|
| 15-Дәріс. Фурье түрлендірулері және оның қасиеттері. Дербес
туындылы теңдеулерді Фурье мен Лаплас түрлендірулер арқылы шешу Дәріс мақсаты: Фурье түрлендірулері және оның қасиеттерімен таныстыру, коэффициенттері тұрақты екінші ретті дербес туындылы теңдеулер үшін Коши есебін Фурье мен Лаплас түрлендірулер арқылы шешу әдісін қарастыру. Егер функциясы өсінің кез келген ақырлы кесіндісінде Дирихле шартын қанағаттандырса және барлық
сандар өсінде
абсолют интегралданатын болса, яғни:
,
онда бұл функция үшін келесі теңдік орынды:
. (15.1) (15.1) формуланы Фурьенің интегралдық формуласы деп атайды, ал формуланың оң жағындағы интегралды Фурье интегралы деп атайды. (15.1) формуладан Фурье интегралының комплекс түрін алуға болады:
. (15.2) Функция (15.3) немесе
функциясының Фурье түрлендіруі немесе спектралді функция деп аталады. (15.2) формуладан аламыз:
, (15.4) 60 онда сәйкесінше Фурьенің кері түрлендіруі:
.
Егер жүп функция болса, онда Фурьенің косинус бойынша түрлендіруін аламыз:
және .
Ал егер тақ функция болса, онда Фурьенің синус бойынша түрлендіруін аламыз:
. Коэффициенттері тұрақты екінші ретті дербес туындылы теңдеулер үшін Коши есебін Фурье мен Лаплас түрлендірулер арқылы шешу. Біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуі үшін бастапқы шарты нөлге тең Коши есебін қарастырайық:
, ,
мұндағы үшін
функциясы интервалында абсолютті интегралданады.
және функциялар үшін Фурье түрлендіруін қолданамыз:
, (15.5) .
Енді
61 ескеріп
бейнелеуі үшін келесі есебін аламыз:
, .
Оның шешімі .
Фурьенің кері түрлендіруін қолданып, аламыз:
. Енді
функцияны (15.5) алмастырамыз, онда
. (15.6) Эйлер формуласы негізінде (15.6) келесі түрде жазамыз:
.
шешімі нақты функциялар класында ізделінеді, сонда
және (15.6) теңдеу келесі түрде жазылады:
. (15.7) Ішкі интегралды түрлендіріп, аламыз:
.
Алынғанды (15.6) қойып, есеп шешімін келесі түрде аламыз
. Енді сызықтық қасиетін қолданып жылуөткізгіштік біртекті теңдеуі үшін Коши есебінің шешімін Грин функциясы арқылы аламыз:
62 ,
ал біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуі үшін бастапқы шарты нөлге тең Коши есебінің шешімі:
.
Операциялық есептеу әдісі гиперболалық теңдеулермен қатар параболалық теңдеулермен байланысты көптеген шеттік есептерді шешуге мүмкіндік береді. Бұл жағдайда дербес туындылы теңдеулерді шешу мәселесі бейнелер арқылы жай дифференциалдық теңдеулердің шешімін табу есебіне келтіріледі. Бейнелер класындағы сәйкес есептерді шешу, әдетте ешқандай қиындық тудырмайды, бірақ бейнелерден бастапқы функцияларға өткен кезде көптеген қиындықтар туындайды.
|