Решение задач элементарной геометрии векторным методом
жүктеу/скачать 0,54 Mb.
|
|
Математика 10 Решение задач элементарной геометрии векторным методом Т.А. Тимошенко, профессор кафедры математики ДВГГУ §1. Некоторые сведения из векторной алгебры Векторный метод – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Он является сравнительно новой темой в школьном курсе геометрии, и овладение им вызывает трудности не только у учащихся, но и у учителей. Для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения геометрических задач. Приведем некоторые факты из векторной алгебры, применяемые в решении геометрических задач: Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано какой из его концов является началом, а какой концом. О бозначение: . Длина (модуль) вектора есть длина соответствующего отрезка, определяющего данный вектор. Длину вектора обозначают соответственно как . Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными векторами. При этом коллинеарные векторы называются сонаправленными , если они лежат в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей их начальные точки. Если же коллинеарные векторы лежат в разных полуплоскостях относительно этой прямой, то это противоположно направленные векторы . Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях называются компланарными. Два вектора и называются равными, если выполняются два условия: Запись: . Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают, обозначается . Нулевой вектор не имеет направления и его длина равна нулю: . К линейным операциям над векторами относятся умножение вектора на число, сложение и вычитание векторов. а) Умножение вектора на число. Произведением вектора на вещественное число называется такой вектор или , который удовлетворяет двум условиям: ; , при и при . В частности, вектор называется вектором, противоположным вектору . Если связать эту операцию понятием коллинеарных векторов, то имеет место теорема: Если и - два коллинеарных вектора, то существует такое вещественное число , что . Вектор называется единичным, если его длина равна единице: . При этом, вектор - единичный, т. к. . б) Сложение векторов. С уммой векторов и называется такой вектор (рис.2), который строится по правилу: откладываем вектор от произвольной точки О, затем строим вектор , тогда вектор-сумма направлен от начала первого вектора к концу второго, т.е. (правило треугольника). Тогда Суммой трех векторов, составляющих треугольник, является нулевой вектор. С войства сложения векторов: Сложение векторов коммутативно: (рис.3). Отсюда получаем сложение векторов по правилу параллелограмма. сложение векторов ассоциативно: (рис.4). Это позволяет складывать любое количество векторов. . . Свойство дистрибутивности связывает операции сложения векторов и умножения вектора на число: , где - вещественные числа. , - вещественное число. в) Вычитание векторов. Р азностью двух векторов и называется такой вектор , что . Из определения получаем правило построения разности двух векторов: откладываем оба вектора от общего начала О, тогда вектор-разность направлен от конца второго вектора к концу первого: (рис.5). Операция вычитания векторов связана со сложением: . Векторы можно не только складывать, вычитать и умножать на числа, но можно их перемножать между собой. Скалярным произведением вектора на вектор называется число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Для скалярного произведения выполняются следующие свойства: . . - необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и . . вещественное число. . жүктеу/скачать 0,54 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|