Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

 
66 
ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМДАРЫ МӘСЕЛЕСІ 
ВОПРОСЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК 
 
 
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АКУСТИКИ И ЕЕ КОРРЕКТНОСТЬ 
 
Г.А.Тюлепбердинова –  
к.ф.-м.н., ст. преподаватель КазНПУ им. Абая  
(Казахстан, г. Алматы) 
 
1. Введение:  Рассматривается  динамическая  обратная  задача  для 
уравнения  акустики.  Для  применения  градиентного    метода  Ландвебера, 
разрабатывается вычислительные методы  решения  нелинейной  обратной  задачи 
акустики. Доказываем условную устойчивость решения системы нелинейных 
уравнений Вольтерра [1] и определям константы устойчивости (постоянные 
Липшица). 
Определение  1  (Класс  решений  обратной  задачи).  Будем  говорить, 
что 
)
,
,
,
,
(
)
(
*
0
0




c
M
l
x


, если 
)
(x

 удовлетворяет следующим условиям: 
),
,
0
(
)
(
1
l
H
x


   
,
)
,
0
(
1


M
l
H

     
),
,
0
(
),
(
0
*
l
x
x





     
.
0
0
0


c

 
Определение  1  (Класс  исходных  данных).    Будем  говорить,  что  
)
,
,
(


l
G
g

, если g удовлетворяет следующим условиям: 
),
2
,
0
(
1
l
H
g

     
,
2
)
2
,
0
(
2



l
L
g
    
,
)
0
(




g
 
2. Объекты и методы исследований:   Предположим,  что  для  для 
)
2
(
)
1
(
, g
g
 
из 
класса 
)
,
,
(


l
G
 
существуют 
)
,
,
,
,
(
,
*
0
0
)
2
(
)
1
(





c
M
l


, 
удовлетворяющие обратной задаче 
,
0
,
0
),
,
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(





t
x
t
x
u
x
x
t
x
u
t
x
u
j
j
j
j
j
x
xx
tt


                      (1) 
              
,
0
|
)
,
(
0
)
(


t
j
t
x
u
                                                          (2) 
         
,
0
),
(
)
,
0
(
)
(



t
t
t
u
j
x

                                                     (3) 
              
.
0
),
(
)
,
0
(
)
(
)
(



t
t
g
t
u
j
j
                                                        (4) 
для j = 1 и j = 2. 
Учитывая, что 
,
)
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(



j
j
j
x
x
s



обозначим  
),
,
(
)
,
(
)
(
)
(
1
t
x
u
t
x
q
j
j
x

  
,
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2
x
s
x
q
j
j

  
 
.
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
3
)
(
x
s
x
s
x
q
j
j
j


                  (5) 
 
 
,
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
1










x
t
g
x
t
g
t
x
f
j
j
j
,
1
)
(
2



j
f
 
 
.
2
,
1
,
)
2
(
2
)
(
)
(
)
(
3




j
x
g
x
f
j
j

 
Поскольку 
,
2
,
1
),
,
,
,
,
(
*
0
0
)
(



j
c
M
l
j




  то  в  силу  обозначений  можно 
оценить 
,
2
,
1
,
)
(
2
)
(


j
M
q
q
l
L
j

                                         (6) 
где 
)
,
,
,
,
(
*




M
l
M
M
q
q

.  Пусть  вектор-функция 
,
)
,
,
(
3
2
1
T
q
q
q
q

  удовле-
творяет системе 

 
67 
).
(
)
,
(
),
,
(
)
,
(
)
,
(
l
t
x
t
x
f
t
x
Bq
t
x
q




                            (7) 
Решение  задачи  Aq  =  f  предполагается,  но  утверждается,  что 
существует единственное устойчивое решение для данных из окрестности 
точно  заданных,  то  есть  накладывается  ограничение  на  шум  во  входных 
данных. 
Для  условной  корректности  рассматриваемой  задачи,  в  отличие  от 
аналогичной  теоремы  в  [2]  в  нижеприведенной  теореме  при  выводе 
требуемой  константы  в  основном  неравенстве  использовалась  не  оценка 
вектора q, а оценки  
,
2
exp
2
2
*
2
2
))
(
(
1
2











lM
l
q
l
L
 
,
2
exp
2
2
*
2
2
2
)
,
0
(
2
2










lM
l
q
l
L
.
1
1
2
2
*
2
)
,
0
(
2
*
2
)
,
0
(
3
1
2




M
q
l
H
l
L


 
каждой  из  его  компонент 
.
,
,
3
2
1
q
q
q
  В  работе  [2]  в  выкладках  норма 
каждой  компоненты  оценивалась  через  норму  вектора  q,  так  как  оценка 
нормы вектора q есть сумма оценок его компонент. А в данной статье, как 
сказано,  выше,  уже  использовались  непосредственно  оценки  каждой  из  его 
компонент 
.
,
,
3
2
1
q
q
q
  
Теорема  Предположим,  что  для
 
 
2
,
1
,
2


j
l
L
f
i

,  существуют  решения 
обратной задачи  
 
 
2
,
1
,
2


j
l
L
q
j

 
 
 
 
 
 
 
   
.
,
,
2
,
1
,
,
,
l
t
x
j
t
x
f
Bq
t
x
q
j
j
j





                     (8) 
Тогда 
 
 
 
 
 
 
2
2
1
1
2
2
1
2
2
l
l
L
L
f
f
C
q
q




                                 (9)
 
Здесь 
























2
*
2
2
*
2
2
2
*
2
2
*
2
2
1
2
exp
5
1
5
50
15










lM
M
lM
M
C
 



























2
*
2
2
4
*
2
2
2
2
2
2
*
2
2
2
exp
10
2
25
25
5
3
exp












lM
l
M
l
l
M
l
l
 















2
*
2
2
4
*
4
2
exp
70
5
10








lM
l
l
M
l










2
*
2
2
*
2
2
2
2
5
exp
55






lM
M
l
             (10) 
Доказательство.  Введем 


),
,
(
)
,
(
)
(
~
)
(
~
)
,
(
~
)
,
(
~
)
2
(
)
1
(
3
2
1
t
x
q
t
x
q
x
q
x
q
t
x
q
t
x
q



 


),
,
(
)
,
(
)
(
~
)
(
~
)
,
(
~
)
,
(
~
)
2
(
)
1
(
3
2
1
t
x
f
t
x
f
x
f
x
f
t
x
f
t
x
f



 
 
 
 
).
(
)
(
)
(
~
)
2
(
)
1
(
x
f
x
f
x
f





 
Тогда из  (8)  следует 
).
(
)
,
(
),
,
(
~
)
,
(
)
,
(
)
,
(
~
)
2
(
)
1
(
l
t
x
t
x
f
t
x
Bq
t
x
Bq
t
x
q





 
Оценим первую компоненту 
1
~
q
: 

 
68 
)
(
~
2
1
)
,
(
~
)
,
(
~
3
1
1
x
q
t
x
f
t
x
q


















x
x
d
x
t
q
d
x
t
q
0
2
)
1
(
0
2
)
1
(
)
,
(
)
,
(
1
1






 
.
)
,
(
~
)
,
(
~
)
(
2
1
0
)
2
(
0
)
1
(
)
2
(
3
1
1
















x
x
d
x
t
q
d
x
t
q
x
q






 
Учитывая, что 

















n
i
i
n
i
i
a
n
a
1
2
2
1
 для 
0

i
a
, получим 
)
(
~
4
5
)
,
(
~
5
)
,
(
~
2
3
2
1
2
1
x
q
t
x
f
t
x
q







d
x
t
q
x
t
q
x











2
)
1
(
0
2
)
1
(
)
,
(
)
,
(
1
1
 


.
)
,
(
~
)
,
(
~
)
(
4
4
0
2
2
)
2
(
3
1
1







x
d
x
t
q
x
t
q
x
q





                  (11) 
Имеем 

 



x
l
q
x
l
f
x
l
q
0
2
2
3
2
1
2
1
)
(
~
4
5
)
,
(
~
5
)
,
(
~





























0
2
)
1
(
2
)
1
(
)
,
(
)
,
(
1
1
d
q
q
 















d
d
d
q
q
q















0
2
2
2
)
2
(
3
)
,
(
~
)
,
(
~
)
(
1
1
 



d
l
q
q
x
l
f
x
)
,
(
)
(
~
2
5
)
,
(
~
5
2
)
1
(
0
2
3
2
1
1



.
)
,
(
~
)
(
2
5
2
1
0
2
)
2
(
3



d
l
q
q
x


         (12) 
Оценим вторую компоненту: 





x
x
d
q
q
d
q
q
x
q
0
3
)
2
(
2
0
2
)
1
(
3
2
)
(
~
)
(
2
1
)
(
~
)
(
2
1
)
(
~






).
(
)
(
~
2
1
)
(
~
)
(
2
1
)
2
(
2
3
2
)
1
(
3
x
q
x
q
x
q
x
q

 
Следовательно, 
.
)
(
)
(
~
)
(
~
)
(
2
1
)
(
~
2
)
2
(
2
2
3
0
2
2
2
)
1
(
3
2
2





d
q
q
q
q
x
q
x









           (13) 
Оценим 
3
~
q : 







4
1
)
2
(
2
3
3
),
(
1
)
(
~
)
(
~
j
j
x
q
B
x
f
x
q


                      (14) 
где 
,
)
)(
(
)
(
)
2
(
2
)
1
(
2
)
1
(
3
1
q
B
q
B
x
f
x




,
2
)
(
)
2
(
4
)
1
(
4
2
q
B
q
B
x




 
),
(
)
(
2
)
1
(
2
3
x
q
B
x



.
2
)
(
)
2
(
2
)
1
(
2
)
2
(
4
4
q
B
q
B
q
B
x



 
Во-первых, мы имеем 


.
)
(
)
(
~
)
(
~
)
(
)
)(
(
2
)
(
)
2
(
2
3
2
)
1
(
3
)
1
(
3
1
x
q
x
q
x
q
x
q
x
f
x




 
Во-вторых,  
  










d
x
q
q
x
q
q
x
x





0
1
)
2
(
3
)
1
(
1
3
2
2
,
~
)
2
,
(
)
(
~
2
)
(
 
 


.
2
,
~
)
(
)
2
,
(
~
2
0
2
1
)
2
(
3
0
2
)
1
(
1
3














x
x
d
x
q
x
q
d
x
q
x
q







          (15) 

 
69 
В-третьих,  







d
q
q
x
x
q
B
x
x



0
)
1
(
2
)
1
(
3
2
2
)
1
(
2
3
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
).
(
)
(
)
(
2
)
1
(
2
)
1
(
3
2
x
q
x
q
x



 
      
(16) 
В-четвертых, 




d
x
q
x
q
x
x



0
2
)
2
(
1
)
2
(
3
4
)
2
,
(
)
(
)
(


.
)
(
)
(
~
)
(
~
)
(
)
2
(
2
3
2
)
1
(
3
x
q
x
q
x
q
x
q


 
(17) 
Принимая во внимание 
,
1
2
2
1











n
i
i
n
i
i
a
n
a
 получим 
)
1
)(
(
~
10
)
(
~
2
)
2
(
2
2
2
3
2
3
q
B
x
f
x
q











)
(
~
)
(
~
)
(
2
5
2
3
2
)
2
(
2
2
2
2
)
1
(
3
2
)
1
(
3
2
x
q
q
x
q
q
x
f

 



















d
x
q
q
d
x
q
x
q
x
x
0
2
)
2
(
1
2
)
2
(
0
2
)
1
(
1
2
3
2
)
2
,
(
)
2
,
(
)
(
~
20
3








)
1
(
2
2
)
1
(
3
2
4
1
q
q

 
.
)
(
~
)
(
~
)
2
,
(
10
2
3
2
)
2
(
2
2
2
2
)
1
(
3
0
2
)
2
(
1
2
)
2
(
3










x
q
q
x
q
q
d
x
q
q
x



 
Таким образом, имеем 
)
(
~
4
1
10
)
(
~
2
3
2
)
2
(
2
2
)
2
(
3
2
2
3
x
f
q
q
x
q














d
q
q
q
q
f
x









)
(
~
)
(
~
)
(
2
5
2
3
2
)
2
(
2
2
2
2
)
1
(
3
0
2
)
1
(
3
2
 

)
,
(
~
2
1
)
2
,
(
)
(
~
20
2
1
2
)
2
(
0
0
2
)
1
(
1
2
3
2
3
x
l
q
q
d
d
q
q
x

























2
)
1
(
2
2
)
1
(
3
2
4
1
q
q

 









x
q
q
q
q
q
0
2
3
2
)
2
(
2
2
2
2
)
1
(
3
2
)
2
(
)
(
~
)
(
~
10
3


.
)
2
,
(
0
2
)
2
(
1






d
d
q



                                 
Для удобства обозначим 
).
,
0
(
,
3
,
2
),
(
~
)
(
),
,
(
~
)
(
2
2
1
1
l
x
j
x
q
x
p
x
l
q
x
p
j
j




 
 
Введем обозначения 
,
2
5
10
2
)
2
(
2
2
)
2
(
3
2
1








q
q


 
,
2
5
10
2
)
2
(
3
2
)
1
(
2
2
)
1
(
3
2
2
q
q
q










 
,
)
2
,
(
10
)
(
2
5
)
(
0
2
)
2
(
1
2
)
1
(
3
2
)
2
(
3
2
)
1
(
3
2
)
1
(
3
2
3













d
q
q
q
q
f
 





















0
2
)
1
(
1
2
)
1
(
2
2
)
1
(
3
2
2
)
2
(
2
2
)
1
(
3
2
4
)
2
,
(
5
20
)
(
2
5
)
(
d
q
q
q
q
f
 
,
)
2
,
(
10
0
2
)
2
(
1
2
)
2
(
2
2
)
2
(
3








d
q
q
q
                                  (18) 
Введем функцию 


,
)
(
)
(
~
5
5
)
(
0
3
1
2
2
1






x
j
j
j
d
p
k
f
x
P





                   (19) 

 
70 
 
Следовательно [3] 
,
)
(
)
(
)
(
3
1




j
j
x
k
x
P
x
P
 
и, применяя неравенство Гронуолла, получим 
.
)
(
exp
)
0
(
)
(
)
(
0
3
1










x
j
j
d
k
P
x
P
x
p


 
С другой стороны, учитывая равенство 
)
,
(
~
2
1
)
,
(
~
2
1
)
2
,
(
~
2
1
0 0
0
2
2
1
2
1
x
l
q
d
d
q
d
d
q
x
x
x

















 















 
имеем 
,
2
exp
5
10
1
2
5
2
*
2
2
*
2
2
2
2
*
2
1

























lM
lM
M
k
 


x
d
k
0
2
)
(














 
2
*
2
4
*
4
2
*
2
2
exp
10
5
2








lM
M
l
M
l
 

x
d
k
0
3
)
(


















2
*
2
2
2
*
2
2
2
exp
)
14
1
(
5
2
exp
)
10
(








lM
l
lM
l
l
.
2
5
exp
55
2
*
2
2
*
2
2
2













lM
M
l
 
Таким образом, получаем 

































2
*
2
2
*
2
2
*
2
2
2
2
*
2
2
*
2
2
2
exp
25
15
2
exp
5
15
)
(
~












M
lM
lM
lM
lM
x
p
q
 




















2
*
2
2
*
2
2
2
2
*
2
2
exp
5
10
1
2
5
exp








lM
lM
lM









2
*
2
4
*
4
2
*
2
2
exp
10
)
5
2
(








lM
M
l
M
l
 






















2
*
2
2
2
*
2
2
2
exp
14
1
5
2
exp
)
10
(








lM
l
lM
l
l
2
2
*
2
2
*
2
2
2
~
2
5
exp
55
f
lM
M
l
















 
























2
*
2
2
*
2
2
2
*
2
2
*
2
2
2
exp
5
1
5
50
15










lM
M
lM
M



























2
*
2
2
4
*
2
4
2
2
2
2
*
2
2
2
exp
10
2
25
25
5
3
exp












lM
l
M
l
l
M
l
l
 
















2
*
2
2
4
*
4
2
exp
70
5
10








lM
l
l
M
l
.
~
2
5
exp
55
2
2
*
2
2
*
2
2
2
f
lM
M
l
















 
Получим оценку для 
.
)
,
0
(
)
2
(
)
1
(
1
l
H



 
По лемме Гронуолла имеем 




.
~
2
exp
~
))
0
(
(
3
~
2
)
,
0
(
)
1
(
3
2
)
,
0
(
3
2
2
)
2
(
2
)
,
0
(
2
2
2
l
L
l
L
l
L
q
l
q
lM







 
В итоге получаем 


2
)
2
(
)
1
(
1
2
*
2
2
2
)
2
(
2
)
,
0
(
2
exp
))
0
(
(
3
~
2
f
f
C
lM
lM
l
L
















,
2
)
2
.
0
(
)
2
(
)
1
(
2
1
l
H
g
g
C


      
(20) 
где 

 
71 


.
2
2
exp
3
1
2
2
*
2
2
2
0
2
0
2
C
l
lM
lM
c
C




















 
Учитывая, что  
)
0
(
)
0
(
)
2
(
)
1
(





 получим 
.
~
~
2
)
2
,
0
(
)
2
(
)
1
(
1
2
)
,
0
(
2
)
,
0
(
1
2
2
l
H
l
L
l
L
g
g
lC
l






                      (21) 
Складывая оценки получим 
,
~
2
)
2
,
0
(
)
2
(
)
1
(
2
)
,
0
(
1
1
l
H
l
H
g
g
C



 
где 
)
1
(
2


l
C
C
. 
3. Результаты и их обсуждение: Теорема 1.5. Пусть    для    
)
2
(
)
1
(
, g
g
 
из        класса     
)
,
,
(


l
G
  существуют 
)
,
,
,
,
(
,
*
0
0
)
2
(
)
1
(





c
M
l


  как  решения   
обратной  задачи (1)–(4) соответственно. Тогда 
,
2
)
2
,
0
(
)
2
(
)
1
(
2
)
,
0
(
)
2
(
)
1
(
1
1
l
H
l
H
g
g
C





   
),
,
,
,
,
(
*
0
0



c
M
l
C
C

 
где 
),
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
j
j
j
j
f
f
f
f

 
 
 
,
)
(
)
(
2
1
)
,
(
(j)
(j)
(j)
1












x
t
g
x
t
g
t
x
f
 
,
1
)
(
2



j
f
 
 
,
2
,
1
,
)
2
(
2
)
(
)
(
)
(
3




j
x
g
x
f
j
j

 


















2
*
2
2
2
0
2
0
2
2
exp
2
)
1
(
3





lM
lM
c
l
l
C
























2
*
2
2
*
2
2
2
*
2
2
*
2
2
2
exp
5
1
5
50
15










lM
M
lM
M
 



























2
*
2
2
4
*
2
4
2
2
2
2
*
2
2
2
exp
10
2
25
25
5
3
exp












lM
l
M
l
l
M
l
l















2
*
2
2
4
*
4
2
exp
70
5
10








lM
l
l
M
l
.
2
5
exp
55
2
*
2
2
*
2
2
2

















lM
M
l
 
4. Заключение,  выводы:  Для  доказательства  условной  корректности 
рассматриваемой  задачи,  доказано  теорема,  где  в  отличие  от  аналогичной 
теоремы в [3] в вышеприведенной теореме при выводе требуемой константы 
в  основном  неравенстве  использовалась  не  оценка  вектора  q,  а  оценки 
каждой  из  его  компонент 
.
,
,
3
2
1
q
q
q
  В  работе  [3]  в  выкладках  норма  каждой 
компоненты  оценивалась  через  норму  вектора  q,  так  как  оценка  нормы 
вектора q есть сумма оценок его компонент. А в данной работе, как сказано, 
выше, уже использовались непосредственно оценки каждой компоненты. 

жүктеу/скачать 2,05 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: