№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
84 
ПОЛТАВЦЕВ Данил, 
Ученик 8 «Б» класса КГУ СОШ №5, город Караганда, 
Карагандинская область, Республика Казахстан 
 
Руководитель: ТЫРТЫШНИКОВА А.П., 
Учитель математики КГУ СОШ №5, город Караганда, 
Карагандинская область, Республика Казахстан 
 
УШАКОВ Алексей, 
Ученик 8 «Б» класса КГУ СОШ №5, город Караганда, 
Карагандинская область, Республика Казахстан 
 
Руководитель: ЖОЛДЫБАЕВА С.С., 
Учитель информатики КГУ СОШ №5, город Караганда, 
Карагандинская область, Республика Казахстан 
 
ОБУЧЕНИЕ ТЕХНИКЕ БЫСТРОГО СЧЕТА 
 
Наш  мир  полон  загадок.  Каждый  день  множество  ученых  открывают  новые 
науки,  изобретают  новые  законы,    а  также  доказывают  теоремы.  В  основе  всего 
лежит такая великая наука как «Математика», которая берет свои истоки с Древней 
Греции. 
Математика  не  просто  наука,  она  является  –  основой,  опорой  всех 
естественных наук, что помогает объяснить все природные явления. 
Наука, исследуемая в данной статье, очень объемна. В ней множество законов, 
теорем,  аксиом,  множество  разделов,  таких  как  арифметика,  геометрия,  алгебра  и 
т.д. Однако основой всей математики является счет. Придя в первый класс, ребенок 
начинает  знакомство  с  этой  интересной  наукой  с  простых  вычислений:  сложение, 
вычитание,  умножение,  деление.  Именно  в  этом  возрасте  очень  важно  развить 
устный счет у ребенка. 
Но  что  такое  «устный  счет»?  Что  мы  подразумеваем  под  понятием  «устный 
счет»? Зачем он нужен? И, конечно же, чем он важен для человека? Именно на эти 
вопросы мы попробуем ответить во время нашего исследования. 
Начать наше исследование мы решили с определения понятия «устный счет». 
Устный счёт – математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи 
дополнительных  устройств  (компьютер,  калькулятор,  счёты  и  т.  п.)  и 
приспособлений (ручка, карандаш, бумага и т. п.). 
Процесс  устного  счёта  рассматриваем  как  технику  счёта,  объединяющую 
представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики. 
Имеются  три  вида технологии  устного  счёта,  которые  используют  различные 
физические возможности человека: 
- счёт «на пальцах»; 
- аудиомоторная технология счёта; 
- визуальная технология счёта. 
Давайте  рассмотрим  особенности  каждого  из  видов.  Начнем  с  «счет  на 
пальцах». 
Счет на пальцах – это математические вычисления, осуществляемые человеком 
с  помощью  сгибания,  разгибания  или  указывания  пальцев  рук  (иногда  и  ног). 
Пальцы  рук  считаются  самым  первым  счётным  инструментом  древнего  человека  с 
эпохи верхнего палеолита. Счёт на пальцах широко применялся в древнем мире и в 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
85 
средневековье,  в  настоящее  время  используется  ограниченно,  арабскими  и 
индийскими  торговцами  на  Среднем  Востоке,  в  европейских  странах  –  в 
примитивном  виде  преимущественно  детьми  или  для  отображения  цифр  жестами, 
ради  убедительности  в  споре  по  мере  перечисления  аргументов,  а  также  судьёй  в 
боксе при отсчете секунд во время нокдауна. 
Преимуществом  данного  счета  являются  легкость  в  объяснении,  быстрота 
вычислений, а также легкость в понимании данной техники. Однако у данного вида 
есть  свои  недостатки,  а  именно  нельзя  использовать  пальцы  для  более  сложных 
вычислений,  таких  как  умножение,  деление  и  т.д.,  а  также  малое  количество 
подручных  средств  (две  руки  –  10  пальцев,  две  ноги  –  десять  пальцев).  Отсюда 
сделаем вывод, данный вид устного счета, удобен, но не идеален, поэтому не может 
использоваться в большинстве решений задач. 
Следующий вид устного счета – это аудиомоторный устный счет. Характерной 
особенностью   аудиомоторного  устного  счёта  является  сопровождение  каждого 
действия  и  каждого  числа  словесной  фразой  типа  «дважды  два  –  четыре». 
Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией. 
Недостатками аудиомоторного способа ведения расчётов являются: 
- отсутствие в запоминаемой фразе взаимосвязей с соседними результатами; 
- невозможность выделить во фразах о таблице умножения отдельно десятки и 
единицы произведения без повторения всей фразы; 
- невозможность обратить фразу вспять от ответа к множителям, что важно для 
выполнения деления с остатком; 
- медленная скорость воспроизведения словесной фразы. 
Супервычислители,  демонстрируя  высокие  скорости  мышления,  используют 
свои  визуальные  способности  и  отличную  зрительную  память.  Люди,  которые 
владеют  скоростными  вычислениями,  не  используют  слов  в  процессе  решения 
арифметического  примера  в  уме.  Они  демонстрируют  реальность  визуальной 
технологии  устного  счёта,  лишённой  главного  недостатка  –  замедленной  скорости 
выполнения элементарных действий с числами. 
С  развитием  человечества  человек  изобрел  множество  приемов  устного  счёта 
для  того,  чтобы  облегчить  этот  процесс  для  человека,  давайте  рассмотрим  самые 
интересные из них. 
Для  умножения  числа  на  однозначный  множитель  (например,  34×9)  устно, 
необходимо  выполнять  действия,  начиная  со  старшего  разряда,  последовательно 
складывая результаты (30×9=270, 4×9=36, 270+36=306). 
Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19*9. В 
этом случае умножение 147*8 выполняется в уме так: 
147×8=140×8+7×8=1120+56=1176. 
Однако, не зная таблицу  умножения до 19×9, на практике  удобнее  вычислять 
все подобные примеры методом приведения множителя к базовому числу: 
147×8=(150−3)×8=150×8−3×8=1200−24=1176, 
причём 150×8=(150×2)×4=300×4=1200. 
Если  одно  из  умножаемых  раскладывается  на  однозначные  множители, 
действие  удобно  выполнять,  последовательно  перемножая  на  эти  множители, 
например, 225×6=225×2×3=450×3=1350. 
Также, проще может оказаться: 
225×6=(200+25)×6=200×6+25×6=1200+150=1350. 
Несколько способов устного счета: 
Умножение на 10. Приписать справа нуль: 48×10=480. 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
86 
Умножение  на  9.  Для  того  чтобы  умножить  число  на  9  надо  к  множимому 
приписать 0 и от получаемого числа отнять множимое, например: 
45×9=450−45=405. 
Умножать на 5 удобнее так: сначала умножить на 10, а потом разделить на 2. 
Умножение на 11 двузначного числа [N; A]. Раздвинуть цифры N и A, вписать 
посередине сумму (N+A). например, 43×11 = [4; (4+3); 3] = [4; 7; 3] = 473. 
При  умножении  на  1,5  умножаемое  нужно  разделить  пополам  и  прибавить  к 
умножаемому, например 48×1,5=48/2+48=72. 
Можно применить при умножении на 15 48×1,5×10=720. 
Возведение  числа  вида  [N;  5]  (оканчивающееся  пятеркой)  в  квадрат 
производится по схеме: умножаем N на N+1, записываем в сотни, и приписываем 25 
справа. 
Формула: [N; 5] × [N; 5] = [ (N×(N+1)) ; 2; 5]. 
Доказательство (10N+5) × (10N+5) = (N×(N+1)) x 100 + 25. 
Например,  65²  =  6×7  и  приписываем  справа  25,  получим  4225  или  95²  =  9025 
(сотни 9×10 и приписать 25 справа). 
Числа, близкие к удобным для умножения числам можно возводить в квадрат с 
помощью формулы A² = (A + d)(A − d) + d² (например, 42² = (42 + 2)(42 − 2) + 2² = 
44 × 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764). 
Так  же  можно  перемножать  числа,  находящиеся  на  одинаковом  небольшом 
расстоянии от удобных, например: 
23 × 17 = (20 + 3)(20 − 3) = 20² − 3² = 400 − 9 = 391. 
Таким  образом,  исходя  из  нашего  мини-исследования,  мы  можем  сделать 
следующие выводы: 
1. Устный счет – одна из важнейших составляющих науки «математика»; 
2. Развивать «устный счёт» нужно и важно; 
3. Существует множество методов и способ для развития устного счёта. 
На  базе  языка  программирования  Pascal  необходимо  создать  в  будущем 
проекте программу для проверки правильности вычислений устного счета, которую 
учащиеся смогут применять для освоения методов устного счета. 
Данная статья является стартовой для работы в этом проекте. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
87 
СЕРІКБАЙ Гүлнұр, 
Үш тілде оқытатын мамандандырылған сыныптары бар 
дарынды балаларға арналған «Мұрагер» мектебінің 8 сынып оқушысы, 
Қызылорда қаласы, Қызылорда облысы, Қазақстан Республикасы 
 
Жетекшісі: РАСМУХАНОВА Нұрсәуле Алпамысқызы, 
Үш тілде оқытатын мамандандырылған сыныптары бар 
дарынды балаларға арналған «Мұрагер» мектебі «Математика» пәнінің 
мұғалімі, Қызылорда қаласы, Қызылорда облысы, Қазақстан Республикасы 
 
 
 
 
СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ПАРАМЕТРЛІ ТЕҢДЕУЛЕР 
 
Аңдатпа.  Математикалық  есептер  шығару  барысында  біз  белгілі  бір 
формулаларға сүйенеміз. Әрбір есептің кемінде бір шешімі табылатынын білеміз. Ал 
олимпиада  есептері  ешбір  формулаға  сүйенбейді.  Ол  өзгеше  әдістерді  талап  етеді. 
Стандартты  емес  есептер  адамның  логикалық  ойлау  қабілеті  мен  жан-жақты 
дамуына  үлес  қосады.  Бұл  жоба  оқушылардың  математикалық  сауаты  мен 
мәдениетін көтереді. 
Ғылыми  зерттеудің  негізгі  мақсаты:  стандартты  емес  параметрлі 
теңдеулерді  шешу;  стандартты  емес  есептерді  шешу  жолдарын  көрсету;  мектеп 
бағдарламасында  кездесетін  параметрлі  теңдеулерді  шешу;  берілген  тақырып 
бойынша  теориялық  білімін  тереңдету  және  кеңейту;  есептердің  шешу  процесінің 
құрылымын,  стандартты  емес  параметрлі  теңдеулер  мен  олардың  шешімдерін 
қарастыру;  стандартты  емес  параметрлі  теңдеулерді  шешудің  әртүрлі  жолдарын 
қарастыру; есеп шешудегі нақты әдістері мен тәсілдері. 
Зерттеудің  маңыздылығы.  Стандартты  емес  теңдеулер  үшін  мектеп 
математикасында  формулалар,  теоремалар  қарастырылмаған.  Стандартты  емес 
есептің шешу жолын қарастырсақ, онда олимпиада есептерін оңай шығара аламыз. 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
88 
Зерттеудің практикалық маңыздылығы.  Ғылыми жұмыстың нәтижесі бізге 
игеру  деңгейіне  қарай  пән  бойынша  алған  білімді  қолданбалы  бағытта 
шығармашылықпен жұмыс істеуге, өз бетінше білімімізді толықтыруға үлес қосады. 
Зерттеу жұмысының өзектілігі: мектеп математикасындағы стандартты емес 
есептердің шешу жолдарының тиімді тәсілін қарастыру; олимпиада есептерінде жиі 
кездесетін  стандартты  емес  теңдеулер  мен  теңсіздіктерді  шешу;  параметрлі 
теңдеулердің физикамен байланысын анықтау. 
Ғылыми  жобамыздың  міндеттері:  мектеп  бағдарламасындағы  стандартты 
емес  есептерді  қарастыру;  стандартты  емес  есептердің  шешудің  түрлерін  анықтау; 
жинаған әдебиеттерді талдау; өзіндік пікір, тұжырым жасау. 
Ғылыми  жобаның  зерттеу  әдісі:  жинақтау,  топтау;  салыстыру;  өзіндік  ой 
топшылау. 
Ғылыми  жұмыстың  нәтижесі  мен  қорытындысы.  Бұл  жұмыстың 
нәтижесінде  стандартты  емес  есептер  шешу  кезінде  логикалық  ойлау  қабілетінінің 
дамитындығына  көз  жеткіздім.  Сондай-ақ  стандартты  емес  параметрлі  есептерді 
шешудің түрлерін анықтадым. 
Ғылыми  жұмыстың  практикалық  қолдану  салалары.  Тақырып  негізінде 
жинақталған  материалдар  математика,  алгебра  пәндерінде  қосымша  қолдануға, 
олимпиадалық есептерді шығаруда пайдалануға болады. 
Негізгі  бөлім.  Зерттеу  бөлімі.  Стандартты  емес  параметрлі  теңдеулердің 
түрлері.  Параметрі  бар  сызықтық  және  сызықтыққа  келтірілетін  теңдеулерді 
шешу. Мынадай теңдеу берілсін: 
kx – p = 0 түріндегі теңдеу х айнымалысына байланысты сызықтық теңдеу деп 
аталады.  Мұндағы  k  және  p  параметрлерге  байланысты  өрнектер,  ал  х  –  белгісіз 
айнымалы.  Берілген  теңдеу  kx  =  p  түріне  келтіріледі  де,  k  –  нольге  тең  болмаған 
жағдайда  жалғыз  ғана  шешімі  болады  және  параметрдің  қабылдай  алатын 
мәндерінде ол x=k/p түрінде есептеледі. 
Егер k = 0 және p = 0 болса, айнымалы x – кез келген санды қабылдай алады, ал 
k  =  0,  ал  p  –  нольден  өзге  кез  келген  санды  қабылдағанда,  берілген  сызықтық 
теңдеудің шешімі болмайды. 
Бөлшектері бар сызықтыққа келтірілетін теңдеулерді шешу бір схема бойынша 
жүргізіледі:  теңдеудің  бөлшектердің  оң  және  сол  жақ  бөліктерінде  бөлімі  алдымен 
ортақ  бөлімге  келтіріліп  алынады  да,  ортақ  көбейткіштерге  көбейтілген  теңдес 
теңдеумен  алмастырылады.  Сонан  соң  белгілі  тәсілдердің  бірімен  шешіледі.  Бірақ 
ескере  кететіні,  бөгде  түбірлері  шығып  қалу  мүмкіндіктері  болғандықтан,  ортақ 
бөлімін  нольге  айналдыратындай  параметрдің  мәнін  табу  керек,  яғни  сәйкес 
теңдеулерді параметрге байланысты шешімдерін тексеру керек. 
Міне,  осындай  сызықтық  теңдеуге  келтірілетін  теңдеулерді  шешудің  бірнеше 
мысалдарын қарастырайық. 
1 мысал. Мынадай теңдеуді шешу керек болсын: 





2
1
3
2
2
1
2








x
x
a
a
x
x
x
a
x
   
 
 
 
(4) 
Шешуі: Параметр а=0 мәнін тексеру керек. Егер параметр а=0 деп есептесек, 
(4) теңдеу мағынасын жояды да, сәйкесінше, теңдеудің түбірлері болмайды. Егер а ≠ 
0  деп  есептесек,  онда  берілген  (4)  теңдеуі  түрлі  өзгерістерден  кейін  мынадай  түрге 
келтіріледі: 


0
3
2
1
2
2
2






а
а
х
а
х
 
 
 
 
 
(5) 
Шыққан (5) теңдеуінің дискриминантын табайық: 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
89 




4
3
2
1
4
2
2






a
a
a
D
 
Ал сондағы (5) теңдеуінің түбірлерін табайық: 
x
1
=a+1, x
2
=a – 3. 
(4) теңдеуден (5) теңдеуге өткенде (4) теңдеудің анықталу облысы кеңейеді де, 
бөгде түбірлері пайда болуы мүмкін. Сондықтан тексерулер жүргізу қажет болады. 
Тексеру. Табылған х мәндерінің арасынан мынадай мәндерді алып тастау керек 
болады, х
1
+1=0, х
1
+2=0, х
2
+1=0, х
2
+2=0. 
Егер х
1
+1=0, яғни параметр (а+1)+1=0 болғанда, немесе ол мән a= -2. Осыдан 
шығатыны, a= -2 мәніндегі х
1
 – (4) теңдеуінің бөгде түбірі. 
Егер х
1
+2=0, яғни параметр (а+1)+2=0 болғанда, немесе ол мән a= -3. Осыдан 
шығатыны, a= -3 мәніндегі х
1
 – (4) теңдеуінің бөгде түбірі. 
Егер х
2
+1=0, яғни параметр (а – 3)+1=0 болғанда, немесе ол мән a=2. Осыдан 
шығатыны, a=2 мәніндегі х
2
 – (4) теңдеуінің бөгде түбірі. 
Егер х
2
+2=0, яғни параметр (а – 3)+2=0 болғанда, немесе ол мән a=1. Осыдан 
шығатыны, a=1 мәніндегі х
2
 – (4) теңдеуінің бөгде түбірі. 
Мәндерін есептесек, параметр а= -3 болғандағы түбірі x= – 3 – 3 = – 6; 
Сол сияқты есептеулер арқылы табатындарымыз а= -2, x= - 2 – 3 = -5; 
a= 1 
 
x= 1+1=2 
a=2 
 
x=2+1=3 
Сонымен жалпы есептік шешімдерін жазсақ. 
Жауабы: 
1) егер a= -3 болса, онда x= -6; 
2) a= -2 болғанда, x= -5; 
3) a= 0 болғанда, онда түбірлері жоқ; 
4) a=1 болғанда, x=2; 
5) a=2 болғанда, x=3; 
6) егер a≠ -3; a≠ -2; а≠ 0; онда x
1
= a+1, 
a≠ 1; a≠ 2, онда x
2
=a – 3 [4]. 
3 мысал. 
2
1
1




х
а
х
 теңдеуін шешу керек. 
Шешуі. Модуль таңбасынан құтылу үшін үш түрлі жағдайды қарастыру қажет. 
1) Егер 


1
;



х
, онда берілген теңдеуді мына түрде жазуға болады: 




1
1




a
х
а
                       (2) 
Мынадай параметрдің а=1 мәні – (2) теңдеудің түбірі болғандықтан, бастапқы 
берілген теңдеудің де 


1
;


 аралығындағы түбірі, яғни осы аралықтағы кез келген 


1
;



х
  саны  бастапқы  берілген  теңдеудің  түбірі  болады.  Ал  а≠1  болғанда  (2) 
теңдеу,  соған  сәйкес  бастапқы  берілген  теңдеудің  де  жалғыз  ғана  -1  мәнді  түбірі 
болады,  бірақ  ол  түбір 


1
;


  аралығына  жатпайды.  Сондықтан  а≠1  болғанда  (2) 
теңдеудің де, бастапқы берілген теңдеудің де 


1
;


 аралығында түбірі болмайды. 
2) Егер 
 
1
;
1


х
, онда берілген теңдеуді мына түрде жазып алуға болады: 




1
1




a
х
а
                (3) 
Ал а= -1 (3) теңдеудің шешімі болғандықтан, бастапқы берілген теңдеудің де 
 
1
;
1

  аралығындағы  шешімі  болады,  яғни 
 
1
;
1


х
  аралығындағы  кез  келген  сан 
берілген  теңдеу  шешімі  бола  алады.  Параметр  а≠  -1  мәнінде  (3)  теңдеудің  тек 
жалғыз шешімі x= -1 және ол 
 
1
;
1

 аралығында  жатады. Демек,  а≠  -1 болғанда (3) 
теңдеудің де, бастапқы теңдеудің 
 
1
;
1

 аралығындағы жалғыз ғана шешімі x= -1. 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
90 
3)  Егер 



 ;
1
х
  болса,  онда  берілген  теңдеуді  мына  түрде  жазып  алуға 
болады: 


3
1



а
х
а
                (4) 
Параметр  а=  1  болғанда  (4)  теңдеудің  шешімі  болмайтындықтан,  бастапқы 
берілген теңдеудің де 



;
1
 аралығындағы түбірі болмайды. 
Параметр  а≠  1  жағдайында  (4)  теңдеудің 



;
1
  аралығында  жалғыз  ғана 
шешімі  болып  және  ол 
a
a
х



1
3
  арқылы  есептеледі,  бірақ  бұл  мән 



;
1
 
аралығында 
1
1
3

a
a


  орындалғанда  ғана,  яғни  -1<  а  <1  үшін  шешімі  бола  алады. 
Демек,  (4)  теңдеудің,  соған  сәйкес  бастапқы  берілген  теңдеудің  де 



;
1
 
аралығындағы жалғыз ғана түбірі болады 
a
a
х



1
3
 
-1< а <1 шарты орындалғанда. 
Сонымен,  әрбір 

 







;
1
1
;
а
  үшін  берілген  теңдеудің  жалғыз  ғана 
түбірі x
0
= -1 болады; 
Әрбір 
 
1
;
1


а
 үшін – екі түбірі: х
1
= -1 және 
a
a
x



1
3
2
; 
Әрбір a= -1 үшін 
 
1
;
1


x
 аралығындағы кез келген сан түбірі болады; 
Әрбір a= 1 үшін 


1
;



x
 аралығындағы кез келген сан түбірі болады. 

жүктеу/скачать 3,69 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: