1-блок Метрикалық кеңістікке анықтама беріңіз. Мысал келтіріңіз
Анықтама Кез-келген элементі үшін болатындай шар табылса, онда
жүктеу/скачать 1,92 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Жиынның тұйықталуы туралы ұғымға анықтама беріңіз. Мысал келтіріңіз. Анықтама
- Метрикалық кеңістіктегі ашық және тұйық жиындар туралы теоремаларын жазыңыз. Теорема
| Анықтама Кез-келген элементі үшін болатындай шар табылса, онда жиыны ашық деп аталады.
Анықтама Қандай да бір элементінің аймағы деп - осы аймақта болатын кез- келген ашық шарды немесе ашық жиынды айтамыз. Мысал. Декарттық координаталар жазықтығында ашық шарлар шекарасын алып тастаған дөңгелектер жатады, ал тұйық шарлар шекарасы бар дөңгелектер жатады. кеңістігінден қарастырайық. үзіліссіз функциялар жиыны х -тан функция алсақ, онда центрі орналасқан, ал радиусы -ге тең ашық шарды былай жазамы,онда . Сонымен осы ашық шар жататын функциялар графигі көрсетілген облыстан шықпайды. Жиынның тұйықталуы туралы ұғымға анықтама беріңіз. Мысал келтіріңіз. Анықтама берілген жиын болсын. болсын және оның кез-келген аймағы М-нің шексіз нүктелерін қамтып, ол х М –нің шектік нүктесі деп аталады. М – нің барлық шектік нүктелер жиыны М-нің тұйықталуы деп атаймыз, оны деп белгілейміз. Айталық Е метрикалық кеңістігінде ішкі жиыны берілсін. Егер нүктесінің кез-келген аймағында М –де жататын кем дегенде бір нүкте табылса, онда х нүктесі М жиынының жанасу нүктесі деп аталады. М жиынының барлық жанасу нүктелер жиынтығы осы жиынның тұйықталуы деп аталады. Осы анықтамалардан мынаны көреміз шектік нүктелер әрі жанасу нүкте болады, ал керісінше орындала бермейді. Сонымен кез-келген М жиыны үшін, оның тұйықталуы үш түрлі нүктелер жиынынан тұрады: - оқшау нүктелер; - М- де жататын шектік нүктелер; - М- де жатпайтын шектік нүктелер. Мысал. жиынының (интервалының) тұйықталуы кесіндісі болады. Онда ашық шарлар қатарына барлық интервалдар кіреді, ал тұйық шарлар қатарына барлық кесінділер кіреді. Метрикалық кеңістіктегі ашық және тұйық жиындар туралы теоремаларын жазыңыз. Теорема Саны кез-келген тұйық жиынның қиылысуы және санаулы тұйық жиынның бірігуі тұйық жиын болады. (Санаулы ашық жиынның қиылысуы және саны кез- келген ашық жиынның бірігуі ашық жиын болады.) Дәлелдеуі: 1-ші пунктті дәлелдеу өте оңай, себебі тұйық жиындар туралы. 2-ші пунктті дәлелдейік. Санаулы ашық жиынның қиылысуы және саны кез-келген ашық жиынның бірігуі ашық жиын болады. Айталық,, мұнда А- индекстер жиыны, - ашық жиындар болсын. - ашық жиын болу үшін болуы керек. Айталық кез-келген нүктесі болсын, онда бірігулердің анықтамасы бойынша , ал - ашық болғандықтан х үшін ішкі нүктелер аймағы толық жатады. Ал осыдан жатады, онда анықтама бойынша х -ң ішкі нүктелері, онда . Айталық, ашық жиындар болсын, ашық болатынын көрсетейік. Шындығында, кез-келген х нүктесін алайық, онда қиылысудың анықтамасы бойынша , мұнда - ашық жиын болғандықтан аймағы табылады және мынандай қатынас орындалады , мұндағы аймағы жиынының әрқайсысында толығымен жатыр, онда , яғни . Теорема Е метрикалық кеңістігінің М жиыны ашық жиын болу үшін оның толықтауышы тұйық жиын болуы қажетті және жеткілікті. жүктеу/скачать 1,92 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|