Теорема М толық метрикалық кеңістікте анықталған қыспақ бейнелеу, тек бір ғана қозғалмайтын нүкесі бар болады.
Дәлелдеуі. М кеңістігінің қандай да бір нүктесін алайық және
тізбек құрамыз.
Алдымен тізбегінің фундаментальды тізбек екенін көрсетеміз. Ол үшін мынадай амалдар орындаймыз:
.............................................................................................
.............................................................................................
Енді шамасын қарастырамыз. Метрикалық кеңістіктің үшбұрыштар аксиомасын пайдаланып шамасын мынадай түрде түрлендіреміз
Теорема шарты сондықтан
Соңғы теңсіздіктен , егер болады. Сондықтан тізбегі фундаментальды тізбек болады.
Енді, нүктесі А бейнеленудің қозғалмайтын нүктесі екендігін көрсетеміз. Ол үшін кері жориық, яғни екі нүкте болсын және . Онда (1.6.1) теңсіздігінен
.
Ал, екенін ескерсек, онда
,
яғни,
.
тізбек екенін аламыз. Теорема толық дәлелденді.
Қысушы бейнелеулер қағидасы дифференциалдық теңдеулер теориясында қолданылуын және дифференциалдық теңдеулердегі Коши теоремасын қарастырыңыз.
дифференциалдық теңдеуін қарастырайық.
Дифференциалдық теңдеудің оң жақ бөлігі төмендегі шарттарды қанағаттандырсын:
функциямыз облысында анықталған және х,у бойынша үзіліссіз;
Осы облыста Липшиц шартын қанағаттандырады:
,
мұндағы, М - Липшиц тұрақтысы.
Айталық D облысының кез-келген ішкі нүктесі болсын, яғни
Достарыңызбен бөлісу: |
