1-дәріс. Матрицалар және анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері
жүктеу/скачать 2,12 Mb.
|
| Жылжытудың жалпы ұғымы.
Біз қарастырған түрлендірулердің-параллель көшіру, симметрия, бұру-ортақ қасиеті бар: олар кесінділердің ұзындықтарын сақтайды. Анықтама 2.4. Егер жазықтықтың әрбір екі нүктесі , және олардың бейнелері үшін қатынасы орындалса, яғни әрбір екі нүктенің арақашықтығы сақталатын болса, жазықтықтың ондай түрлендіруін жылжыту дейді. Жылжытудың қасиеттерін қарастырайық. . Жазықтықтың жылжытулары группа құрады. Бұған көз жеткізу үшін 1-параграфтағы 1-теорема көңіл аударайық: сонда келтірілген екі шарттың орындалатынын тексерейік. Екі жылжытудың композициясы жылжыту болады. Шыныда да , , ал болса, онда түрлендіруі жылжыту болады. Жылжытуға кері түрлендіру жылжыту болатыны теңдігінің симметриялылығынан көрініп тұр. . Жылжыту кесіндіні (ұзындығы сондай) кесіндіге бейнелейді. Шыныда да, жылжытуы мен нүктелерін сәйкесінше нүктелеріне түрлендірсін. Егер онда Онда жылжытуда арақашықтықтар сақталатындықтан: Бұл деген сөз. Керісінше, егер қандай да бір нүкте болса, онда жазылған теңдіктердің екіншісі орындалады; ендеше біріншісі де дұрыс, яғни Жылжыту бір түзуде жататын нүктелерді бір түзуде жататын нүктелерге бейнелейді. Шынында да, нүктелері бір түзуде жатсын және олардың сәйкес бейнелері болсын. Анықтық үшін нүктесі мен нүктелерінің арасында жатсын дейік. Онда -қасиет бойынша нүктесі пен -тың арасында жатады, демек, -бір түзудің нүктелері. Нүктелердің бір түзуде жату қасиетін коллинеарлық қатынас дейді. Коллинеарлық қатынасты сақтайтын түрлендіруді коллинеация дейді, демек, жазықтықтың жылжытулары коллинеация дейді, демек, жазықтықтың жылжытулары коллинеациялар болғаны. . Жылжыту түзуді түзуге бейнелейді. Кейбір жылжытуы берілсін. Кез-келген түзуін қарастырайық. Оның бойынан кейбір мен нүктелерін қалауымызша алайық. , болсын. пен нүктелерінен өтетін түзуді деп белгілейік (9-сурет). Егер кез-келген нүкте болса, онда -қасиет бойынша . Керісінше, егер кез-келген нүкте болса, онда жылжытудың өзара бірмәнділігінен ол нүктенің айқындалған түпнұсқасы бар және , себебі қарсы жылжытуға кері жылжыту бір түзуде жататын нүктелерін бір түзуде жатпайтын нүктелеріне түрлендірер еді. Сонымен, түзуінің әрбір нүктесі түзуінің кейбір нүктесіне бейнеленеді, ал түзуінің әрбір нүктесінің түзуінде түпнұсқасы бар, демек, түзуі түзуіне бейнеленеді. . түзуі түзуіне параллель болсын. Егер түзуі түзуіне, ал түзуі түзуіне бейнеленсе, онда || (жылжыту түзулердің параллельдігін сақтайды). Бұл «кері жору» тәсілімен оңай дәлелденеді. мен түзулерінің ортақ нүктесі жоқ, ал олардың бейнелері пен түзулерінің ортақ нүктесі бар деп жориық. бойынша нүктесінің түпнұсқасы түзуінде де, түзуінде де жатуға тиісті, ал бұлай болу шартқа қайшы. мен түзулері беттесетін жағдайда (ондай түзулерді де параллель дейді) олардың бейнелері пен түзулері де беттеседі, яғни олар да параллель болады. . Жылжыту сәулені сәулеге бейнелейді. сәулесі деп кесіндісінің барлық нүктелерінен және нүктесі мен нүктелерінің арасында жататындай барлық нүктелерінен құралған жиынды айтады. Кейбір жылжытуы нүктесін нүктесіне және нүктесін нүктесіне түрлендірсін. Онда қасиет бойынша кесіндісі кесіндісіне бейнеленеді. Жоғарыда, сәуленің анықтамасында сөз болған кез-келген нүктесі мен нүктелерінен өзгеше және теңдігімен сипатталады. Демек, оның бейнесі жылжытулардың өзара бірмәнділігі бойынша пен нүктелерінен өзгеше және сонымен бірге . Бұл дегенмен бірдей. Дәл осы тәсілмен әрбір нүктесі үшін оның түпнұсқасы екенін дәлелдеуге болады, (мұнда нүктесі -тің түпнұсқасы, нүктесі -тің түпнұсқасы). . Жылжыту бұрыштың шамасын сақтайды: егер жылжыту бұрышын бұрышына бейнелесе, онда Бұрыштың шамасын сақтайтын түрлендірулерді конформдық дейді. Жылжыту-конфорымдық түрлендіру екенін дәлелдейік. нүктелері нүктелерінің сәйкес бейнелері деп есептейік. Онда, жылжытудың анықтамасы бойынша: , демек, , керегі дәлелденеді. мен қасиеттерден: -жылжыту көпбұрышты қабырғалары мен бұрыштары-берілген көпбұрыштардың сәйкес қабырғалары мен бұрыштарына тең көпбұрышқа бейнелейді. . Жылжыту шеңберді радиусы берілген шеңбердің радиусына тең шеңберге бейнелейді. шеңбері берілсін, -сол шеңбердің кез-келген нүктесі, орындалатындай жылжыту болсын. болғандықтан, . Керісінше, егер , онда нүктесінің түпнұсқасы болатын нүкте . Жарты жазықтықтың түрлендіруі туралы мәселені қарастырайық. Егер кесіндісі мен түзуінің ортақ нүктелері болмаса, онда мен нүктелерін түзуінің бір жағында жататын, немесе сол түзуге сай ыңғайлас орналасатын нүктелер дейді. Ал егер түзуі кесіндісінің ішкі нүктесінен өтсе. Онда мен нүктелерін түзуінің екі жағында жататын, немесе түзуіне сай қарсылай орналасатын нүктелер дейді. Жоғарыда жүргізілген зерттеулерден нүктелердің түзуге сай ыңғайлас және қарсылас орналасулары жылжытуларда инвариантты деген қорытындыға келеміз. Түзу және нүктесімен анықталған ашық жарты жазықтықтығы түзуіне сай нүктесімен ыңғайлас орналасатын нүктелердің жиыны, демек жылжытулардың келесі қасиетті мынада: . Жазықтықтың жылжытуы, оның әрбір жартыжазықтығын жартыжазықтығына түрлендіреді (мұнда түзуі түзуінің, нүктесі нүктесінің берілген жылжытудағы бейнелері). Салдар. Жылжыту екі өлшемді бұрышты екі өлшемді бұрышқа бейнелейді. жүктеу/скачать 2,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|