1-дәріс. Матрицалар және анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері
Екінші ретті қисықтардың айналуынан пайда болған беттер
жүктеу/скачать 2,12 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 9-дәріс.
| 3. Екінші ретті қисықтардың айналуынан пайда болған беттер
1. - үш осьті эллипсоид. 2. - бір қуысты гиперболоид. 3. - екі қуысты гиперболоид. 4. - эллипстік параболоид. 5. - гиперболалық параболоид. 9-дәріс. Жазықтықты түрлендіру. Жоспар Жазықтықты түрлендіру ұғымы. Жазықтықты түрлендірудің шарттары. Жазықтықты түрлендіруіне к е р і түрлендіру. Табиғатта, техникада, ғылымда біз, өзгеру процесінде обектілер өзінің формасын, өлшемдерін немесе кеңістікте орналасуын өзгертетін құбылыстармен әрдайым кездесеміз. Мысылы, желдің соғу әсерінен ағаштар майысады, металдан жасалған зат жылытқанда ұлғаяды, маятник тербеледі. Осы жағдайлардың бәрінде де қандайда бір обьектінің түрленуі туралы сөз болады. Геометрияда қандайда бір фигураның түрленуін зерттегенде, оны өтетін уақыттан тәуелді процесс деп қарастырмайды, тек бастапқы фигура Ф мен түрлендіру нәтижесінде пайда болған фигурасын қарастыру және оларды салыстырумен шектеледі. Біз жазықтықты түрлендірулерді зерттейміз. Жазықтықты түрлендіру мен бірге сол жазықтықта жататын барлық фигуралар да түрлендіріледі. Бұл жағдайда жазықтық өзіне-өзі түрлендіріледі деп есептейміз. Сонымен, жазықтықта жататын әрбір фигура сол жазықтықта жататын фигураға түрлендіріледі және керісінше, берілген жазықтықта жататын әрбір фигураны сол жазықтықтағы фигураны түрлендіру нәтижесінде табылған фигура деп қарастыруға болады. Жазықтықты және сол жазықтықта жататын әрбір фигураны нүктелер жиындары деп қарастырамыз. Жазықтықты түрлендірулерді нүктелік жиындардың бейнелемелерінің арнаулы түрі деп анықтаймыз. А мен В- берілген екі жиын болсын. Анықтама 1.1. Егер А жиынының әрбір элементіне В жиынының анықталған элементін сәйкестендірілетін ереже көрсетілсе, онда А жиынын В жиынының ішіне бейнелеу берілген дейді. «-дегеніміз А жиынын В жиынының ішіне бейнелеу» деген сөздердің орнына немесе деп сондай-ақ деп жазылады. элементін элементінің бейнесіндегі бейнесі дейді, ал элементін элементінің түп нұсқасы дейді. Егер, мысалы, шашкалардың комплекті шахмат тақтасына орналастырылса, онда шашкалар жиыны шахмат тақтасының клеткалар жиынының ішіне бейнеленеді, мұнда: әрбір шашка-түп нұсқа, ал фигура қойылатын клетка-берілген бейнелемедегі сол фигураның бейнесі болады. Анықтама 1.2. Егер бейнелемесінде әрбір элементі кейбір элементінің бейнесі болса, онда бейнелемесін А жиынын В жиынына бейнелеу дейді. Жоғарыда сөз болған мысалдағы бейнелеме шашкалар жиынын шахмат тақтасының клеткалары жиынына бейнелеу болмайды, өйткені 64 клеткада 24 шашка ғана орналастырылған десек, қалған клеткалар фигурасыз қалады. Керісінше, шеңбердің нүктелерін оның диаметріне проекциялау- шеңбердің нүктелерінің жиынын берілген диаметрдің нүктелер жиынына бейнелеудің мысалы болады. Анықтама 1.3. Егер А жиынын В жиынына бейнелеуде әрбір элемент бір ғана элементінің бейнесі болса, онда бейнелеуді өзара бір мәнді (немесе қайтарымды, сондай-ақ биективтік бейнелеу немесе биекция) дейді. Шеңберді диаметрге бейнелеу биективті болмайды: диаметрдің бір ішкі нүктесіне шеңбердің әр түрлі екі нүктесі проекцияланады. Ал егер диаметрге барлық шеңбер емес, ұштары берілген диаметрдің ұштарымен беттесетін жарты шеңберді проекцияласақ, онда бейнелеу биективтік болады. Анықтама 1.4. А жиынын өзіне-өзін бейнелейтін кез-келген өзара бір мәнді бейнелеуін сол жиынды т ү р л е н д і р у дейді. Анықтама 1.5. Жазықтықтың түрлендіруі берілсін, ал - сол жазықтықтағы кейбір фигура болсын. фигурасының барлық нүктелерінің бейнелерінен құрылған фигураны фигурасының б е й н е с і дейді де деп белгілейді; фигурасын фигурасының берілген түрлендіруіндегі түпнұсқасы дейді. фигурасын фигурасына тұрлендіріледі деп, атайды да: деп жазылады. Жазықтықтың түрлендіруінің өзара бірмәнділігі бойынша онда жататын әрбір фигураның сол жазықта жалғыз бейнесі бар және керісінше, берілген жазықтықтағы әрбір фигурасын сол жазықтықта анықталған фигурасының бейнесі деп қарастыруға болады. Жазықтықтың түрлендіру әдетте берілген нүкте бойынша оның бейнесін қалай табуға болатынын көрсететін шартпен не келісіммен анықталады. Жазықтықтың түрлендіруінің берілуіне бірнеше мысал келтірейік. . Жазықтықтың әрбір нүктесіне сол нүктенің өзі сәйкестендіріледі. Ондай түрлендіруді теңбе-тең түрлендірме деп атайды да әдетте Е деп белгіленеді. 1-сурет . Жазықтықта векторы берілсін. Әрбір нүктесіне орындалатындай нүктесін сәйкестендірейік. (1- сурет). Осылай анықталған түрлендіруді жазықтықты параллель көшіру дейді де , немесе деп белгілейді. . Жазықтықта түзуі берілсін. нүктесінің бейнесін табу үшін нүктесін түзуіне перпендикулярын жүргіземіз де, кесіндісінің қақ ортасы ніүктесін саламыз (2-сурет). 2-сурет
. Жазықтықта кординаталардың системасын қалап алайық. Әрбір нүктесіне , орындалатындай нүктесін сәйкестендіреміз. Мысалы: (3-сурет). A(0;1) B/(1;1) B(1;0) A/ (1;-1) 3-сурет Егер жазықтығының берілген түрлендіруінде нүктесінің бейнесі болса, онда түрлендіруінің биективтігі бойынша нүктесінің жалғыз ғана түп нұсқасы болуға тиісті. Демек, түрлендіруімен қатар жазықтығының орындалатындай тағы бір өзіне-өзін бейнелеуі анықталады. Мұндай бейнелеу де өзара бір мәнді екенін, яғни ол да жазықтығының түрлендіруі болатынын байқау қиын емес. Оны түрлендіруіне к е р і түрлендіру дейді де деп белгілейді. Анықтама 1.6. Берілген түрлендіруіне кері түрлендіру мына шартпен беріледі: егер , онда Мысал ретінде мысалдарда келтірілген түрлендірулерге кері түрлендірулерді қарастырайық. Теңбе-теңдік түрлендіруге кері түрлендіру де теңбе-теңдік түрлендіру болады. параллель көшіруіне кері түрлендіру параллель көшіруі болады. нүктесін түзуіне қарай 1:2 қатынасында қысудан табылған нүктесі бойынша нүктесін табу үшін, нүктесінен түзуіне перпендикулярын жүргізу керек, одан кейін орындалатындай етіп түзуін салу керек. Бұл түрлендіруді де түзуіне қарай қысу деп атайды, бірақ мұндағы қысу 2:1 қатынасында болады. Шарт бойынша , , сондықтан. . түрінде жазылады. жүктеу/скачать 2,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|