1 Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының ғылыми ақпараттық-талдамалы журналы Научный информационно-аналитический журнал Павлодарского государственного

ҚАЗАҚСТАН ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ХАБАРШЫСЫ                                         3, 2012
3, 2012                                              ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК КАЗАХСТАНА
138
139
УДК 517.19
ИССЛЕДОВАНИЕ БИФУРКАЦИИ И РОЖДЕНИЯ ЦИКЛА  
В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ
Т. Сабиров
Бұл  мақалада  химиялық  кинетиканың  кейбір  реакция-
ларында  өтетін  процестерді  сипаттайтын  математикалық 
моделінің  бір  есебі  қарастырылған.  Модель  үш  өлшемді 
сызықсыз  дифференциалдық  теңдеулер  түрінде  берілген. 
Гомогенді  процестер  жағдайында  процестер  бірқалыпты 
өтпейді екен. Оларда әртүрлі құбылыстар пайда болады. Мате-
матика тілінде оларды «шешімдердің ыдырауы – бифуркация-
лануы» және «циклдардың» пайда болуы деп атайды. Мақалада 
осы жағдайлар математикалық тұрғыдан қарастырылған.
A  problem  of  chemical  kinetics  on  a  subject  of  soluni  ons 
befurcation a end the nescensy of cycle are cons indered in this article.
Колебательные химические реакции до сегодняшнего дня привлекают при-
стальное внимание представителей различных наук. Это объясняется необычно-
стью кинетики таких реакций и вытекающими отсюда важными следствиями как 
для фундаментальных, так и для прикладных наук [1], [2], [3]. Химическую реак-
цию можно выразить соответствующей математической моделью, решение кото-
рой должно согласовываться с экспериментально наблюдаемым поведением дан-
ной химической системы. Динамические системы, такие как химические реакции, 
моделируются системами дифференциальных уравнений. Сопоставления химиче-
ских и математических систем приведены в [3], стр. 9.
Состояния химического равновесия представляют собой устойчивые особые 
точки  [2],  соответствующие  решениям  системы  дифференциальных  уравнений, 
моделирующей реакцию. Кроме того, если некоторые решения будут описывать 
поведение системы, не наблюдавшееся до сих пор, необходимо поставить экспери-
мент так, чтобы получить предсказываемое моделью поведение системы и тем са-
мым подтвердить правильность математической модели реакции. К последним, на-
пример, относится ряд абстрактных моделей, предложенных Росслером [3], кото-
рые описывают постепенно усложняющие колебания в химических реакциях. Не-
которые из этих моделей были использованы для объяснения колебания в экспери-
ментальных системах, например, в работе Олсена и Дегна [2].
В данной работе мы рассмотрим один из таких задач химической кинетики 
на предмет рождения цикля и бифуркации из равновесного состояния.
Исходя из [3] рассматриваемую нами систему 
   
 
 
 
x x xy x
= −
−

   
 
 
 
2
y x
ay
=
−

   
 
 
 
(1)
   
 
 
 
(
)
z b cx z
= ⋅
−

можно было называть математической моделью Росслера одной химической кине-
тики. В данной системе x, y, z – неизвестные физико-химические объекты, а пара-
метры системы «a, b, c» – как правило, характеризуют скорость протекания реак-
ции.
Легко  заметить,  что  система  инвариантна  относительно  преобразования: 
х = –х; у = у и z = –z. Состояние равновесия системы определяется как решение си-
стемы уравнения:
   
 
 
 
x(1 – y) = z,
   
 
 
 
ay = x
2
, 
 
 
 
 
(2)
   
 
 
 
cx = z.
Отсюда  видно,  что  при 
∀
a,  b,  c  состоянием  равновесия  системы  является 
точка Р
0
(x, y, z) = P
0
(0, 0, 0) – т. е. начало координат, и это очевидно!
При a · (1 – с) > 0 нулевое решение Р
0
(x, y, z) = P
0
(0, 0, 0) расщепляется и появ-
ляются еще два состояния равновесия:
   
1
(1 ) ,
1 ,
(1 )
x
a
c
P
y
c
z
c a
c
 = −
⋅ −

=
= −

 = − ⋅ ⋅ −

, 
2
(1 ) ,
1 ,
(1 )
x
a
c
P
y
c
z c a
c
 =
⋅ −

=
= −

 = ⋅ ⋅ −

   
 
(3)
Для исследования состояния равновесия при решении применяем первый ме-
тод Ляпунова. Якобиан системы (1) имеет вид
   
 
 
1
1
2
0
0
y
x
J
x
a
bc
b
−
−
−




=
−




−


 
 
 
 
(4)
Характеристическое уравнение
   
 
 
1
1
2
0
0.
0
y
x
x
a
bc
b
λ
λ
λ
− −
−
−
− −
=
− −
 
 
 
(5)
Раскрыв определитель (5) и подставив на место значения аргументов пере-

ҚАЗАҚСТАН ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ХАБАРШЫСЫ                                         3, 2012
3, 2012                                              ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК КАЗАХСТАНА
140
141
менных x, y, z значения точек равновесия (3), мы получим следующее характери-
стическое уравнение
   
 
3
2
(
)
(2
3 )
2
(1 ) 0
a b c
a
b
c
ab
c
λ
λ
λ
+
+ + ⋅
+ ⋅ + −
⋅ +
⋅ − =
  
(6)
В данной работе мы рассмотрим состояние равновесия только в начале коор-
динат, т. е. в начале химической реакции. Поэтому характеристическое уравнение 
(6) имеет вид
2
(
) [
(
1)
( 1)] 0.
a
b
b c
λ
λ
λ
+ ⋅
+ −
+
−
=
Отсюда
0
,
a
λ
= −
   
 
 
2
1/2
(
1)
(
1)
4
2
b
b
bc
λ
− − ±
+
−
=
   
 
 
(7)
Следовательно, при a > 0 можно найти условия для параметров b и c, при ко-
торых состояние начальной точки было бы устойчивым узлом. Таким условием 
является условие
2
(
1)
1
1
4
b
c
b
−
< ≤ +
Пуанкаре [4] поставил задачу об определении области начальных данных (x
0
, 
y
0
, z
0
), при которых траектория решения задачи (1) притягивалась к состоянию рав-
новесия Р
0
, т. к., по Каменкову [5], некоторые траектории, начинающиеся в некото-
рых точках (x*, y*, z*), могут и не притягиваться к Р
0
.
Отсюда возникает вопрос: насколько можно увеличить значения параметров 
«b» и «c», чтобы получилось такое притягивание к началу состояния равновесия?
Рассмотрим некоторые частные варианты этих вопросов.
1. Из (7) следует, что если a > 0, b > 1 и 
2
(
1) / 4
c b
b
≥
+
, то все корни характе-
ристического уравнения (6) отрицательны. Следовательно, в этом случае Р
0
 – есть 
устойчивый узел.
Естественно, при этом возникает вопрос: насколько велика область притяже-
ния начальной точки к состоянию равновесия и каковы предельные значения при
 
   a → +0, b → +1 и c → +(b + 1)
2
/4b.
2. При
   
 
 
0 < c < 1, a > 0, b > 1
состояние  равновесия  Р0  становится  седло-узлом,  и  от  устойчивого  равновесия 
Р
0
 ответвляются два состояния равновесия – Р
1
 и Р
2
. Следовательно, бифуркация 
происходит при переходе параметра «с» через 1 справо налево.
3. При
   
 
 
a < 0, b < 1 и c > (b + 1)
2
/4b
состояние равновесия Р
0
 становится седло-фокусом, и от устойчивого равновесия 
Р
0
 ответвляются два состояния равновесия – Р
1
 и Р
2
. Следовательно, бифуркация 
происходит при переходе параметра «а» через 0 справо налево.
Естественно, требуется дальнейшее исследование поведения других параме-
тров данной системы на предмет состояния устойчивости.
Литература
1. Странные аттракторы. – М.: Мир, 1981.
2. Жаботинский А.М., Отмер Х., Филд Р. Колебания и бегущие волны в химических 
системах. – М.: Мир, 1988.
3. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. – М.: Мир, 1986.
4. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. – М.: 
Мир, 1983.
5. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. Избранные труды, 
т. 2. – М.: Наука, 1972.
УДК 378.1:004
ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ КРЕДИТНОЙ ТЕХНОЛОГИИ 
И ДИСТАНЦИОННОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Т.И. Кадькалова, Е.Е. Солтан
Жұмыста  алгебралық  және  геометриялық  циклдік 
пәндерінің  ұйымдастыру  тәжірибесі  күрделі  оқыту  элемент- 
терін  қолдану  арқылы  қажетті  ептіліктер  мен  тиісті 
алгоритмдерді табу ұсынылған.
In work experience of the organization of studying of disciplines 
of algebraic and geometrical cycles with use of elements of problem 
training,  detection  of  necessary  abilities  and  development  of  the 
corresponding algorithms is offered.
Вхождение Республики Казахстан в мировое образовательное пространство 
требует от системы отечественного образования обеспечения высокого качества 
обучения и воспитания, подготовку высококвалифицированных кадров. Массово-

ҚАЗАҚСТАН ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ХАБАРШЫСЫ                                         3, 2012
3, 2012                                              ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК КАЗАХСТАНА
142
143
репродуктивный способ передачи знаний от преподавателя студентам давно уже 
себя изжил, так как превращал студентов в пассивных потребителей проговарива-
емой преподавателем информации и не способствовал развитию навыков добыва-
ния знаний, что крайне необходимо для современного человека. 
Как показывают исследования психологов, знания достигаются собственны-
ми силами, собственным напряжением, собственной деятельностью. Слушая, чи-
тая что-либо, мы получаем какую-то информацию. Но для того, чтобы эта информа-
ция превратилась в знания, а тем более для того, чтобы приобрести навыки исполь-
зования её, необходимо потрудиться самостоятельно. Иначе говоря, назрела необ-
ходимость перехода от репродуктивного процесса к индивидуально-творческому, 
когда  самостоятельная  работа  становится  основной,  преимущественной  формой 
овладения знаниями и методами профессионального мышления, а основная обя-
занность преподавателя заключается не столько в сообщении научной информа-
ции, сколько в большей степени в грамотной методической помощи организации 
получения сведений из различных источников по формированию знаний и мето-
дов мышления.
Кредитная технология, на которую перешли в настоящее время в большин-
стве стран мира, в том числе и в Казахстане, во многом привлекателен в этом отно-
шении. Она способствует, наряду с другими преимуществами, индивидуализации 
процесса обучения студентов, повышению учебной активности, выработке навы-
ков самостоятельного добывания знаний, что в нынешних условиях крайне важно.
Перспективной формой обучения в настоящее время становится дистанцион-
ная в различных её видах и целях получения образования. Дистанционная форма 
обучения может быть использована как для получения высшего образования по за-
очной форме, так и для системы повышения квалификации и переподготовки спе-
циалистов, для получения дополнительного высшего образования и, наконец, для 
оказания методической помощи учителям и учащимся школ (что-то типа так назы-
ваемой «Виртуальной Академии Школьников»), что становится реальным при ны-
нешней 100% компьютеризации всех школ в Казахстане. 
Известны  различные  модели  дистанционного  обучения:  кейс-технологии, 
Интернет-технологии, TV-технологии и др. В любом случае для студентов, обуча-
ющихся по дистанционной форме, требуется комплект учебно-методической доку-
ментации (возможно, и в электронном виде), позволяющей осуществлять освоение 
учебного материала с выполнением контрольных заданий, итоговой аттестации по 
дисциплине (так называемый курсовой кейс). При разработке курсового кейса на-
ряду с теоретическим материалом, практическими и контрольными заданиями не-
маловажную роль играют грамотно разработанное методическое сопровождение, 
помогающее разобраться в теории и получить навыки решения типовых задач и 
проведения  исследований.  Подобные  методические  рекомендации  представляет-
ся возможным наработать со студентами очной формы, в условиях кредитной тех-
нологии.
При том раскладе часов, которые мы имеем на один кредит – 15 часов лек-
ционных, 15 – практических, 15 – СРСП (а фактически должно быть больше), до-
ля лекционных занятий составляет очень ограниченную часть, а потому они долж-
ны носить характер направляющих, побуждающих к самостоятельному изучению. 
Поэтому  в  условиях  кредитной  технологии  важную  роль  приобретают  самосто-
ятельные занятия студентов и самостоятельные занятия студентов под руковод-
ством преподавателей. 
Преподаватель должен всегда помнить, что под самостоятельной работой сту-
дента теперь понимается сложная работа: студент должен самостоятельно пройти 
все пути и перепутья мыслительной деятельности и в случае затруднений иметь 
возможность разрешить вопросы с преподавателем. И при этом преподаватель дол-
жен добиваться того, чтобы студент, получивший положительную оценку, освоил 
весь программный материал, а на этапе освоения этого материала умело направ-
лять, ставя вопросы, предлагая задания. 
Методическая  обоснованность  вопросов,  их  последовательность,  необхо-
димость  проработки  целиком  зависит  от  опыта  преподавателя,  обоснованность 
ответов,  выполнение  всех  заданий  должно  составлять  основу  работы  студен-
та. Мы должны учить учиться. Необходимо поставить студента в условия необ-
ходимости самостоятельного добывания знаний. В задачи преподавателя входит 
организационно-методическое обеспечение самостоятельной работы студента.
В  педагогике  известны  понятийные  paзновидности  «педaгогической  тех-
нологии»: тaк, было зaмечено, что понятие «педaгогическaя технология» в нaуке 
и  пpaктике  не  опpеделяется  однознaчно,  нaблюдaется  и  явление  использовaния 
кaк  синонимов  понятий  педaгогическaя  технология  (чaстно-пpедметного  и 
локaльного  уpовней)  и  методикa  обучения.  Но,  paссмaтpивaя  отличие  техноло-
гии от методики, пpофессоp A. Кушниp отмечaл, что «технология отличaется сво-
ей воспpоизводимостью pезультaтов, отсутствием многих «если»: если тaлaнтлив 
учитель,  тaлaнтливы  дети,  богaтaя  школa».  Методикa  возникaет  в  pезультaте 
обобщения  опытa  или  изобpетения  нового  способa  обучения.  Технология,  в  от-
личие  от  нее,  пpоектиpуется,  исходя  из  конкpетных  условий  и  оpиентиpуясь  нa 
зaдaнный pезультaт. Технолог опиpaется нa хоpошо известные, испpобовaнные и 
обосновaнные фaкты. Он имеет дело с точно пpедскaзуемым мaтеpиaлом, техноло-
гия имеет гapaнтиpовaнный pезультaт, все ее чaсти обязaтельны, выстpоены в логич-
ной последовaтельности, следовaтельно, легкaя пеpестpaивaемость, зaменяемость 
пpинципов или пpиемов paботы свидетельствует об отсутствии технологичности.

ҚАЗАҚСТАН ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ХАБАРШЫСЫ                                         3, 2012
3, 2012                                              ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК КАЗАХСТАНА
144
145
Смешение технологий и методик пpиводит к тому, что иногдa методики вхо-
дят в состaв технологий или, нaобоpот, технологии входят в состaв методик обу-
чения.
Принятая  в  настоящее  время  кредитная  технология  обучения  может  быть 
реализована  с  помощью  различных  методик.  И  наряду  с  большим  разнообрази-
ем всевозможных методик в вузовской практике часто приходится прибегать к ис-
пользованию проблемного метода. 
В настоящей работе мы попытаемся показать, как реализуется решение по-
ставленных задач в процессе изучения дисциплины «Аналитическая геометрия и 
линейная алгебра» студентами первого курса специальности «Физика». 
Так, при изучении темы «Умножение матриц» необходимо выработать уме-
ние находить произведение двух произвольных матриц (например, матрицы А на 
матрицу В). С этой целью предлагается студентам следующий алгоритм:
1. Проверить, совпадает ли число столбцов матрицы A = (a
ij
)
mn
 с числом строк 
матрицы B = (b
ij
)
nk
 ( «согласованы» ли порядки множителей). Только в этом случае 
можно умножать матрицу А на матрицу В. В противном случае вычислить матри-
цу С = А ∙ В нельзя.
2. Определить  порядок  матрицы  произведения:  С(c
ij
)
nk
  имеет  порядок  m ∙ k, 
где m – число строк первого множителя А, а k – число столбцов второго множите-
ля В.
3. Вычислить каждый элемент матрицы произведения С по формулам: 
 
   c
ij
 = a
i1
b
1j
 + a
i2
b
2j
 + … + a
in
b
nj
4. Выписать полученную матрицу C.
В  результате  изучения  темы  «Системы  линейных  уравнений»  студенты 
должны уметь:
исследовать на совместность неоднородную систему уравнений A ∙ X = B
и найти её единственное или общее решение методом Гаусса. Предлагаемый 
алгоритм поможет им в выработке необходимых умений:
1. Записать «расширенную» матрицу системы (
A
), приписав к основной ма-
трице столбец из свободных членов В: (A|B).
2. Привести  матрицу  (
A
)  к  ступенчатому  виду  и  определить  Rang  (А)  и  
Rang (
A
).
3. Исследовать  систему  на  совместность,  руководствуясь  критерием:  если 
Rang (А) < Rang (
A
), то система не совместна, т. е. не имеет решения. Если окажет-
ся, что Rang (А) = Rang (
A
) = n, где n – число переменных, то перейти к выполне-
нию п. 7. В случае, когда Rang (А) = Rang (
A
) < n, перейти к п. 4. 
4. Определить свободные и зависимые переменные. При этом в качестве за-
висимых переменных взять угловые элементы, остальные (n – r) переменных счи-
тать свободными.
5. Выразить обратным ходом метода Гаусса зависимые переменные через сво-
бодные.
6. Найти общее решение системы. При записи общего решения использовать 
полученные в п. 5 выражения зависимых переменных через свободные перемен-
ные и правые части уравнений.
7. Единственное решение системы запишем, используя обратный ход мето-
да Гаусса.
Аналогичные алгоритмы по выработке навыков предлагаются студентам при 
изучении  и  элементов  аналитической  геометрии,  например,  при  изучении  темы 
«Прямая на плоскости и в пространстве» вместе со студентами вырабатываются 
следующие алгоритмы: нахождение углового коэффициента прямой, заданной об-
щим уравнением; нахождение нормального вектора прямой, заданной уравнением 
с угловым коэффициентом; нахождение направляющего вектора прямой, заданной 
как пересечение двух плоскостей и др. Приведём примеры соответствующих ал-
горитмов, используемые нами в процессе изучения элементов аналитической гео-
метрии:
№
Умения
Соответствующие им алгоритмы
1
Проверка того, что пря-
мые, заданные об-
щими уравнениями 
А
i
х + В
i
y = C
i
 = 0, i = 1, 2 
пересекаются. Нахожде-
ние координат точки пе-
ресечения.
1. Проверить пропорциональность коэффициентов при перемен-
ных: 
1
1
2
2
A
B
A
B
=
 
2
2 1
y
x
=
−
+
.
2. Если 
1
1
2
2
A
B
A
B
≠
, то прямые пересекаются. 
3. Точку пересечения найти, решая совместно систему уравне-
ний: 
1
1
1
2
2
2
0
0
A x B y C
A x B y C
+
+
=


+
+
=

.
2
Нахождение углового 
коэффициента k прямой, 
заданной общим урав-
нением Ах + Ву + С = 0.
1. Убедиться в том, что в уравнении прямой коэффициент В (ко-
эффициент при у) отличен от нуля.
2. Из данного уравнения выразить Ву.
3. Обе части полученного уравнения разделить на 
0
B ≠ : 
A
C
y
x
B
B
= −
−
.
4. Т. к. уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид 
y = kx + b, значит 
A
k
B
= − .

ҚАЗАҚСТАН ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ХАБАРШЫСЫ                                         3, 2012
3, 2012                                              ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК КАЗАХСТАНА

жүктеу/скачать 4,03 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: