А. А. Айдарбекова магистр, аға оқытушы, Н. А. Сәндібаева п.ғ. к., доцент м а

36 Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013 


































0
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
2
4
3
4
2
x
F
i
V
k
j
i
xx
T
L
x
Lx
L
q
dV
T
L
L
x
T
L
x
L
T
L
L
x
K
J






























L
x
F
j
i
x
k
j
T
L
x
L
T
L
L
x
dS
T
L
Lx
x
T
L
x
Lx
2
2
0
2
2
2
2
2
4
3
4
2
4


dS
T
T
L
L
x
L
x
oc
k








2
2
4
. (6) 
После интегрирования из (6) получим 




2
2
2
2
2
7
16
16
2
16
7
6
oc
k
i
k
j
k
j
k
i
j
i
i
xx
T
T
hF
T
q
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
K
J












. (7) 
Здесь следует отметить, что во всех скобках сумма коэффициентов равно нулю, т.е. в 
первой скобке (7-16+2-16+16+7)=0 и во второй (1-1)=0. Теперь, минимизируя 
J
по 
узловым значениям температуры 
i
T
, 
j
T
и 
k
T
получим следующую разрешающую систему 
уравнений 











































0
7
8
3
;
0
)
3
0
8
16
8
3
;
0
)
2
0
8
7
3
;
0
)
1
oc
k
k
j
i
xx
i
k
j
i
xx
j
k
j
i
xx
i
T
T
hF
T
T
T
F
K
T
J
T
T
T
F
K
T
J
q
T
T
T
F
K
T
J



(8) 
Решая систему, находим узловые значения температуры 

















.
;
2
;
h
q
T
T
K
q
h
q
T
T
K
q
h
q
T
T
oc
k
xx
oc
j
xx
oc
i


(9) 
Подставляя (9) в (4) и после упрощения определим закон распределения температуры по 
длине исследуемого стержня 


xx
xx
oc
xx
oc
K
qx
K
q
h
q
T
x
K
h
q
T
T












,
,
,
,
,
. (10) 
Здесь следует отметить, что действительно полученное решение (10) удовлетворяет 
уравнению теплопроводности и соответствующих граничных условий. Если один конец 
стержня был бы защемлен, а другой свободен, то за счет теплового расширения стержень 
удлинялся бы на 
T


, которая определяется следующим образом 

Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің Хабаршысы №1(43), 2013
37





















0
1
)
(
dx
K
qx
K
q
h
q
T
x
T
xx
xx
oc
T

. (11) 
Здесь зависимость 
 


x
T



для конструкционных материалов определяется 
экспериментально [2]. Для многих конструкционных материалов на определенном 
интервале изменения температур эта зависимость имеет кусочно-линейный характер [2]. 
Теперь переходим к рассмотрению защемленного стержня. В связи с тепловым 
расширением стержня из-за ее защемленности двух концов там возникает сжимающее 
усилие 
 
кГ
R
. 
Для полноты исследования рассмотрим стержень ограниченной длины защемленным 
одним концом, а другой свободен. На свободном конце приложено осевое сжимающее 
усилие R. В связи с этим укорачивание стержня 
R


определяется в соответствии с 
законом Гука 
EF
R
R





. (12) 
Тогда для защемленного двумя концами стержня должно удовлетворяться условие 
совместности деформаций, т.е. 
0
1






T
R



или 
0
1




T
EF
R


. (13) 
Отсюда определяются выражение для сжимающего усилия 













0
1
)
,
,
,
,
,
(
))
(
(
xx
oc
T
K
h
q
T
x
T
x
T
EF
EF
R

. (14) 
Выражение для термоупругой составляющей напряжения и деформации 
определяются в соответствии с законом Гука 



















1
1
T
T
E
E
F
R



(15) 
Температурная составляющая деформации 
T

, определяется следующим образом 


















xx
xx
oc
T
K
qx
K
q
h
q
T
x
T

))
(
(


. (16) 
Соответствующая температурная составляющяя напряжения 
T

, определяется в 
соответствии с законом Гука 




















xx
xx
oc
T
T
K
qx
K
q
h
q
T
x
T
E
E

))
(
(



. (17) 
Упругая составляющая деформации определяется следующим образом 





























x
x
xx
xx
oc
T
T
x
E
K
qx
K
q
h
q
T
x
T









))
(
(
. (18) 
Для иллюстрации данного метода приведем решения в виде графиков при следующих 
исходных данных: 
);
(
20
см
L

);
(
2
см
F


));
/(
(
100
С
см
Вт
K
xx



);
/
(
1500
2
см
Вт
q


));
/(
(
8
2
С
см
Вт
h



);
(
40
С
T
oc


);
/
(
10
2
2
6
см
кГ
E


)
/
1
(
10
125
7
C
const






.

38 Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013 
При этих исходных данных поле распределения температуры, составляющих деформаций 
и напряжения приводятся на рисунках 2-4. 
Рисунок 2 – Поле распределения 
температуры 
Рисунок 3 – Поле распределения 
составляющих деформаций 
Рисунок 4 – Поле распределения составляющих напряжений 
Случай-2.
Предположим, на защемленных концах стержня задана температура 


1
0
T
x
T


и 


2
T
L
x
T


. В этом случае закон распределения температуры по длине 
стержня будет следующей 


1
1
2
2
1
,
,
,
T
x
T
T
T
T
x
T






. (19) 
Тогда удлинения стержня определяется следующим образом 
 


dx
T
x
T
T
x
T
T














0
1
1
2
2

. (20) 
Величина сжимающего усилия, составляющяя деформацию и напряжение 
определяется следующим образом 
 

 

























x
x
T
x
T
T
T
T
T
T
E
E
T
T
x
T
x
T
E
F
E
R











;
;
,
,
,
;
;
;
2
1
2
2







(21) 
Случай-3.
Предположим, что через площади двух защемленных концов стержня 
происходит конвективный теплообмен с окружающей средой. При этом на левом конце 


0

x
стержня коэффициент теплообмена 
1
h
, температура окружающей среды 
1
oc
T
, а на 
правом конце 


L
x

соответственно 
2
h
и 
2
oc
T
. В этом случае поле распределения 
температуры по длине стержня будет такова 

Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің Хабаршысы №1(43), 2013
39






1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
,
,
,
,
,
h
h
T
h
T
h
x
h
h
K
T
T
h
h
K
T
T
h
h
x
T
oc
oc
xx
oc
oc
xx
oc
oc








. (22) 
Удлинение стержня определяется из следующего выражения 
 






dx
h
h
T
h
T
h
x
h
h
K
T
T
h
h
x
T
oc
oc
xx
oc
oc
T


















0
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
3

. (23) 
Остальные параметры определяются следующим образом 
 

 

























;
;
;
;
,
,
,
,
,
;
;
;
2
1
2
1
3
3
x
x
T
x
T
T
xx
oc
oc
T
T
T
T
E
E
K
T
T
h
h
x
T
x
T
E
F
E
R

















(24) 
В принципе, предложенный энергетический метод позволяет всесторонне 
исследовать термоупругое состояние защемленного двумя концами теплоизолированного 
по боковой поверхности стержня при разных вариациях граничных условий на концах 
стержня в смысле задания источников тепла любого вида. 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
В.Ф.Ноздрев Курс термодинамики. – М.: Мир, - 1967. – 247с. 
2.
Ф.Ф.Химушин Жаропрочные стали и сплавы// 2-ое переработанное и дополненное 
издание. – М.: Металлургия, 1969. – 749с. 
ТҮЙІНДЕМЕ 
Бұл мақалада энергетикалық принцип негізінде бүйір беті жылудан оқшауланған, екі 
шеті мықтап бекітілген шекті ұзындықтағы стерженнің жылу-серпімділік күйін 
аналитикалық жолмен анықтау қарастырылған. Мықтап бекітілген ауданына әртүрлі жылу 
кӛздері беріледі. Сол жағдайда температураның таралуын, температуралық серпімділігін 
және температуралық деформация мен кернеудің мәндері анықталып, графигі алынды. 
Сондай-ақ материалдың жылулық ұлғаю коэффициентінің температураға тәуелділігі 
ескерілді. 
SUMMARY 
The article deals with the power principle of analytical solution problem of a thermoelastic 
condition of the limited length core jammed by two ends heatisolated on a lateral surface is 
under construction. On the jammed ends different types of sources are set. The field distribution 
of temperature, elastic and thermoelastic components of deformations and tension is under 
construction. Thus value of factor of thermal expansion of a material of a core is a temperature 
function. 

жүктеу/скачать 4,01 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: