Абай атындағы

 
115 
statement  (Theorem)  to  solve  the  inverse  problem  with  a  known  solution  of  the  direct 
problem. 
 
The  dynamic  inverse  problem  was  investigated  by  V.G.  Yakhno  and  S.O. 
Apbasov [1,2]. 
 Recovery of thermostarined condition set on a part of displaced limit was considered  
by Kozlov V.A.  
Problem.  Let  on  border  x=0  halfspace 


0
,




z
R
z
R
  the  thermal  impact  is 
set  and  thus  temperature  on  border  is  raised  from  initial  temperature  Т
0
  up  to  Т
1
.  Then  the 
mathematical model thermo-elasticity is described by the equation [3]: 
 
 
)
1
(
,
,
))],
,
(
(
))
(
2
)
(
3
(
,
)
(
2
)
(
[
,
)
(
2
2















R
t
R
z
t
z
R
z
z
z
t
z
z
z
z
t
t
z
z








 
























z
s
d
e
erfc
kt
kt
z
erfc
kt
z
kt
z
erfc
T
T
t
z
t
z
dy
y
s
R
where
0
2
0
1
0
,
2
1
)
(
,
2
*
)
exp(
))
2
/(
(
*
)
(
)
,
(
)
,
(
,
)
(
)
(
2









 
 
T
T
K
0
1
,
,
,

  - fixed positive numbers, 

( , )
z t
  - adhering of temperature, 

( )
y
 - thermal expansion, к – temperature conduction, g=q/n,    q – heat-return n – heat 
conduction.  
The physical sense of a direct problem of thermo-edacity consists in definition of 
convected heat exchange u (z, t), occurring in environment under initial and boundary 
conditions 
 
 
)
2
(
,
0
0
,
,
0
0
,






t
t
t
z
t
t
z


 
 
)
3
(
.
))
,
0
(
(
)
0
(
2
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
3
0
,
t
R
z
z
t
z












 
Let's note, that a boundary condition (3) at, 
),
0
1
(
))
,
0
(
(
T
T
y
t
R




 
models thermal impact on a surface of halfspace R
+
, i.e. temperature on border raises 
from Т
0
 up to Т
1
. Thus between border of environment х=0 and environment  occurs 
convected heat exchange. 
Inverse problem.  To define 
 
z

 - density of environment  from (1) - (3) at the 
additional information concerning the decision of a direct problem    
)
4
(
0
],
,
0
[
),
(
0
)
,
(
,
const
T
T
t
t
f
z
t
z






 
and at known meanings  λ (z), μ (z) – coefficients of Lame, 
 
y

 - thermal expansion.      
From the equation (1) we will get 
 
 
 


 
 
 
 


 
 
 
 


 
 
 
 
 
5
).
,
(
2
3
)
,
(
2
3
2
,
2
2
,
2
2
,
2
t
z
z
z
z
z
t
z
z
z
z
z
z
z
t
z
z
z
z
z
t
z
z
z
z
z
z
t
t
z






































  

 
116 
Let's  take  new  variety 
 
 
 
 



z
dy
y
y
y
z
x
0
2



  and    new  functions 
 
   
 
   
 
   
 

  
,
,
,
,
,
,
t
z
t
z
x
u
z
z
x
c
z
z
x
в
z
z
x
a








 
     
 


 
.
,
,
t
z
t
z
x



 
Then, using the following expressions 
 
 
 
 
 
,
,
,
,
,
,
,
,
2
z
x
z
z
x
z
z
x
z
zz
x
z
xx
zz
z
x
z
tt
tt
x
x
c
z
x
в
z
x
t
x
t
z
x
u
x
u
x
u
u





















   
from the equation (5) we have 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
.
,
2
2
3
,
2
2
3
2
2
1
2
2
x
a
t
x
x
c
x
в
x
c
x
в
x
a
t
x
x
c
x
в
c
в
u
x
c
x
в
x
a
x
c
x
в
x
a
u
x
a
x
c
x
в
c
в
u
u
x
x
x
x
x
x
x
xx
tt





































 
 
,
0
,
0


t
t
x
u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
)
7
(
.
,
,
0
*
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
3
,
0
t
t
a
c
в
c
в
c
в
x
t
x
u
x











   
 
 
 
 
8
.
,
0
,
,
0
T
t
t
f
t
x
u
x



 
Let concerning required function 
 
)
(
),
(
x
c
x
b
and
х
а
 and be executed 
where   
 
,
)
,
(
,
)
(
),
(
,
1
0





t
x
x
c
x
b
х
а
  
 
   
 


 


 








.
,
)
,
0
(
,
,
,
,
,
0
,
0
0
,
6
1
3
0
2
0
1
0
6
0
0
2
x
x
d
t
x
p
suр
R
R
C
t
x
M
M
х
M
R
C
х
C


























(9) 
Let's designate through         
 
 
 
 
















x
x
c
x
в
x
a
x
S
2
ln
. 
  
From here                    
 
 
 
 


 
.
exp
2
0











x
dy
y
S
x
c
x
в
x
a
                  (10) 
  We allocate singular part of a direct problem decision, representing it as, continuing 
all connected functions on х to R by an even mode 
         
 
   


,
,
~
,
x
t
x
R
t
x
u
t
x
u




                            (11) 

 
117 
where 


t
x
u
,
~
 - continuous smooth function is.   
 Substituting the received correlation (6), (7) and taking into account (10), (11), we 
will get a reverse task with the data on the characteristics 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
































































,
,
,
,
1
*
,
2
2
3
,
2
2
3
2
2
R
x
x
R
t
x
u
u
x
S
a
x
a
t
x
x
c
x
в
x
c
x
в
t
x
x
c
x
в
c
в
u
x
c
x
в
c
в
u
u
x
t
x
x
x
x
x
x
x
xx
tt


    (12)  
 
   
 
 
 
 
 



























x
c
x
в
dy
y
S
x
c
x
в
c
в
x
R
x
R
x
S
x
x
x
2
exp
2
2
/
2
0
 
 
 
 
,
0
0
2
0
0
a
c
в
S


 
 
 


 
   
 
,
0
2
0
0
,
exp
2
0
c
в
a
d
S
x
c
x
в
x
a
x














 
 
   
   

  
 
)
13
(
,
,
0
*
0
0
2
0
0
2
0
3
,
0
t
a
c
в
c
в
t
x
u
x
x







 
 
 
 
 
.
,
0
,
,
0
T
x
t
f
t
x
u
x



                                     (14) 
 Here unknown function is the function 
 
x
a
. 
  By force of a condition (9), (14) and hyperbolic equation it is possible to be limited 
by consideration of a inverse problem (12) - (14) in area 
   




.
,
2
/
,
0
,
,
x
T
t
x
T
x
R
R
t
x
T









 
Finite-different solution. Using net designation [4], for the numerical solution of a 
reverse task (12) - (14) we will take net area: 
  



,
,
2
/
,
0
;
2
,
0
,
,
0
,
2
/
,
,
ih
T
kh
ih
T
ih
N
k
N
i
N
T
h
kh
t
ih
x
T
k
i
h











 
where 
h
 - net  step on x, t. 
Now let's make net analogue of  inverse problem (12) - (14): 



  





















,
,
0
,
,
,
,
1
*
2
2
3
2
2
3
2
2
N
i
R
u
T
kh
ih
u
S
a
c
в
c
в
c
в
c
в
u
c
в
c
в
u
u
i
i
i
h
u
i
i
x
i
i
i
i
k
i
i
i
x
x
x
i
i
x
x
x
x
tt


  (15) 

 
118 







































,
2
,
2
1
exp
2
,
2
,
exp
*
2
2
/
2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
c
в
a
h
S
c
в
a
a
c
в
S
h
S
c
в
c
в
R
R
S
i
l
l
i
i
i
i
l
l
i
i
x
x
i
x
i
 


1
2
,
1
,
*
2
2
3
0
0
0
0
0
0
0







N
k
a
c
в
c
в
u
k
i
x

                      (16) 
,
2
,
0
,
0
N
k
f
u
k
i
k
i



                                  (17) 
where 
,
,
,
,
,
,
,
x
x
k
i
k
i
i
i
i
в
a
u
c
в
a

t
t
x
x
i
x
x
x
u
u
S
u
c
,
,
,
,
,

  
net  analogues of functions 
         
,
,
,
,
,
,
,
t
x
t
x
u
x
c
x
в
x
a

 
 
tt
xx
x
x
x
x
x
u
u
x
S
u
c
в
a
,
,
,
,
,
,
,

    and also   


.
/
1
h
a
a
a
i
i
x



  
From the equation (15) we have different  analogue of the Dalamber’s formula  

































h
u
u
a
c
в
c
в
h
f
f
u
l
j
i
k
j
j
l
j
i
k
i
l
l
j
j
j
j
x
x
i
k
i
k
k
i
2
2
1
1
2
1
1
1
*
2
2
2
/
     (18) 
































i
l
l
j
l
j
i
k
j
l
j
i
k
j
j
j
j
j
j
i
l
l
j
l
j
i
k
j
j
j
j
x
x
a
c
в
c
в
h
a
c
в
c
в
h
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
3
2
2
3



 
.
2
,
;
1
,
1
,
2
1
2
1
1
2
i
N
i
k
N
i
h
u
u
S
h
l
j
i
k
j
l
j
i
k
j
i
l
l
j
j





















 

                          
Let's describe algorithm of the solution of a reverse task (16) - (17). From different 
equations (17) the zero layer is defined: 
         


 
19
.
2
;
/
2
,
;
2
,
0
,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
с
в
a
a
c
в
S
f
R
N
k
f
u
k
k







 
From different equations (16) the first layer is defined. 




,
2
,
0
,
2
/
2
3
0
0
0
0
0
0
1
N
k
a
c
в
c
в
h
f
u
k
k
k






 

   
 










,
2
/
exp
2
/
2
/
2
,
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
h
S
c
в
h
c
c
в
в
R
h
R
R
S
u
R













 
             

 

 
20
.
2
/
exp
2
0
1
1
1
h
S
c
в
a



 
  We admit  the layer -i  is constructed. According to  the formula (18) 
1
,
1
2
,
1
1






i
in
i
N
i
k
u
k
i
 a layer is defined. 
Then 
1
1
1
,
,



i
i
i
a
S
R
 is defined according to the formulas (15). Thus are 
unknown reverse tasks: 
N
i
u
a
k
i
i
,
0
,
,

   are defined. 
  According  to  the  method  [5]  it  is  possible  to  show,  that  constructed 

 
119 


i
i
i
k
i
k
i
k
i
a
S
R
h
u
u
u
,
,
,
/
,
1


  are  taken  accordingly  for  net  functions 


i
i
i
i
i
k
i
a
S
R
h
u
u
u
,
,
,
/
,
1


 of a reverse task (15), (16), (17) with 
 
h
O
. 
According to the method [5] it is also possible to prove the following theorem. 

жүктеу/скачать 4,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: