Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі
жүктеу/скачать 473,85 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1-Теорема.
- 19.2 Мальцев алгебраларының дифференциалдаулары 𝔪 Мальцев алгебрасының дифференциалдауы деп кезкелген үшін теңдігі орындалатындай эндоморфизмін айтады. 2-Теорема
| Мысалдар. 1) Кезкелген Ли алгебрасы Мальцев алгебрасы болып табылады.
2) Көбейту амалы арқылы белгіленген кезкелген альтернативті алгебрасы жаңа көбейту амалына қатысты Мальцев алгебрасына айналады. Оны арқылы белгілейді. 3) Базисі және көбейту кестесі төмендегідей алгебра – Ли алгебрасы болмайтын шешілетін Мальцев алгебрасы:
4) Элементтерін келесі матрица түрінде беруге болатын Кэли-Диксон алгебрасын қарастырайық: , мұндағы – скаляр көбейтіндісі мен векторлық көбейтіндісі анықталған -ке қатысты үш өлшемді кеңістік. Матрицалық көбейту былайша жазылады: сызықты кеңістігінде формуласы арқылы жаңа көбейту енгізейік. Онда алынған алгебрасы 2) мысал бойынша Мальцев алгебрасы болады. кеңістігінің базисі ретінде келесі матрицаларды таңдап алайық: Сонда, алгебрасының көбейту кестесі төмендегідей болады:
Кестеден алгебрасында кезкелген үшін екенін көреміз. Сондықтан алгебрасын /{} қарастыруға болады. Бұл алгебра 7-өлшемді жәй Мальцев алгебрасы болып табылады. 𝔪 – Мальцев алгебрасы болсын. жиыны арқылы жасалған ассоциативті алгебра 𝔪-нің көбейту алгебрасы деп аталады және арқылы белгіленеді. (2) тепе-теңдік алгебрасында мынада тепе-теңдіктерді береді: (3) (4) () тепе-теңдігін бойынша сызықтау арқылы мынаны аламыз: (5) Онда алгебрасында кезкелген үшін (6) тепе-теңдігі орындалады. (6)-дағы айнымалыларды циклдік орын ауыстыру арқылы алынған үш теңдікті қосу арқылы, өріс сипаттамасы 2-ге тең емес деп есептеп, мынаны аламыз: (7) (7)-ден (6)-на шегерсек, мынау шығады: . (8) (8)-ден 𝔪 алгебрасында (9) тепе-теңдігінің орындалатынын көреміз. Бұл (2) тепе-теңдікпен эквивалентті, оны әдетте Сагл тепе-теңдігі деп атайды. (8) тепе-теңдіктің бірқатар артықшылығы бар: біріншіден ол – әрбір айнымалы бойынша сызықты, екіншіден, айнымалыларды циклдік орын ауыстырғанда өзгермейді. Сондықтан, оны Мальцев алгебралары класын сипаттамасы 2-ге тең өрісте анықтағанда ((1) тепе-теңдікпен қоса) пайдалануға болады. Ли алгебрасының (9) тепе-теңдікті қанағаттандыратынын оңай тексеруге болады. Бинарлық Ли алгебрасы деп кезкелген екі айнымалыдан тұратын сөздер Якоби тепе-теңдігін қанағаттандыратындай алгебраны айтады. Енді Мальцев алгебрасының бинарлық Ли алгебрасы екенін көрсейік. 1-Теорема. Мальцев алгебрасының бинарлық Ли алгебрасы болып табылады. Дәлелдеуі. 𝔪 – Мальцев алгебрасы болсын. Оның екі элементтен тұратын ассоциативті емес кезкелген және сөздерін қарастрайық. және ұзындықтары бойынша индукцияны және (1), () және (5) тепе-теңдіктерін пайдалансақ, болады. Сонымен, 1-Теорема бойынша, Мальцев алгебралары класын Ли алгебралары мен бинарлық Ли алгебраларың ортасындағы аралық класс ретінде қарастыруға болады екен. 19.2 Мальцев алгебраларының дифференциалдаулары 𝔪 Мальцев алгебрасының дифференциалдауы деп кезкелген үшін теңдігі орындалатындай эндоморфизмін айтады. 2-Теорема. – Мальцев алгебрасы, ал – оның кезкелген элементі болсын. Онда операторы -нің дифференциалдауы болып табылады. Дәлелдеуі. белгілеуін енгізейік. (8) тепе-теңдік -ке қатысты симметриялы болғандықтан, . (10) (8)-ден (10)-ды шегеру арқылы мынаны аламыз: Мұны алгебрасында мына түрде жазуға болады: Демек, операторы мальцев алгебрасының дифференциалдауы болады екен. жүктеу/скачать 473,85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|