Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі
жүктеу/скачать 473,85 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 25.1 Ли группасы туралы түсінік 1-Анықтама.
| Лекция 25-26
Тақырыбы: Ли группаларына кіріспе. 25.1 Ли группасы туралы түсінік. 25.2 Матрицалық Ли группалары. 26.1 Компактылы Ли группалары. 26.2 Байланысқан Ли группалары.
Ли группасының мыслдары: 1) Қосу амалы анықталған нақты түзуі. 2) Көбейту амалы анықталған шеңбері ( – комплекс жазықтықтағы бірлік шеңбер). 3) -ретті азғындалмаған квадрат матрицалар жиынының (-дегі облыс ретінде қарастырылады) матрицаларды көбейту амалына қатысты группасы. Дербес жағдайда, болғанда көбейту амалы анықталған группасын аламыз. 4) Егер және Ли группалары болса, онда олардың көбейтіндісі де Ли группасы болады. Дербес жағдайда, мен -де Ли группалары болады. 5) Табиғи топологиямен жабдықталған түзудің аффиндық түрлендірулер группасы Ли группасы болады. 6) Нольден өзгеше кватерниондардың жиыны көбейту амалына қатысты Ли группасы болады. 7) Элементтері сақинасынан алынған -ретті квадрат матрицалардың жиынын қарастырайық. Төмендегі мысалдарда сақинасы ретінде нақты сандар өрісін, комплекс сандар өрісін және кватерниондар сақинасын аламыз. болса, онда арқылы матрицасына транспонирленген матрицаны, арқылы матрицасына түйіндес (сәйкесінше, комплекс немесе кватерниондық түйіндес) матрицаны белгілейік. арқылы жиынындағы шартымен анықталған ашық ішкі жиынды белгілейміз. матрицаларды көбейту амалына қатысты Ли группасы болады. Оны жалпы сызықты группа дейді. Енді болсын. -нің төмендегі шарттарды қанағаттандыратын ашық ішкі жиындарын қарастырайық: (1) (2) (3) Бұл матрицалық теңдеулердің әрқайсысы матрицасының элементтеріне қатысты белгісіздер мен тұратын теңдеуден тұратын әдеттегі теңдеулер жүйесіне эквивалентті болады. (1) – (3) теңдеулерімен берілген ішкі жиындардың әрқайсысы тегіс көпбейнеліктер болады. Осылардың дербес жағдайларын қарастырайық. -ретті бірлік матрицаны арқылы белгілейік. 7.1) болғанда (2) теңдеу үшін ортогональ матрицалар жиынтығын анықтайды. 7.2) (3) теңдеу болғанда үшін U унитар матрицалар жиынтығын анықтайды. 7.3) Егер матрицасы -ретті түріндегі квадрат матрица болса, онда (2) теңдеу үшін симплектикалық матрицалар жиынтығын анықтайды. 7.4) Егер болса, онда (2) теңдеу үшін типті псевдоортогональ матрицалар жиынтығын анықтайды. 7.5) Егер болса, онда (2) теңдеу үшін типті псевдоунитарлық матрицалар жиынтығын анықтайды. 7.6) Егер болса, онда (2) теңдеу үшін типті псевдосимплектикалық матрицалар жиынтығын анықтайды. Жоғарыдағы 7.1) – 7.6) жағдайлардағы анықталған матрицалар жиыны матрицалық көбейтуге қатысты Ли группалары болады. Шынында да, (1) – (3) теңдеулердің группаларды анықтайтынын оңай тексеруге болады: егер және матрицалары осы теңдеулерді қанағаттандырса, онда және матрицалары да осы теңдеулерді қанағаттандырады. бейнелеуінің тегіс екенін көрсетейік. 2 пункттегі 1-Теорема бойынша , және нүктелерінің маңайларындағы локальді координаттар ретінде матрицалық элементтердің қандай да бір жиынтығын (әрбір маңай үшін жеке-жеке) таңдап алуға болады. Қалған матрицалық элементтер осы таңдалған элементтерден тегіс функциялар болады. нүктелері координаттарының және элементтерінң координаттарынан тегіс функциялар болатыны айқын, өз кезегінде олардың өзі және элементтерінің координаттарынан тегіс функциялар болады. және группалары сәйкесінше жалпылама ортогональ және жалпылама унитар групалар деп аталады. 8) -нің үшін алдыңғы мысалдардан басқа да Ли группасы болатын ішкі группаларын көрсетуге болады. Олар: 8.1) үшін – арнайы сызықты группа; 8.2) үшін – арнайы ортогональ группа; 8.3) үшін – арнайы унитар группа; 8.4) үшін барлық жоғары үшбұрышты азғындалмаған матрицалардың группасы; 8.5) үшін диагоналындағы элементтері бірлік элементтер болатын барлық жоғары үшбұрышты азғындалмаған матрицалардың группасы; 8.6) үшін барлық азғындалмаған диагонал матрицалар группасы. Жоғарыда келтірілген мысалдардың ішінде тек екі бір өлшемді Ли группалары бар, олар: және . Бұл нәтиже өте жиі қолданылады, себебі әрбір Ли группасында бір өлшемді ішкі группа болады. Осы ішкі группаларда группадағы көбейту амалымен табиғи байланысқан канондық параметр енгізуге болады.
а) ; ә) ; б) ; в) . жүктеу/скачать 473,85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|