Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі
жүктеу/скачать 473,85 Kb.
|
| 25.2 Матрицалық Ли группалары
– комплекс матрицалар жиынындағы комплекс матрицалар тізбегі болсын. 1-Анықтама. -нің әрбір элементі ( ұмтылғанда) қандай да бір матрицасының сәйкесті элементіне ұмтылатындай (яғни, барлық үшін -ге ге ұмтылатындай) тізбегін матрицасына ұмтылады деп атайды, ал матрицасы тізбегінің шегі деп аталады. 2-Анықтама. Келесі қасиетті қанағаттандыратын группасының ішкі группасы матрицалық Ли группасы деп аталады: егер – -дегі кезкелген тізбек және ол матрицасына ұмтылатын болса, онда немесе – қайтымды емес матрица. Матрицалық Ли группасына мысалдар келтірейік. 1) Жалпы сызықты және группалары. Жалпы сызықты группасы өзіне ішкі группа болады. Сонымен бірге, егер – -дегі кезкелген тізбек және ол матрицасына ұмтылатын болса, онда -нің анықтамасы бойынша немесе қайтымды емес матрица болады. Олай болса, – матрицалық Ли группасы. Осыған ұқсас, жалпы сызықты группасы да группасының ішкі группасы екені анық және егер – -дегі кезкелген тізбек және ол матрицасына ұмтылатын болса, онда -ның элементтері нақты сандар болады. Сондықтан, немесе – қайтымды емес матрица. Демек, – матрицалық Ли группасы. 2) Арнайы сызықты және группалары. Бұл группалар сәйкесінше анықтауышы 1-ге тең қайтымды комплекс және нақты матрицалар группалары болып табылады және олардың екеуі де -дегі ішкі группалар. Сонымен бірге, егер – анықтауышы 1-ге тең матрицалардың кезкелген тізбегі және ол матрицасына ұмтылатын болса, онда матрицасының да анықтауышы 1-ге тең болады, себебі анықтауыш үздіксіз функция. Сондықтан, және группалары – матрицалық Ли группалары. 3) Ортогональ және арнайы ортогональ группалары. Бұлардың екеуі де үшін ішкі группалар екені анық. Ортогональ матрицалардың шегі ортогональ матрица болады, себебі қатысы және анықтауыштың 1-ге тең болуы шекке көшуде сақталады. Олай болса, және группалары – матрицалық Ли группалары. Операторлар тілінде, теңдігінің орындалуы ортогональ матрицаcына сәйкес келетін кеңістігіндегі ортогональ операторының симметриялық бисызықты формасын сақтайтындығын, яғни кезкелген үшін теңдігінің орындалатындығын білдіреді. 4) Ортогональ және арнайы ортогональ группалары. Бұлардың екеуі де үшін ішкі группалар екені анық. Ортогональ матрицалардың шегі ортогональ матрица болады, себебі қатысы және анықтауыштың 1-ге тең болуы шекке көшуде сақталады. Олай болса, және группалары – матрицалық Ли группалары. Ортогональ матрицаның бағандары ортонормаланған жүйе құрайды. Егер ортогональ матрица болса, онда (4) мұндағы – Кронекер символы, ол болғанда 1-ге, ал қалған жағдайлардың бәрінде 0-ге тең болады. Операторлар тілінде, бұл ортогональ матрицаcына сәйкес келетін кеңістігіндегі ортогональ операторының скаляр көбейтіндісін сақтайтындығын, яғни кезкелген үшін теңдігінің орындалатындығын білдіреді. Сонымен қатар, алдыңғы 7.1) мысал бойынша, немесе екені белгілі. болғандықтан, ортогональ матрицасы үшін Олай болса, кезкелген оротогональ матрицасы үшін немесе Анықтауышы 1-ге тең барлық ортогональ матрицалар жиыны арнайы ортогональ группасын құрайды 5) Унитар және арнайы унитар группалары. Барлық комплекс унитар матрицалар жиыны группа құрайды және ол – -дегі ішкі группа. Унитар матрицалар тізбегінің шегі унитар матрица және шекке көшу анықтауышты сақтайтын болғандықтан және группалары – матрицалық Ли группалары. Егер – -ретті квадрат унитар матрица болса, онда мұндағы – комплекс санына түйіндес комплекс сан. Бұл унитар матрицаcына сәйкес келетін кеңістігіндегі унитар операторының скаляр көбейтіндісін сақтайтындығын, яғни кезкелген үшін теңдігінің орындалатындығын білдіреді. Сонымен қатар, алдыңғы 7.2) мысал бойынша, немесе екені белгілі. болғандықтан, унитар матрицасы үшін Олай болса, кезкелген унитар матрицасы үшін немесе Анықтауышы 1-ге тең барлық унитар матрицалар жиыны арнайы унитар группасын құрайды. 6) Жалпылама ортогонал группасы – матрицалық Ли группасы. 7) Дербес жағдайда, группасы да матрицалық Ли группасы болады және Лоренц группасы деп аталады. 8) Жалпылама унитар группасы – матрицалық Ли группасы. 9) Комплекс симплектикалық , нақты симплектикалық және компактылы симплектикалық группалары – матрицалық Ли группалары. 10) – матрицалық Ли группаcы, ол Гейзенберг группасы деп аталады. 11) -нің арақашықтықты сақтайтын барлық өзіне-өзінің бірмәнді бейнелеулерінің (олардың сызықты болуы міндеті емес) жиыны бейнелеулердің композициясыны қатысты матрицалық Ли группасы болады, оны арқылы белгілейді және Евклидтік группа деп атайды. группасы группасының ішкі группасына изоморфты болады. Ортогональ группасы Евклидтік группасының ішкі группасы болады, оны -нің арақашықтықты сақтайтын барлық өзіне өзінің бірмәнді сызықты бейнелеулерінің жиыны ретінде қарастыруға болады. 12) -дің түрлендірулер жиынын қарастырайық. үшін теңдігімен ығысуын анықтап, -дің мұндағы , түріндегі түрлендірулерінің жиынын арқылы белгілейік. Онда түрлендірулердің композициясына қатысты матрицалық Ли группасы болады, оны Пуанкаре группасы дейді. Пуанкаре группасы жалпы сызықты группасының ішкі группасына изоморфты болады. 13) Нольден өзгеше комплекс сандардың мультипликативті группасы группасына изоморфты, сондықтан ол матрицалық Ли группасы болады. 14) Нольден өзгеше нақты сандардың мультипликативті группасы группасына изоморфты, сондықтан ол матрицалық Ли группасы болады. 15) Нақты сандардың аддитивті группасы анықтауыштары оң матрицалардың группасына изоморфты (изоморфизм арқылы анықталады), сондықтан ол матрицалық Ли группасы болады. 16) Векторлық қосуға қатысты группасы элементтері оң нақты сандардан тұратын диагонал матрицалар группасына изоморфты, сондықан ол матрицалық Ли группасы болады. Изоморфизм Бейнелеуі арқылы беріледі. 17) Абсолют шамасы 1-ге тең комплекс сандардың мультипликативті группасы группасына изоморфты, сондықтан ол матрицалық Ли группасы болады.
жүктеу/скачать 473,85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|