Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі
жүктеу/скачать 473,85 Kb.
|
| 26.2 Байланысқан Ли группалары
1-Анықтама. – матрицалық Ли группасы болсын. Егер -дегі кезкелген екі және матрицалары үшін-де жататын және және болатындай үздіксіз қисығы бар болса, онда группасы байланысқан деп аталады. Бұл анықтамадағы қасиет топологияда сызықты байланысқан деп аталады және баланысқандықтың жалпы анықтамасымен сәйкес келмейді. Бірақ, матрицалық Ли группалары байланысқан болуы үшін оның сызықтты байланысқан болуы қажетті және жеткілікті. Байланысқан емес матрицалық Ли группасы компоненттер деп аталатын жекелеген бөліктердің (бірмәнді) бірігуінен тұрады, әрі бұл компоненттердің әрқайсысының екі элементі үздіксіз қисықпен байланысқан, ал әртүрлі компоненттердің екі элементі үздіксіз қисықпен баланыспаған. Байланысқан матрицалық Ли группаларына мысалдар: 1) Жалпы сызықты группасы. болғанда , яғни ол – нольден өзгеше комплекс сандардың мультипликативті группасы. Кезкелген екі нольден өзгеше комплекс сан үшін оларды қосатын және ноль арқылы өтпейтін, -ға тиісті үздіксіз қисық табуға болады. үшін, тек -ның кезкелген элементінің бірлік элементпен -ға тиісті үздіксіз қисықпен байланысатындығын көрсету жеткілікті. Кезкелген екі элементтері үшін оларды байланыстыратын -ға тиісті үздіксіз қисықты -ны бірлік элементпен және бірлік элементті -мен қосатын -ға тиісті үздіксіз қисықтардан тұратынындай етіп оңай таңдап алуға болады. -ны бірлік элементпен қосатын -ға тиісті үздіксіз қисықты алу үшін кезкелген комплекс матрицаның жоғарыүшбұрышты матрицаға ұқсас болатындығын пайдаланамыз. Бұл қасиет кезкелген үшін қайтымды матрицасы табылып, теңдігі орындалатындығын білдіреді, мұндағы – жоғарыүшбұрышты матрица. Егер қатымды матрица болса, онда мұндағы – матрицасының диагоналдық элементтері және олардың барлығы нольден өзгеше. арқылы матрицасының диагоналынан жоғары элементтерін үшін анықталған -ға көбейту арқылы алынған матрицаны белгілеп, деп алайық. Сонда қиығы матрицасынан басталып ( болғанда), матрицасынан аяқталатын үздіксіз қисық болып табылады, мұндағы – дианоналдық элементтері болатын диагоналдық марица. Бұл қисық -ға тиісті, себебі барлық үшін Енді арқылы -ді 1-мен байланыстыратын -ға тиісті үздіксіз қисықты белгілеп, қисығын таңдап алайық, мұндағы – диагоналдық элементтері болатын диагоналдық марица. Бұл қисық -ға тиісті және болғанда матрицасынан басталып, болғанда бірлік матрицадан аяқталатын үздіксіз қисық, себебі барлық -лар нольден өзгеше. Сонымен, кезкелген матрицасы үшін оны бірлік матрицамен байланыстыратын үздіксіз және -ға тиісті қисықтың бар болатындығы толық дәлелденді. Олай болса, – байланысқан группа. 2) Арнайы сызықты группасы. Бұл жағдайда дәлелдеу алдыңғы жағдайға ұқсас, одан айырмашылығы анықтауыштың бірге тең болуының сақталатындығын көрсету жеткілікті. группасының кезкелген матрицасын қарастырайық. жағдайы дәлелдеуді қажет етпейді. Сондықтан деп алайық. Алдыңғыдағыдай үшін деп аламыз, себебі Содан соң, кесіндісінде анықталған -ларды үшін алдыңғыдағыдай, ал деп аламыз. Сонда, кесіндісінде анықталған үшін болады. Осыған ұқсас келесі матрицалық Ли группаларының да байланысқан группа екенін көрсетуге болады. Нәтижені дәлелдемесіз келтіреміз. 3) Арнайы сызықты группасы – байланысқан группа. 4) Арнайы ортогональ группасы – байланысқан группа. 5) Унитар және арнайы унитар группалары – байланысқан группалар. 6) Гейзенберг группасы – байланысқан группа. 7) Анықтауышы оң болатын нақты матрицалардан тұратын группасы – байланысқан группа. Байланыспаған матрицалық Ли группаларының мысалдары мен компоненттер саны келесі кестеде көрсетілген. Кесте 1. Байланыспаған матрицалық Ли группалары
жүктеу/скачать 473,85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|